电磁学第四章恒定电流和电路

dq en dS u dt
J enu
铜导线一般 n～1028m-3 ，u～0.15mm/sec 所以，电流密度大小为J～104 库/秒米2。
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4. I 与 J 的关系：
通过导体中任意截面 S的电流 强度为：
I
导体中各点的 J 可以有不同的量值和方向，它是空
电流密度矢量的通量等于该面内 电荷量的减少率. 物理实质：电荷守恒定律. 3.恒定电流和恒定电场

S
要在导体中维持恒定电流，必须在导体内建立 dq 一个不随时间变化的恒定电场.这就要求激发 dt 0 电场的电荷分布不随时间变化，即
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电流稳恒条件
J dS 0
S
上式表明，形成恒定电流时，在导体内从任一闭合 曲面流入的电荷量等于流出的电荷量. 恒定电场 激发电场的电荷分布不随时间变化，所建立 起的电场也不随时间变化，称为恒定电场. 讨论: ①稳恒的含义是指物理量不随时间改变. 稳恒条件可说成电荷分布不随时间变化，而并不意 味着电荷不能运动. 形成恒定电流的电荷处于宏观的定向运动状态之中.
电流线上每一点的切线方向就是 的方向，电流线的疏密表示它 J 的大小。 J 即| | 电流线的疏密度。
根据电荷守恒，在有电流分布的空间作一闭合 曲面，单位时间内穿入、穿出该曲面的电量等于 曲面内电量变化速率的负值。
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2.电流连续性方程
dq J dS dt S
§4.4 电动势和全电路欧姆定律
4.4.1 非静电力
稳恒电流线必然是闭合的。然而仅有静电场不可能实现稳恒 电流。因为静电场的一个重要性质是
E dl 0
L
即电场力沿闭合回路移动电荷所做的功为0。若电场力将电 荷从一点移到另一点做正功，电势能减小，则从后一位置 回到原来位置电场力做负功，电势能增加。由于导体存在 电阻，电场移动电荷所做的功转化为电阻上消耗的焦耳热， 这就不可能使电荷再返回电势能较高的原来位置，即电流 线不可能是闭合的。结果引起电荷堆积，破坏稳恒条件。
元件，当两球壳间填满电阻率为 的材料后，证明 该电阻器的电阻值为
1 1 R 4 r1 r2
O
证：如图所示，取半径 r 厚度 dr 的 薄球壳，其电阻为
dr dr dR 2 S 4r 该电阻器的电阻为 dr 1 1 r2 R r 2 1 4 r1 r2 4r
W qU UIt
W P UI t
单位：焦耳（J）
2、电功率——电场力在单位时间内完成的功 单位：瓦特（w） 度（千瓦时，）
3、焦耳定律 若电路中只含有电阻，则电场力所做的功全部转化为热能
Q I Rt
2
即Q与电流的平方、电阻和通电时间成正比 功率
P I 2R
注意，IU 表示输入到用电器的总功率，如果用电器 是电动机，则这部分功率部分转化为机械功率，部 分转变为热功率 I 2 R ，此时后者与输入的总功率并 不相等。
4、应用： 电阻率的数量级： 小——用来作导线 纯金属：10-8W .m 大——用来作电阻丝 合金：10-6W .m 小——制造电工仪表和标准电阻 半导体：10-5~10-6W .m 大——金属电阻温度计 绝缘体：108~1017W .m
4.3.2 超导体 1、超导现象的发现
超导体最早是由荷兰物理学家昂 尼斯于1911年发现的。他利用液 态氦的低温条件，测定在低温下 电阻随温度的变化关系，观察到 汞在4.2K附近时，电阻突然减少 到零，命名为 超导体。 在低温物理作出的杰出贡献，获 得1913年诺贝尔物理学奖。 迄今为止，已发现28种金属元素（地 球的常态下）以及很多合金和化合物 具有超导电性。还有一些元素只在高 压下具有超导电性。提高超导临界温 度是推广应用的重要关键之一。超导 的特性及应用有着广阔的前景。
也是沿电流管的，从而
I U / R J S
l E
S
J
U El
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§4.3 欧姆定律和焦耳定律
4.3.1欧姆定律，电阻
欧姆（Georg Simom Ohm，1787-1854） 德国物理学家，他从1825年开始研究导电 学问题，他利用电流的磁效应来测定通过 导线的电流，并采用验电器来测定电势差， 在1827年发现了以他名字命名的欧姆定律。 电流和电阻这两个术语也是由欧姆提出的。
4.2.2 直流电路
（1）直流电路中同一支路的各个截面有相同的电 流I。 （2）流进直流电路任一节点的电流等于从该节点流 出的电流。(称为基尔霍夫第一定律）
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§4.3 欧姆定律和焦耳定律
4.3.1 欧姆定律的微分形式
在导体的电流场内取长 l 垂直截面为 S 的一小电流 管，根据欧姆定律有
实验表明，导体中的场强 E 与电流 密度 j 方向处处一致，场强的方向
r2

