餐厅包厢预订问题

2013年全国大学生数学建模竞赛校内选拔赛

暨西北民族大学第五届数学建模竞赛论文

题号：A题

论文题目：餐厅包厢预订问题

参赛队编号：

参赛队员姓名：贾剑豪黎晨升牛彦彬

日期：2013 年 6 月11 日

注：(1) 本封面内容均电脑填写完后打印；

(2) 题号从A，B中选择一项填写；

(3) 参赛队编号为第1-52队中的对应编号

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：西北民族大学

参赛队员(打印并签名) ：1. 贾剑豪

2. 黎晨升

3. 牛彦彬

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期： 2013 年 6 月 11 日

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

摘要

着重就关于饭店包厢超额预订的问题与能否收取最低消费等问题,利用数学建模的方法,建立了超额预定并收取最低消费营业一天的利润模型,利用二项分布对此模型进行求解、讨论和验证。

【关键字】利润最大超额预定随机事件二项分布

一、问题重述

早些年前，在中国城市生活的居民需要请客吃饭时基本上都在家里解决，随着中国最近几十年经济的发展，大部分人请客吃饭一般都会去外面的餐馆举行。在人数比较多时（例如可凑够一桌8人或10人），主人通常会提前给餐厅打电话或通过网络订包厢，但经常一些餐厅会说包厢已满或该餐厅不预订包厢，这使得一些顾客怀疑是否餐厅因为人数不够被拒绝。即使有空包厢预订，一些餐厅也会要求最低消费，或最迟保留到某一时刻（例如，兰州地区晚上通常为6：00）。当然，餐厅这样做也有其自己的理由，因为经常有顾客订包厢后又临时取消包厢。因此餐厅老板经常需要考虑以下几个问题：

问题1：是否允许顾客提前订包厢

即满足何种条件时可允许顾客提前预订包厢，当然目前市面上大部分的餐厅是允许顾客提前预订包厢的，仅有个别包厢比较少的小餐厅不能提前预订；

问n题2：包厢是否应该收取最低消费

即满足何种条件时可要求最低消费，最低消费应规定为多少合适；

问题3：预订后的包厢最迟应保留多久

要求1、请你从餐厅角度综合考虑各种因素建立适当的模型解决以上3个问题，你的模型应该对餐厅的经营有合理的建议，使得餐厅在经济效益最大化的同时又能尽可能的满足顾客合理的要求；

要求2、表1是某餐厅上月预订包厢的平均情况。该餐厅临近兰州南关什字，经营开锅涮与炒菜两类。餐厅除去大厅中为数不多的散桌外，还有6个小包厢，两个大包厢。该餐厅采用的规定是若当时有空包厢即可预订，没有任何条件。餐

厅老板想知道是否有更好的包厢预订方案以提高利润；

表1 上月预订包厢的平均情况（单位：个/天）

食客类型包厢数

预订包厢9

临时取消包厢3

由于已订完拒订包厢2

散客临时入包厢2

要求3、请你搜集学校附近某一餐厅一段时间内（一年，一月或一周）的订座率、上座率、订座取消率等数据（若无条件，也可使用计算机模拟），验证或修正你的模型。

二、背景

从改革开以来我们国民生产总值稳步提升，2012年初步核算，全年国内生产总值519322亿元，按可比价格计算，比上年增长7.8%。在世界各国的GDP排名中中国也已经超过了日本成为了仅次于美国之后的第二强国。所以可以看出我们的人民在改革开放之后生活的越来越好了。与此同时，去饭店请客吃饭，应酬的就越来越多了。这对于饭店来说既是机遇又是挑战。现在绝大多数人都会在吃饭前打电话预定位置，避免朋友们过去没有地方尴尬。可是这样对店家来说就是一个难题了。比如我们几个朋友约好一起吃，然后打电话预定之后，突然有朋友有急事走了，饭局也就不欢而散了。但是对于饭店来说，你预定了我就给你预留了包厢，可是你不来，这对我来说就造成了一定的损失。自然而然包厢的超额预定就进入了我们的视野中。目前研究的较多的是包厢超额预定模型是静态的。对于每个时段每个季节超售的数量保持不变。这样就完全忽略饭店包厢的实际预定情况。一般来说，饭店可以控制预定包厢的最大数量，当已预定包厢数超过理想的数量时，就不再接受预定包厢的请求。

