5刚体力学解析

第五章刚体定轴转动刚体：任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）。

刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。

有关质点系的规律都可用于刚体，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。

§1 刚体的运动一. 刚体的运动形式1.平动在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动。

平动是刚体的基本运动形式之一，刚体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。

以前所讲过的关于质点的运动学规律都适用于刚体的平动。

2.转动转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为：定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。

（本章着重讨论定轴转动）定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动（如陀螺的运动）。

在动力学的处理中，通常选取质心为基点比较方便。

二. 刚体转动的描述（运动学问题）1.定点转动 （1）角量的描述刚体绕基点O 的转动，其转轴是可以改变的。

为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢和转向，引入角速度矢量ω。

td d θωω== 式中θd 是刚体绕瞬时轴转动的无限小角位移。

规定角速度的方向沿瞬时轴，且与刚体转向成右手螺旋关系。

为反映刚体角速度的变化情况，引入角加速度矢量 tdd ωα=一般情况下，α并不一定沿着瞬时轴。

在定轴转动的情况下，ω 和α都只有沿固定转轴的分量，此时可用代数量ω和α来表示角速度和角加速度。

设定转轴的取向，规定转向与转轴取向成右手螺旋关系时的ω和α为正量，反之为负量。

（2）线量和角量的关系刚体上任意点P P 点线速度：r r⨯=⨯=⊥ωωvP 点线加速度：vd d d d d v d⨯+⨯=⨯+⨯==ωαωωr t r r t t ar⨯α称作旋转加速度； v⨯ω称作向轴加速度。

2.定轴转动此时转轴固定，矢量αω、退化为代数量。

刚体上各点都绕同一轴作圆周运动，且各点αω、都分别相同。

ω⊥=r v αωω⊥⊥⊥====r tr t a r a t n d d d v d 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-+=)(2 21 )( 0202200θθαωωαωθθαωωt t t§2 刚体的定轴转动定律ω⋅∆=∆====∑∑∑⊥⊥)( v )(d d )(d d 2ii i ii i i iiz z z z r m r m L L z tL M O tL M 轴对点对外外令 ∑⊥∆=ii i z r m J 2 ─ 刚体对z 轴的转动惯量则 ω⋅=z z J L ，tJ t L M zz z d d d d ω==外 即 αz z J M =外 ─ 转动定律其中∑⋅=⊥⊥ii i i z r F M θsin 外 是对z 轴的外力矩和。

定轴情况下，可不写下标z ，记作：αJ M = ，J 反映刚体的转动惯性。

转动定律与牛顿第二定律相比，有M ～ F ， J ～ m ， α～ a 。

§3 转动惯量的计算⎰∑⋅=∆=⊥⊥mi i m r J r m J )( d )(22连续分立J 由质量对轴的分布决定。

一. 常用的几种转动惯量表示式 细圆环： 2mR J O =均匀圆盘：221mR J C =RmO m均匀细杆：2121ml J C =，231ml J A =二.计算转动惯量的几条规律 1. 对同一轴J 具有可叠加性 ∑=i J J 2.平行轴定理2md J J C +=min J J C =∴§4 转动定律应用举例已知：如图示，轮R = 0.2m ，m =1kg ，v o =0，h =1.5m ，绳轮间无相对滑动，绳不可伸长，下落时间t =3s 。

求：轮对O 轴J =？ 解：动力学关系：对轮：α⋅=⋅J R T (1) 对m ： ma T mg =- (2)C d m JC J 平行×运动学关系：Ra=α221ath= (4) (1)~(4)联立解得22)12(mRhgtJ-=分析结果：·单位对；·h、m一定，J↑→t↑，合理；·若J = 0，得221gth=，正确。

代入数据：222mkg14.12.01)15.1238.9(⋅=⨯⨯-⨯⨯=J§5 定轴转动中的功能关系一. 力矩的功力矩的空间积累效应：θθαθαdd)cos()d(cosdMrFrFW=⋅==⊥⊥⊥⊥力矩的功21⎰=θθθMdW二. 定轴转动动能定理⎰⎰⎰===212121dddddθθωωθθωωθωθJtJMW21222121ωωJJ-=T =–T′令 221ωJ E k = ─ 转动动能）（可证：∑∆=22v 2121i i m J ω 于是得到刚体定轴转动动能定理： 12k k E E W -= 四. 应用举例对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。

[例]已知：如图示，均匀直杆质量为m ，长为l ，初始水平静止。

轴光滑，4/l AO = 。

求:杆下摆到θ角时，角速度=ω？轴对杆的作用力=N？解：（杆+地球）系统，只有重力作功，E 守恒。

初态：，01=k E 0 1=P E 令 末态：,2122ωO k J E =θsin 42lmg E P -= 则： 0sin 4212=-θωlmg J O (1)由平行轴定理 2md J J C O += ，有 222487)4(121ml l m ml J O =+= (2)(1)、(2)解得： lg 7sin 62θω= 。

