数值计算方法课程设计

重庆邮电大学数理学院

《数值计算方法》课程设计

题目：_________小行星轨道问题____________

组员：___1191301、徐鑫、2013213051__________ _ 1191301、闵子剑、2013213019__________

指导教师：_________尹龙军_________________

完成日期：______2014年12月28日_____________

重庆邮电大学数理学院制

目录

一.课程设计目的 (3)

二.课程设计题目 (3)

三.理论知识和算法 (3)

四．计算过程及计算结果截屏 (6)

五．求解结果的分析和结论 (9)

六．课程设计的心得与体会 (9)

附录 (10)

一、课程设计目的

1）掌握线性方程组的求解。

2）掌握列主元、全主元高斯-约当消元法求方程的解。 3）利用编程实现列主元、全主元高斯-约当消元法的求解。 4）会使用Matlab 软件。

5）比较并分析这两种方法的区别。

二、课程设计及内容（题目）

一个天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在五个不同的点对小行星作了五次观察，测得轨道上五个点的坐标数据（单位：万公里）如下表所

由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，椭圆的一般方程可表示为：

012225423221=+++++y a x a y a xy a x a

现需要建立椭圆的方程以供研究。

（1）分别将五个点的数据代入椭圆一般方程中，写出五个待定系数满足的等式，整理后写出线性方程组

AX = b

以及方程组的系数矩阵和右端项b ；

（2）用列主元、全主元高斯-约当消元法求方程的解。比较列主元、全主元高斯-约当消元法求方程的解优缺点及分析其误差。

三、问题的分析（含涉及的理论知识、算法等）

1、在（1）问中，由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为

012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .

问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：

（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）. 由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.122212221222122212225554253552251454424344224

135342

3333223125242

232222211514213112211y a x a y a y x a x a ，

y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a

这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡111112222222222222225432155

25

5

525

44244424

33233323222

22222

112

11121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 再利用Matlab 计算出系数矩阵A 。

2、在（2）问中，我们应该熟悉列主元、全主元高斯-约当法的原理。 1）完全主元消去法：

首先需要先选择主元：在A 中选取绝对值最大的元素作为主元素，即确定i1、j1，使

.

0||max ||1111≠=≤≤≤≤ij n

j n i j i a a ，

再交换行列：

进行消元计算：

第k 步重复进行，设已完成第1步～第k-1步的选主元，使[A ，b]

约化为

方块内是第k 步选主元区域，k=1,2,3……n-1

行元素，行与第第交换时当111),(,1i b A i

≠⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n nn n n b b b y y y a a a a a a 212122211211经过上述过程，方程组约化为 .1),(,1

11列元素列与第第交换时当j b A j

≠，

),,3,2(11

1

1n i a a m i i ==←1i a ，

),,3,2(1111n i a m a i i =-←i b )

,,3,2(1

1n i b m b i i =-]

,[],[)

()

(k k b A b A →()()[,][,]k k A b A b →11121122

2n

kk kn k nk

nn

n a a a b a b a a b a a b ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢

⎥=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

则调换后的次序是未知数其中.,,,,,,2121n n x x x y y y ⎪⎩

⎪⎨

⎧-=-==∑+=)

1,2,,1(/)(/1 n i a y a b y a b y ii

n i j j ij i i nn

n n