三、符号说明

f包厢的保养、保洁费，电费，包厢员工工资等

m 被预定出去的包厢总数

N 饭店拥有的包厢总数

G 每个包厢的平均成本

g 每个包厢的平均利润

p 客人预定了包厢并按约前来就餐的概率

q 客人预定了包厢但是未能按约前来就餐的概率

c 包厢最低消费

S 饭店通过包厢获得的总利润

b 客人预定了包厢可饭店没有预留包厢时给客人的赔偿金

z 预定了包厢却被挤掉的人数

y 闲置的包厢数

k 预定了包厢但是未能按约前来就餐的客人数

四、模型假设

1、已预订包厢的客户按时前来就餐时相互独立的随机事件。

2、设f表示饭店包厢一天的费用（包括包厢的保养、保洁费，电费，包厢员工工资等），并且包厢是否使用对f的影响不大，所以将f看成一个定值。

3、天气，温度，气候等因数对顾客光顾这家饭店无影响，对也预定的顾客按不按时去就餐也无影响。

4、被超额预定所挤出的“受害者”采取赔偿机制，没个客户的赔偿金额设为d。

五、问题分析与建立模型

建立模型：设一个已定包厢的客人按时就餐的概率为p , 未能按时就餐的概率为q ( q = 1 - p)设饭店预订出的包厢数为m 间,那么m 人中有k 人未能按时

入住的概率为Pk ,所以,),,2,1,0(,m k p q C P k

m k k m K ==-

设N 表示饭店所拥有的全部包厢数，g 表示每个包厢的平均利润，那么 1）m=N 表示没有超额预定并且包厢坐满，此时饭店包厢一天的利润为：S=Ng-f

2）如果超额预订,那么, m > N , 在不考虑补偿的情况下, m 人中有k 人未能前来就餐,此时饭店包厢一天的利润为:

)()()({

N k m N k m f g k m f

Ng S ≤->----=

六、模型求解

由于“在m 预订人中有k 人未能按时就餐”是随机事件,因此饭店包厢利润是随机变量, 这时需要用数学期望来考察,设E(s) 表示总包厢利润的数学期望,那么∑==m

)(k k k S P S

则求解

∑==m

)(s k k k S P E ）（

∑∑-=--=--+-=

m

N m k k

N k k

f g k m P f Ng P ])[()(1

m 0

∑∑∑∑-==-=--=--+---+-=

m

N

m k k

N

k k

m

N

m k k

N k k

f g k m P f Ng P f Ng P f Ng P ])[()()()(m -m 1

m 0

∑-=--+

-=m

N

m k k

g N k m P f N )()g (

∑-=--+-=m

N

m k k

N k m P f N )(g

)g (

解模型

令j = k - m + N 上式可化为

∑=-+--=m

j N m j jP f N E 0s g g ）（

根据二项式分布的性质, m 越大上式右边的第三项越小, E( s) 越大。因此问题的解是m 取得越大越好。

七、讨论和改进

增大m 会导致许多预订包厢的客人无法就餐,从而影响饭店的声誉,因此对于超额预订应采取一定的惩罚手段, 以补偿“被挤掉者”的损失。如果设b 是每一位预订包厢而被挤掉的客人所得的补偿,那么饭店包厢一天的利润公式为：

)()()()k ({

N k m N k m f

g k m b

N m f Ng S ≤->-------=

所以,利润的数学期望为

∑==m

)(s k k k S P E ）（

∑∑-=--=--+----=

m

N

m k k

N k k

f g k m P b N k m f Ng P ])[(])([1

m 0

∑∑∑∑=--=--=--=--+

--+

---

----=

m

N

k k

N m k k N m k k N k k f g k m P f g k m P f g k m P b N k m f Ng P -m 10

10

1m 0

])[(])[(])[(])([

∑∑=--=--+-------=

m

k k

N k k

k

f g k m P f g k m P b N k m f Ng P 0

1

m 0

])[(}])[(])([{

f k m P

g b k m N g k m N P m

k k

N k k

--++-++-=

∑∑=--=0

1

m 0

)(])()[(

f mp

g b g k m N P N k k

-+++-=

∑--=1

m 0

)])([(

∑--=+-++-=1

m 0

)()