S2
t
r1
S1 r2
dr 平行于电流方向，dS 垂直于电流方向。
4.4.4、电流的功和功率
稳恒电流的情况下，在相同时间间隔 dt内，通过空间各点的电量 dq相同。 电场力对导线A、B内运动电荷做的功 等于把电量 dq从A 移到 B所做的功。
A
B
1、电场力做功 若电路两端的电压为U，则当电量为q=It 的电 荷通过这段电路时，电场力所做的功为
在导体中，电流的方向总是沿着电场方向，从高 电势处指向低电势处.
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电流的方向与矢量的方向在本质上是不同的。 电流的方向只是表明电流的流向，是对一个曲面而 言的.而一个矢量在空间可以有无数个可能的方向. 电流的大小和方向都不随时间而变化，则称为恒定电 流(steady current)或直流电（direct current ）。 电流强度是宏观量，只能描述通过导体某一截面电流 的整体特性，不能说明截面上各点的情况. 当通过任一截面的电量不均匀时， 用电流强度来描述就不够用了，有 必要引入一个描述空间不同点电流 大小和方向的物理量。
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② 电流线不可能在任何地方中断，即是闭合曲线。 ③ 在没有分支的恒定电路中，通过各截面的电流 必定相等；而且恒定电路必定是闭合的。 ④ 恒定电场与静电场相同，遵守高斯定理和环路定 理等基本规律，是保守场，可以引入电势的概念；
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§4-2 直流电路
4.2.1 电路
根据一定的目的，用导线把电源、用电器（又称负 载）以及可能存在的中间环节（如开关）连接起来 的电流通路叫做电路。
间位置的矢量函数;在导体中构成一个矢量场，也称 电流场.
电流强度是电流密度矢量通过 S面的通量。所以电 流密度和电流强度的关系，就是一个矢量场和它的 通量的关系.
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S
dS J
三、 稳恒电流和恒定电场
1. 电流线和电流场 类似于电场线引入电流线来描述由 J 组成的电流分布，称之为电流场。
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要维持稳值电流，必须有非静电力。非静电力做功，将其他 形式的能量补充给电路，使电荷能够逆着电场力的方向运动， 返回电势能较高的原来位置，从而维持电流线的闭合性。
4.4.2.电动势
全电路欧姆定律
E
外电路 电源 E
E非
提供非静电力的装置称为电源。
在电源的外部只有静电场 E ，而在电
电源电动势E 的定义为把单位正电荷从电源负极经内 部移到正极时，非静电力所做的功。即
源的内部，除了静电场之外，还有非 静电场 E非 ， E 与 E非 的方向相反。
普遍的欧姆定律的微分形式应是
J g ( E非 E )
在电源的内部，非静电场由负极指向正极。
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电源外部在静电力的推动下形成由正极到负极的电 流。在电源内部，非静电力的作用使电流从内部由 负极回到正极，使电荷的流动形成闭合的循环。
r1
r
dr
r2
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例 2
两同轴铜质圆柱形套管，内圆柱
的半径 a ，外圆柱的半径b ，两圆柱间充 以电阻率为 的石墨。若以内圆柱作为 一电极，外圆筒为另一电极，求石墨的 电阻。
a
b
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解 2
在石墨中取半径 r ~ r dr 的一薄同轴圆柱
壳，其径向电阻为
dr dR 2rL
内外金属电极间的电阻为
dV dI dR
dl dR dS
dI 1 dV dS dl
1 dV dI dS dl
dS V dl V+dV
dV Edl
J
E
J E / gE

