《定积分的概念》课件

1
0
1 x 2 dx
解：由定积分的几何意 义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围 的面积（见下图）
1 4
面积值为圆的面积的
y
所以
1
0
1 x dx
2

4
1
x
y f(x)=sinx


2
1
A1
-1
A2
2
x


2

2
f ( x)dx A2 A1 0
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值． 2．定积分的思想和方法：
分割 求和 取逼近 化整为零 求近似以直（不变）代曲（变） 积零为整 取逼近 精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号.
我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个 数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可 以给定积分的定义
定积分的定义
一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等
分成n个小区间,每个小区的长度为 ,在每
个小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和
如果
x 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称
a
b
y
S1
O
S3
X
S2
定积分的几何意义：
在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数和
(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积).
y 6
A O -4 x 5
B
例1：计算下列定积分.
求定积分，只 要理解被积函 数和定积分的 意义，并作出 图形，即可解 决.
定积分的基本性质
性质1.
a kf(x )dx
y o a b x
就是位于 x 轴下方的曲边梯
形面积的相反数.
S
y=f (x)
用定积分表示下列阴影部分面积：
y y y
y=sinx
O
X
y=x2-4x-5 -1
O
5
X
y=cosx 3 2 2
O
X
S=______;
S=______;
S=______;
即 f ( x ) dx S1 S2 S3
S f ( x)dx
a
b
积分下限
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
按定积分的定义，有： (1)由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴 所围成的曲边梯形的面积为
(2) 设物体运动的速度 vv(t) ，则此物体在时间区间 [a, b]内运动的距离s为 (3) 设物体在变力 FF(r) 的方向上有位移，则 F 在位 移区间[a, b]内所做的功W为
Ｃ
b
x
b

b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c1 c2
例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
y
f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0 a -1 0 2 a 0 b x -1 0 2
x
x
x
①
②
③
④
2 （ 1 ）在图①中，被积函数 f ( x ) x 在[0，a] 解： 上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 a 2 义，可得阴影部分的面 积为 A 0 x dx

y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2
y y
f(x)=1
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
0 1 2 2 0 2
说明等式 2 sin xdx 0 例3. 利用定积分的几何意义
2

成立。
在右图中，被积函数 f ( x) sin x 解： 在[ ， ]上连续，且在 [ ， 0]上 2 2 2 sin x 0, 在[0， ]上sin x 0,并有 2 A1 A2 , 所以
, xn1, b, 每个小区间宽度⊿x
ba n
(2)以直代曲:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高 为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替.
y y = f (x )
(3) 作和:取n个小矩形面积的和作为
曲边梯形面积S的近似值：
S f (xi )x
.
定积分
( x 1) dx=
1
2
定积分的几何意义
当 f (x) ≥ 0，定积分
的几何意义就是 曲线 y = f (x)，直线 x = a、 x = b、 y = 0 所围成的曲边梯 形的面积
o
y=f (x)
y
A
S
a b
x
当函数 f (x) 0 ， x[a, b] 时 定积分 几何意义
③
④
解： （4）在图④中，被积函数 f ( x) ( x 1) 2 1在[1 ， 2]
上连续，且在 [1 ， 0]上f ( x) 0, 在[0， 2]上f ( x) 0， 根据定积分的几何意义 可得阴影部分的面积为
A [( x 1) 1]dx [( x 1) 1]dx
-1 0
2
x
①
②
③
④
2 解： （2）在图②中，被积函数 f ( x) x 在[1 ， 2]
上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 2 义，可得阴影部分的面 积为 A 2 1 x dx

y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
y
f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0 a x 2 0 x a 0 b x -1 0 2 x
n n
如果当n+∞时，Sn 就无限接近于某个常数， 这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作：
a f (x)dx，即a
b
b
lim f (x i) f (x)dx
0
i 1
n
问题情境:
1.曲边梯形面积问题; 2.变力作功问题; 3.变速运动的距离问题.
它们都归结为:分割 、近似求和、取逼 近值
W F (r )dr.
a
b
注 ：定积分数值只与被积函数及积分
区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关
Baidu Nhomakorabea
a f ( x)dx a f (t )dt a f (u )du
b
b
b
函数在区间[a,b]上的定积分能否为负的?
定积分

1
2
( x 1) dx __________ __ .
i 1 n
(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为
x 0, ( n )
f (x )x S
i 1 i
n
O
a
xi-1 xi xi
x
b
x
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四 个步骤”: 分割---以直代曲----求和------逼近.
ba 小矩形面积和Sn f ( xi )x f ( xi ) n i 1 i 1
-1
①
②
③
④
（3）在图③中，被积函数 f ( x) 1在[a，b] 解： 上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面 积为 A

b a
dx
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2
y y
f(x)=1
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2
x
①
②
性质2.
b
k f(x ) dx
a
b

b
a
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a a
b
b
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
a f(x )dx a f(x )dx c f(x )dx
y yf (x)
b
c
b
O
a
c1 c2
1）． 2 0


sin xdx
2）.

2
1
x 2 dx
利用定积分的几何意义，说明下列各式. 成立：
1）．

2
0
sin xdx 0
2）.


0
sin xdx 2 2 sin xdx
0

试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积.
y y=x2 y
y=g(x)
0
1 2
x
0
a
b
x
2. 计算积分
1.5.3
定积分的概念
内容： S a f ( x)dx 定积分的 概念 求定积分
b
应用
利用定积分求不规则图 形的面积 定积分的几何意义
用 “以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：
分割
以曲代直
作和
逼近
求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法: (1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小 区间: a, x1 , x1, x2 , xi1, xi ,
.
常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分, 记作:
S f ( x)dx
a
b
定积分的相关名称：
积分上限
———叫做积分号， f(x)dx —叫做被积表达式， f(x) ——叫做被积函数, x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。