(N k k k m N P b g f mpg

即∑--=+-++-=1

m 0

)s ()()

(N k k k m N P b g f mpg E

当N,g,f,p 给定后，可以求m 使S(m)最大。

饭店从社会声誉和经济利益两方面考虑，应该要求被挤掉的顾客要太多，而由于被挤掉者的数量是随机的，可以用被挤掉的顾客数超过若干人的概率作为度量指标。记被挤掉的顾客数超过z 人的概率为)(z m P ，因为被挤到的顾客超过z 人，等价于m 位预定包厢的顾客中不按时前来就餐的人不超过m-N-z-1人，所以

∑---==

1

z )(z N m k k

P

m P

对于给定的N,z,显然当m=N+z 时，被挤掉的顾客不会超过z 人，即0)(z =m P 。而当m 变大时)(z m P 单调递增。

综上,)s (E 和)(z m P 虽然是这个优化问题的两个目标，但是可以将)(z m P 不超过某给定值作为约束条件，以)s (E 作为单目标函数求解。

八、模型的优化

对包厢预定限额模型的优化：

考虑到不同客源的实际需求，如商业界喜欢这种无约束条件的预订包厢业务，而不按时前来就餐的可能性较小；游客与按时上下班的雇员，不按时前来就餐的可能性较大。所以，饭店为了降低风险，可以适当的给包厢的使用规定一定的最低消费，即在大多数客人预定了包厢却没有前来的就餐导致包厢闲置的情况下也能够通过包厢的最低消费来收回包厢闲置与包厢维护费所导致的损失。由于客人预定了包厢却不能按时前来吃饭的概率为q ，所以设闲置的包厢数为y 。故

N k m N

k m ≤->-=k)

-(m -N 0

{

y

所以闲置包厢的数学期望为

∑==m

)(y k k k y q Y ）（

∑-=-=

m

N

m k k

m N ]k)-([q

综上：最低消费应该设置为

f Y N c G

y =-)(g

)(

)(c )(y Y N g fG

-=

只有当)

(c )(y Y N g fG

-=

时，有客人包厢吃饭所产生的利润才刚刚好可以支付包厢

一天所需要的费用(如包厢的保养、保洁费，电费，包厢员工工资等)。设置最低消费对饭店来说固然是件好事，可是设置包厢最低消费标准是不合理、不公平的，损害了消费者的自由选择权，与《消费者权益保护法》中“消费者在购买商品或接受服务时具有自主选择权”的规定相抵触，侵害了消费者的权益。包厢最低消费标准是强制性的餐饮费，设置包厢最低消费标准，是经营者强迫消费者接受其规定的价格的行为，损害了消费者合法权益，应认定是一种违法行为。而且在“光盘行动”与“勤俭节约风”吹遍整个中国的时候，最低消费可能会导致有些有些客人在点完自己要吃的菜时，为了筹齐最低消费会多点一些没有必要的菜，这样就导致了餐桌上的浪费。所以还是建议饭店将利益先放一放，不设置最低消费标准，支持光盘行动，保护消费者权益。这样也能够为饭店吸引更多的人气，带来更多的客源。

九、模型的评价与推广

对饭店包厢预定模型的评价与推广

优点：运用最小二乘法构造方程组解相关系数，并全面考虑包厢维护费，利润，包厢利用率等等。运用该模型可以在实际中较为准确地估计最多可被预定的包厢数。

缺点：实际情况中每天的包厢预定人数，预定包厢后不按时就餐的人数都会不一样，而且每个包厢的消费额也会不一样。并且每个季度的员工工资，奖金都

会影响饭店的总收益

对饭店包厢预定模型的推广

推广：与饭店包厢预定相似的事件在日常生活中并不少见，KTV、汽车出租公司、飞机票预定等为争夺顾客也可以如此处理。

十、参考文献

【1】刘桂真，马建华，运筹学（第三版），高等教育出版社，2010

【2】姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第四版），高等教育出版社，2012 【3】张德丰，MATLAB实用数值分析，清华大学出版社，2012

【4】 2009年“高教社杯”参赛作品汇编，教务处·大学生实践创新基地，2009