欧姆定律的微分形式： 通过导体中任一点的电流 密度，等于该点的场强与 导体的电阻率之比值
例题1 内外半径分别为 r1 和 r2 的两个同心球壳构成一电阻
dr b R dR ln 2rL 2rL a
b a
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例3、一块扇形碳制电极厚为 t，电流从半径为 r1的端面 S1流 向半径为 r2的端面 S2，扇形张角为，求：S1 和 S2面之间的 电阻。 解：
dl dr dR S rt dr R r1 rt r2 R ln t r1
2、超导现象的几个 概念：
有些金属在某些温度下， 其电阻会突变为零。这 个温度称为超导的转变 温度，上述现象称为超 导现象。在一定温度下 能产生零电阻现象的物 质称为超导体。
4.3.3 欧姆定律的微分形式
在导体中取一长为dl、横截面积为dS的小圆柱体，圆柱体的轴 线与电流流向平行。设小圆柱体两端面上的电势为V和V+dV。 根据欧姆定律，通过截面dS的电流为
• 在导体内有可以自由移动的电荷（载流子） 在半导体中是电子或空穴 在金属中是电子 在电解质溶液中是离子 • 在导体内要维持一个电场，或者说在导体两端要存在 有电势差 S
2、电流的方向 正电荷移动的方向定 义为电流的方向
I
电流的方向与自由电子移 动的方向是相反的。
2
3. 电流强度（简称电流）(electric current )
单位：安培／米2。
P
dS

j
5
3. 与微观量的关系： J
设 n为单位体积内电子密度。 udt 导体在外电场 E 中，电子在 杂乱无章的热运动上叠加一 个沿场强反方向上的定向漂 。在 移，设漂移速度为 u dt dq 时间内穿过 dS面的电子数, 即电量为：
dS
u
R
1、欧姆定律
I
+ •当导体两端有电势差时， U G ——电导（S西门子） 导体中就有电流通过 R=1/G——电阻（Ω 欧姆） •一段导体中的电流I 与其 两端的电势差U(=V1-V2)成 •欧姆定律对金属或电解液成立 正比——一段均匀电路的 •对于半导体、气体等不成立，对于 欧姆定律 一段含源的电路也不成立
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二、电流密度
1、电流密度：
描述电流分布的物理 量——电流密度。
P vdt
ds
设q>0 J
v
2、定义：
电流密度矢量的方向为空间某点处正电荷的运动方向, 它 的大小等于单位时间内该点附近垂直于电荷运动方向的单 位截面上所通过的电量。 en
dI J dS
dI J dS JdS cos
_
I GU
U I R
2 、 电阻率
对于粗细均匀的导体，当导体的材料与温度一定时，导 体的电阻与它的长度l 成正比，与它的横截面积S成反比 dl l ：电阻率 R R S S g =1/ ：电导率

电阻与温度的关系
2 1 1 T2 T1
叫作电阻的温度系数，单位为K-1，与导体的材料有关。
定义:单位时间内通过导体任一截面的电量.
q dq I秒=安培
（CT 1） A 常用毫安（mA）、微安（A）
讨论：
①电流强度是标量,用 I 表示。 它是国际单位中的基本量。
I
正负电荷运动对电流的贡献具有等效性.习惯上常规定正 电荷流动的方向为电流的正方向。
第四章
恒定电流和电路
静电场中的导体处于静电平衡时，其内部的场强为零，内部 没有电荷作定向的宏观运动。 v
如果把导体接在电源的两极上， 则导体内任意两点之间将维持恒 定的电势差，在导体内维持一个 电场，导体内的电荷在电场力的 作用下作宏观的定向运动，形成
电流。
U
1
§4-1 电流 电流密度
一、电流
1、形成电流的条件