动能定理(多过程)

1.如图5－2－12所示，AB 是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD 是光滑的圆弧轨道，AB 恰好在B 点与圆弧相切，圆弧的半径为R .一个质量为m 的物体(可以看作质

点)从直轨道上的P 点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运

动．已知P 点与圆弧的圆心O 等高，物体与轨道AB 间的动摩擦因

数为μ.求：

(1)物体做往返运动的整个过程中在AB 轨道上通过的总路程；

(2)最终当物体通过圆弧轨道最低点E 时，对圆弧轨道的压力；

(3)为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D ，释放点距B 点的距离L ′应满足什么条件． 解析：(1)因为摩擦始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2θ的圆弧上往复运动．

对整体过程由动能定理得：mgR ·cos θ－μmg cos θ·s ＝0，所以总路程为s ＝R μ

. (2)对B →E 过程mgR (1－cos θ)＝12m v 2E

① F N －mg ＝m v 2E R

② 由①②得对轨道压力：F N ＝(3－2cos θ)mg .

(3)设物体刚好到D 点，则mg ＝m v 2D R

③ 对全过程由动能定理得：mgL ′sin θ－μmg cos θ·L ′－mgR (1＋cos θ)＝12

m v 2D ④ 由③④得应满足条件：L ′＝3＋2cos θ2(sin θ－μcos θ)

·R . 答案：(1)R μ (2)(3－2cos θ)mg (3)3＋2cos θ2(sin θ－μcos θ)

·R 2．在2008年四川汶川大地震抗震救灾活动中，为转移被困群众动用了直升飞机．设被救人员的质量m ＝80 kg ，所用吊绳的拉力最大值F m ＝1 200 N ，所用电动机的最大输出功率为P m ＝12 kW ，为尽快吊起被困群众，操作人员采取的办法是，先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，而后电动机又以最大功率工作，被救人员上升h ＝90 m 时恰好达到最大速度(g 取10 m/s 2)，试求：

(1)被救人员刚到达机舱时的速度；

(2)这一过程所用的时间．

解析：(1)第一阶段绳以最大拉力拉着被救人员匀加速上升，当电动机达到最大功率时，功率保持不变，被救人员变加速上升，速度增大，拉力减小，当拉力与重力相等时速度

达到最大．由P m ＝F T v m ＝mg v m 得v m ＝P m mg ＝12×10380×10

m/s ＝15 m/s (2)a 1＝F m －mg m ＝1 200－80×1080

m/s 2＝5 m/s 2 匀加速阶段的末速度v 1＝P m F m ＝12×1031 200 m/s ＝10 m/s ，时间t 1＝v 1a 1＝105

s ＝2 s

上升的高度h 1＝v 12t 1＝102

×2 m ＝10 m 对于以最大功率上升过程，由动能定理得：P m t 2－mg (h －h 1)＝12m v 2m －12

m v 21 代入数据解得t 2＝5.75 s ，所以此过程所用总时间为t ＝t 1＋t 2＝(2＋5.75) s ＝7.75 s. 答案：(1)15 m/s (2)7.75 s

3.如图5－2－18所示，质量m ＝0.5 kg 的小球从距离地面高H ＝5 m 处自由下落，到达地面时恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆形槽的半径R ＝0.4 m ，小球到达槽最低点时速率恰好为10 m/s ，并继续沿槽壁运动直到从槽左端边缘飞出且沿竖直方向

上升、下落，如此反复几次，设摩擦力大小恒定不变，取g ＝10 m/s 2，求：

(1)小球第一次飞出半圆形槽上升到距水平地面的高度h 为多少？

(2)小球最多能飞出槽外几次？

解析：(1)在小球下落到最低点的过程中，设小球克服摩擦力做功为W f ，由动能定理得：

mg (H ＋R )－W f ＝12

m v 2－0 从小球下落到第一次飞出半圆形槽上升到距水平地面h 高度的过程中，

由动能定理得mg (H －h )－2W f ＝0－0

联立解得：h ＝v 2g －H －2R ＝10210

m －5 m －2×0.4 m ＝4.2 m. (2)设小球最多能飞出槽外n 次，则由动能定理得：mgH －2nW f ＝0－0

解得：n ＝mgH 2W f ＝mgH 2⎣⎡⎦

⎤mg (H ＋R )－12m v 2＝gH 2g (H ＋R )－v 2＝6.25 故小球最多能飞出槽外6次．

答案：(1)4.2 m (2)6次

4．如图5－2－19甲所示，一竖直平面内的轨

道由粗糙斜面AD 和光滑圆轨道DCE 组成，

AD 与DCE 相切于D 点，C 为圆轨道的最低

点，将一小物块置于轨道ADC 上离地面高为

H 处由静止下滑，用力传感器测出其经过C 点

时对轨道的压力F N ，改变H 的大小，可测出

相应的F N 的大小，F N 随H 的变化关系如图乙

折线PQI 所示(PQ 与QI 两直线相连接于Q

点)，QI 反向延长交纵轴于F 点(0,5.8 N)，重

力加速度g 取10 m/s 2，求：

(1)小物块的质量m ；

(2)圆轨道的半径及轨道DC 所对应的圆心角θ.(可用角度的三角函数值表示)

(3)小物块与斜面AD 间的动摩擦因数μ.

解析：(1)如果物块只在圆轨道上运动，则由动能定理得mgH ＝12

m v 2解得v ＝2gH ；

由向心力公式F N －mg ＝m v 2R ，得F N ＝m v 2R ＋mg ＝2mg R

H ＋mg ； 结合PQ 曲线可知mg ＝5得m ＝0.5 kg.

(2)由图象可知2mg R

＝10得R ＝1 m ．显然当H ＝0.2 m 对应图中的D 点， 所以cos θ＝1－0.21

＝0.8，θ＝37°. (3)如果物块由斜面上滑下，由动能定理得：mgH －μmg cos θ(H －0.2)sin θ＝12

m v 2 解得m v 2＝2mgH －83

μmg (H －0.2) 由向心力公式F N －mg ＝m v 2R 得F N ＝m v 2R ＋mg ＝2mg －83μmg R H ＋1.63μmg ＋mg 结合QI 曲线知1.63

μmg ＋mg ＝5.8，解得μ＝0.3. 答案：(1)0.5 kg (2)37° (3)0.3