SVM概念和应用.ppt

线性判别函数和判别面
广义线性判别函数
• 如果建立一个二次判别函数g(x)=(x-a)(x-b)，则可以 很好的解决上述分类问题。
• 决策规则仍是：如果g(x)>=0，则判定x属于C1，如 果g(x)<0，则判定x属于C2。
线性判别函数和判别面
线性判别函数和判别面
广义线性判别函数
最优分类面
• SVM 是从线性可分情况下的最优分类面发 展而来的, 基本思想可用下图的两维情况说 明.
最优分类面
设线性可分的样本集:
D维空间中的线性判别函数:
{xi, yi}, i 1,...l, yi {1,1}, xi Rd
d维空间中的判别函数:g( X ) w x b,分类面方程为w x b 0.
设H: w x b 0; H 1 : w x b k1; H 2 : w x b k 2 令k k1 k 2 , 2
w x1 b w x2 b 或 w (x1 x2) 0
• 当x1和x2都在判定面上时， • 这表明w和超平面上任意向量正交， • 并称w为超平面的法向量。
线性判别函数和判别面
判别函数g(x)是特征空间中 某点x到超平面的距离的一种代 数度量.
x
xp
r
||
w w
||
将
x
xp
r
||
w w
H1: w x b k1 k k; H 2 : w x b k2 k k
~
~
重写H 1, H 2 : H 1 : w x b k; H 2 : w x b k
归一化:H 1 : w x b 1; H 2 : w x b 1
2
这样分类间隔就等于 w
,因此要求分类间隔最大,就要求
s.t. yi (w xi＋b) 1(i 1, 2,...,l)
原问题
目标：最优分类面 w x b 0
这是一个二次凸规划问题，由于目标函数和约束条 件都是凸的，根据最优化理论，这一问题存在唯一 全局最小解．
最优分类面
• 凸集和凸函数
凸集:
S Rn.称S是凸集，如果对任意x1, x2 S和任意的 ［0，1］ 都有 x1+(1-)x2 S.
2 w
最大.而要求分类面对所有样本正确分类,就是要求满足
yi(w xi b) 1 ,i 1,...,l 使等号成立的样本点称为支持向量
最优分类面
求最优分类面(最大间隔法)
已知：{xi, yi}, i 1,...l, yi {1,1}, xi Rd 求解：
min 1 || w ||2 2
• 传统的统计模式识别方法在进行机器学习时，强调 经验风险最小化。而单纯的经验风险最小化会产生 “过学习问题”，其推广能力较差。
• 推广能力是指: 将学习机器(即预测函数,或称学习 函数、学习模型)对未来输出进行正确预测的能力。
SVM的理论基础
• “过学习问题”：某些情况下，当训练误差 过小反而会导致推广能力的下降。 例如：对一组训练样本(x,y),x分布 在实数范围内，y取值在[0，1]之间。无论 这些样本是由什么模型产生的，我们总可 以用y=sin(w*x)去拟合，使得训练误差为0.
SVM的理论基础
• 根据统计学习理论，学习机器的实际风险由经验风 险值和置信范围值两部分组成。而基于经验风险最 小化准则的学习方法只强调了训练样本的经验风险 最小误差，没有最小化置信范围值，因此其推广能 力较差。
• Vapnik 与1995年提出的支持向量机（Support Vector Machine, SVM）以训练误差作为优化问题的约束条 件，以置信范围值最小化作为优化目标，即SVM是 一种基于结构风险最小化准则的学习方法，其推广 能力明显优于一些传统的学习方法。
Support Vector Machine 支持向量机
报 告 人：吕玉生 日 期：2008年4月10日
内容
• SVM的理论基础 • 线性判别函数和判别面 • 最优分类面 • 支持向量机 • LIBSVM简介 • 实验
SVM的理论基础
• 传统的统计模式识别方法只有在样本趋向无穷大时， 其性能才有理论的保证。统计学习理论（STL）研究 有限样本情况下的机器学习问题。SVM的理论基础 就是统计学习理论。
||
代入g ( x)
w
x
b中,我们有
g(x) w x b
w
(xp
r
||
w w
) ||
b
w
xp
b
w
r
||
w w
||
(w xp b 0, w w || w ||2 )
r || w ||
Biblioteka Baidu
r g(x) || w ||
线性判别函数和判别面
广义线性判别函数
在一维空间中，没有任何一个线性函数能解决下述划分问 题（黑红各代表一类数据），可见线性判别函数有一定的局限 性。
图中, 方形点和圆形点代表两类样 本, H 为分类线,H1, H2分别为过 各类中离分类线最近的样本且平行 于分类线的直线, 它们之间的距离 叫做分类间隔(margin)。
所谓最优分类线就是要求分类线不 但能将两类正确分开(训练错误率 为0),而且使分类间隔最大.
推广到高维空间，最优分类线就变 为最优分类面。
g(x) w x b
• 两类情况:对于两类问题的决策规则为
• 如果g(x)>=0，则判定x属于C1， • 如果g(x)<0，则判定x属于C2
线性判别函数和判别面
超平面
• 方程g(x)=0定义了一个判定面，它把归类于C1的点与归类于C2 的点分开来。
• 当g(x)是线性函数时，这个平面被称为“超平面”(hyperplane)。
凸函数: S Rn.称S是非空凸集,f是定义在Ｓ上的函数．称函数f是凸函数，
如果对任意x1, x2 S和任意的 ［0，1］ 都有 f(x1+(1-)x2) f (x1) (1-) f (x2).
凸函数的极小： 若问题有局部解，则这个局部解是整体解．
SVM的理论基础
• 由于SVM 的求解最后转化成二次规划问题的 求解，因此SVM 的解是全局唯一的最优解
• SVM在解决小样本、非线性及高维模式识别问 题中表现出许多特有的优势，并能够推广应 用到函数拟合等其他机器学习问题中.
线性判别函数和判别面
• 一个线性判别函数(discriminant function)是指 由x的各个分量的线性组合而成的函数