应用质心运动定理求轴力N：C a m g m N=+Cl l ma N mg l =+-θsin ˆ方向：(3) Ct t ma N mg t =+θcos ˆ方向： (4)7O lCt J mg l l a θαcos 444⋅==7cos 3θg =(6) 由(3)(4)(5)(6)解得：,sin 713θmg N l =θcos 74mg N t-= t mg l mg N ˆcos 74ˆsin 713⋅-⋅=θθN16sin 15372+⋅=θmgN)ctg 134(tg ||tg11θβ--==l t N N§6 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律现在讨论力矩对时间的积累效应。

质点系：对点：tLM d d =外，1221d L L t M t t -=⎰外对轴： z t t z z L L t M 1221d -=⎰外刚体： L z =J z ω由此得到刚体定轴转动的角动量定理： 1221d ωωz z t t z J J t M -=⎰外刚体定轴转动的角动量守恒定律：若M 外z = 0，则J z ω= 常量.若几个刚体组成一个刚体系，且其中各刚体都绕同一轴转动。

则在刚体系0=z M 外的情况下，有.const ∑=i iz J ω，这时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。

[例] 如图示，已知：h ，R ，M =2m ，θ=60︒求：碰撞后的瞬刻盘的 ？=0ω(黏土块)yP 转到x 轴时盘 的 ω=? ?=α解：m 下落：⇒=2v 21m mghgh 2v = (1)对（m +盘）系统，碰撞t ∆极小，冲力远大于重力，故重力对O 轴力矩可忽略，又轴处外力对轴的力矩为零，故系统角动量守恒：0cos v ωθJ Rm = (2) 又 222221mR mR MR J =+= (3)由(1)(2)(3)得：θωcos 220Rgh=(4) 对（m + M +地球）系统，只有重力作功，E 守恒，令P 、x 重合时E P = 0，则：2202121sin ωωθJ J mgR =+ (5)由(3)(4)(5)得：vα,θθωsin cos 222R g Rgh += )34(2.21R h g R += )60( =θ Rg mR mgR J M 222===α 。

一、基本要求1．掌握质点系对定轴的角动量守恒定律并应用其解题。

2．理解刚体定轴转动定律，会求解定轴转动刚体与质点的联动问题。

3．理解刚体定轴转动的动能定律及刚体与质点系统的功能关系。

4．了解转动惯量的定义及计算方法。

二、知识系统图例题1.判断对错（1）匀速定轴转动的刚体上任一点的切向加速度和法向加速度均为零。

（2）作用在定轴转动刚体上的两个力的合力为零时，合力矩也一定为零，总功也一定为零。

（3）作用在定轴转动刚体上的两个力的合力矩为零时，合力也一定为零，总功也一定为零。

（4）一物体可绕定轴无摩擦匀速转动，当它热胀冷缩时，其角速度保持不变。

（5）已知刚体质心C 距离转轴为c r ,则刚体对该轴的转动惯量为2c mr J =。

答：（1）选题目的 明确匀速定轴转动刚体上任一点的运动情况。

错误。

匀速定轴转动刚体上的任一点都作匀速圆周运动，速度的大小不变而方向时刻在改变，所以切向加速度为零，而法向加速度不为零。

（2）选题目的 明确对定轴转动刚体的力与力矩的区别及力与力矩的功的区别。

错误。

大小相等方向相反的两个力，如果作用在刚体上距转轴距离不同的两个点，则合力为零但合力矩不为零，合力矩不为零时总功也不为零。

（3）选题目的 同（2）。

错误。

作用在刚体上距转轴距离不同的两个点上的两个力，合力矩为零时，合力必然不为零。

但因合力矩为零，所以总功为零。

（4）选题目的 对定轴的角动量守恒定律的灵活运用。

错误。

物体热胀冷缩，是质元间内力相互作用的结果，因外力矩为零，所以对定轴的角动量ωI 守恒。

热胀时I 增大ω减小，冷缩时I 减小ω增大。

（5）选题目的 对转动惯量定义的理解。

错误。

转动惯量定义为dm r J ⎰=2 ，根据质心的定义m dm r r c ⎰= （m 是刚体的质量）显然有2c mr J ≠。

2．一个内壁光滑的圆环形细管，正绕竖直光滑固定轴OO ′自由转动。

管是刚性的，转动惯量为J 。

环的半径为R ，初角速度为0ω，一质量为m 的小球静止于管的最高点A 处，如图所示，由于微小干扰，小球向下滑动。

试判断小球在管内下滑过程中，下列说法是否正确，并说明理由。

（1）地球、环与小球系统的机械能不守恒；（2）小球的动量不守恒；（3）小球对OO ′轴的角动量守恒。

解：选题目的 明确机械能、动量和角动量守恒的条件及分析方法。

（1）不正确。

对小球、环管、地球系统，外力的功为零，非保守内力只有一对小球与管壁之间的相互作用力N 和N '。

在小球下滑过程中，小球受管壁的压力N 始终与小球相对管壁的速度方向（与管壁相切）垂直，所以N 和N '这一对力做功之和为零，此结论与参照系的选择无关，所以有0=非保内W ，因此系统满足机械能守恒的条件。

（2）正确。