北师大版二次根式
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教学课件
2.7 二 次 根 式
目录
01
02
03
04
学习目标
明晰概念
探究新知
知识巩固
学习目标
1.认识二次根式和最简二次根 式的概念. 2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次 根式化为最简二次根式．
目录
第一环节：明晰概念
5
11
7.2
49 121
(c b)(c b)
（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 什么是二次根式？
问题：
14
（是1）最你简怎二么次发根现式4的5含？有开得尽方的因数的？你怎么判断
7
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴
交流。
说明：
含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在
前面，并省略去乘号．（1）在对二次根式进行化简时，如果被开方数
是一个整数，一般先将被开方数写成一个平方数与另外一个数的积的形
式；
（2）当被开方数是带分数时应化为假分数；
（3）二次根式无论是计算还是化简，结果必须化为最简形式.
19
随堂练习：
化简： （1） 32； （2） 72； （3） 12；
7 （4）1.5； （5）1 。
5
20
121
共同特征： 都含有开方运算，并且被开方数都是非 负数.
10
概念归纳：
一般地，形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
a叫被开方数。
二次根式必须具备特点：
1、根指数为2. 2、被开方数必须是非负数.
11
火眼金睛：
请指出下列哪些是二次根式？
1 5
2 3
33 21
4 b b 0
5 a 2 a 2 6 a b ab
7
练习： 1、已知x、y为实数，且满足
，求x+y的值。
y 2x 1 1 2x 1
二次根式的双重非负性：
8
练习：已知
1 x 1 y 0 ，求
x 2015 y 2015 的值。
9
目录
探究新知:
观察下列代数式：
（1） 5
（2） 11
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3） 7.2
（4）
49 （5） (c b)(c b) (其中b=24，c=25)
请指出下列哪些是二次根式？
1 5 2 3 33 21
4 b b 0
5 a 2a 2 6 a b ab
73 5m2
8 x2 1
二次根式必须具备特点：
例1.ｘ为何值时，下列各式在实数范围内有意义；
3 2x
x2
3 3 2x
3 2x 1
6
大家有疑问的，可以询问和交流
可 以 互 相 讨 论下， 但要小 声点
（1） 81 64 （2）
25 6 （3）
5 9
(4) 1 3
解：（1） 81 64 81 64 9 8 72
（2） 25 6 25 6 5 6
（3）
5 9
5 5
9
3
（4）
1 1 3 3
3
3 3 3
观察例一的化简结果 （关键看被开方数）， 想一想有什么共同特 征？
15
第二环节：探究性质 一、计算下列各式，你能得到什么猜想?
2、商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
13
二次根式的性质：
ab a • b (a 0, b 0)
1、积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；
a b
a (a 0, b 0) b
2、商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
14
小试牛刀：
例1：化简
49
4 9
16 25
16 25
16
16
25
25
4
4
9
9
问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？
问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律
吗？
问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？
总结：二次根式的性质：
16
目录
第三环节：知识巩固 例2.化简（1） 81 64
（2） 25 6
（3）
5 9
(4) 1 3
观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
什么是最简二次根式？
17
1、下列二次根式： 2 12 15 14
7
中是最简二次根式的有（ ）个.
2、
2x 2 ; b 2 1; 1 ; 4a 是最简二次根式的是（ ）
x
例3.化简： （1） 50；（2） 2；（3）2
7
5
18
73 5m2
8 x 2 1
12
做一做：
一、计算下列各式，你能得到什么猜想?
（1） 4 9 36 6
（2） 4 9
（3）
4 2
9
3
（4）
4 9
2 3
23 6
ab a • b (a 0, b 0)
1、积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；
a b
a (a 0, b 0) b
2.7 二 次 根 式
目录
01
02
03
04
学习目标
明晰概念
探究新知
知识巩固
学习目标
1.认识二次根式和最简二次根 式的概念. 2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次 根式化为最简二次根式．
目录
第一环节：明晰概念
5
11
7.2
49 121
(c b)(c b)
（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 什么是二次根式？
问题：
14
（是1）最你简怎二么次发根现式4的5含？有开得尽方的因数的？你怎么判断
7
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴
交流。
说明：
含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在
前面，并省略去乘号．（1）在对二次根式进行化简时，如果被开方数
是一个整数，一般先将被开方数写成一个平方数与另外一个数的积的形
式；
（2）当被开方数是带分数时应化为假分数；
（3）二次根式无论是计算还是化简，结果必须化为最简形式.
19
随堂练习：
化简： （1） 32； （2） 72； （3） 12；
7 （4）1.5； （5）1 。
5
20
121
共同特征： 都含有开方运算，并且被开方数都是非 负数.
10
概念归纳：
一般地，形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
a叫被开方数。
二次根式必须具备特点：
1、根指数为2. 2、被开方数必须是非负数.
11
火眼金睛：
请指出下列哪些是二次根式？
1 5
2 3
33 21
4 b b 0
5 a 2 a 2 6 a b ab
7
练习： 1、已知x、y为实数，且满足
，求x+y的值。
y 2x 1 1 2x 1
二次根式的双重非负性：
8
练习：已知
1 x 1 y 0 ，求
x 2015 y 2015 的值。
9
目录
探究新知:
观察下列代数式：
（1） 5
（2） 11
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3） 7.2
（4）
49 （5） (c b)(c b) (其中b=24，c=25)
请指出下列哪些是二次根式？
1 5 2 3 33 21
4 b b 0
5 a 2a 2 6 a b ab
73 5m2
8 x2 1
二次根式必须具备特点：
例1.ｘ为何值时，下列各式在实数范围内有意义；
3 2x
x2
3 3 2x
3 2x 1
6
大家有疑问的，可以询问和交流
可 以 互 相 讨 论下， 但要小 声点
（1） 81 64 （2）
25 6 （3）
5 9
(4) 1 3
解：（1） 81 64 81 64 9 8 72
（2） 25 6 25 6 5 6
（3）
5 9
5 5
9
3
（4）
1 1 3 3
3
3 3 3
观察例一的化简结果 （关键看被开方数）， 想一想有什么共同特 征？
15
第二环节：探究性质 一、计算下列各式，你能得到什么猜想?
2、商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
13
二次根式的性质：
ab a • b (a 0, b 0)
1、积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；
a b
a (a 0, b 0) b
2、商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
14
小试牛刀：
例1：化简
49
4 9
16 25
16 25
16
16
25
25
4
4
9
9
问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？
问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律
吗？
问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？
总结：二次根式的性质：
16
目录
第三环节：知识巩固 例2.化简（1） 81 64
（2） 25 6
（3）
5 9
(4) 1 3
观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
什么是最简二次根式？
17
1、下列二次根式： 2 12 15 14
7
中是最简二次根式的有（ ）个.
2、
2x 2 ; b 2 1; 1 ; 4a 是最简二次根式的是（ ）
x
例3.化简： （1） 50；（2） 2；（3）2
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5
18
73 5m2
8 x 2 1
12
做一做：
一、计算下列各式，你能得到什么猜想?
（1） 4 9 36 6
（2） 4 9
（3）
4 2
9
3
（4）
4 9
2 3
23 6
ab a • b (a 0, b 0)
1、积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；
a b
a (a 0, b 0) b