第2章 机器人运动学
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 sin 1 0 0 cos
cos R Z , sin 0
sin cos 0
0 0 1
2.1.3 坐标系的描述
通常我们将物体 B 与坐标系
A
B
固联。坐标系
B
的原点一般选在物体的特征点
上，如质心或对称中心等。相对参考坐标系
同一点 P 在两个坐标系 映射关系：
A
A和
B 中的描述 P 和 P 具有以下
A
B
P=
A B
R BP
A B
B R和 A R 都是正交矩阵，两者互逆
B A A 1 A T R=B R =BR
2.2.3 一般映射
任一点 P 在两坐标系
A
A和
B
中的描述 P 和 P 具有以下映射关系：
A
B
A P B R B P A PBO
A A BR BT 0 0 0 A
PBO 1
P=[0 0 0 0] 没有意义。 2 2 2 我们通常规定：列向量P=[a b c 0] T （a +b +c 0 ） 表示空间的无穷远点，包括无穷远点的空间称为扩大空 间。而把第4个元素非零的点称为非无穷远点。 无穷远点[a b c 0]T 的三元素a、b、c称为它的方向数。 以下三个无穷远点 [1 0 0 0] T、[0 1 0 0] T、[0 0 T 1 0] 分别代表OX、OY、OZ轴上的无穷远点，用它们 分别表示这三个坐标轴的方向。而非无穷远点[0 0 0 T 1] 代表坐标原点。 因此，利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可用来 规定矢量的方向。当第4个元素非零时，代表点的位置； 第4个元素为零时，代表方向。
2.7连杆坐标系
每一连杆上固接一个坐标系，与连杆 i 固接的坐标系称为坐标系
i
连杆坐标系建立的步骤
1) 找出并画出各个关节轴线； 2) 找出并画出相邻两轴线 i 和 i+1 的公垂线 ai ，或两轴线的交点。求出 公垂线 ai 与轴线 i 的交点，令这个交点为坐标系 3) 规定 Zi 轴与关节 i 轴重合； 4) 规定 X i 轴与公垂线 ai 重合，如 Zi 与 Z i 1 相交，则规定 X i 是 Zi 和 Z i 1 所 组成平面的法线；
2.6 连杆参数和关节变量
2.6.1 连杆描述
通常用连杆长度
ai 1 和扭角 i 1
来规定连杆 i 1 本身的特征
2.6.2 连杆连接的描述
(1)中间连杆连接的描述
相邻两连杆之间有一个共同的关节轴线，每一关节轴线有两条公法线与它垂 直，每条公法线相应于一条连杆。这两条公法线(连杆)的距离称为连杆的偏置， 记为 d i ，它代表连杆 i 相对于连杆 i 1 的偏置。两公法线(连杆)之间的夹角称 为关节角，记为 i ，它表示连杆 i 相对连杆 i 1 绕该轴线 i 的旋转角度。
2.8连杆变换和运动学方程
2.8.1 相邻两连杆坐标系之间的变换矩阵
坐标系
i 1 i
i
相对于坐标系
i 1 的变换
i 1 i
T
(4 1)
T Rot ( X ,i1 )Trans( X , ai1 )Rot (Z ,i )Trans(Z , di )
si ci c i 1 ci s i 1 0 0 s i 1 c i 1 0 di s i 1 di s i 1 1 ai 1
A
。另规定一个
B
，此坐标系的 Z 轴设在手指接近物
体的方向，称接近矢量 a (approach)；Y 轴设在两手指的联线方向，称方位 矢量 o (orientation)；X 轴根据右手法则确定，以 n 表示，称为法向矢量 (normal)， n = o a 。因此,手爪的方位由旋转矩阵
A T
i
l2
y i B i
z i
x
Ai 为站立腿的立足点， Bi
代表机器人机体上臀关节 的连接点。 l j j 1,2,
Bi
l1
l3
,5
代表第 j 个连杆的长度，其中
o
i
l4
i
pBi
l1 ， l2 和 l3 属于平面连杆机构，
i ， i 和 i 代表驱动关节的
l5
o
Ai
Z
p Ai
i
Y
o
X
位置（角度） ，而 i ， i 和 i 代表被动关节的位置。
o
1 齐次变换
TBi Trans( o xAi , o yAi , o zAi )Rot z ,i Trans(0,0, l5 )Trans(l4 ,0,0)
Rot y,i Trans(0,0, l3 )Rot y, i Trans(0,0, l2 )Rot y,i
0 S k z k y k z 0 k x k y 0 k x z 0 y z 0
角速度算子矩阵
x
y x
0
旋转矩阵的导数
R t S R = R
i
的原点 Oi ；
5) 按右手法则决定 Yi = X i × Zi ； 6) 当第一个关节的变量为零时，规定
0
与
1
重合。对于末端坐标系
n
，原点和 X n 的方向可任意选取。但是希望所选择的坐标系
n
能使
连杆参数尽可能为零。
以上介绍了Denavit-Hartenberg规定各连杆坐标系和确定连杆参数的一般 方法。在此基础上可以导出连杆变换和机器人运动方程。
R n,
o , a
三个单位正交列矢量 n、o、a 描述了手爪的姿态方位。 手爪的位置由其坐标系的原点所规定，用位置矢量 P 来描述。
2.2 点的映射
2.2.1 坐标平移
点 P 在坐标系
A
P ，则它相对于坐标系 B 中的位置为
B
A
的位置
P 由矢量相加有：
A
P B P APB0
2.2.2 坐标旋转
B T ， C 相对于 B 的描述为 C T
复合变换：
C A
A C
B TA T B CT
将 P 映百度文库为 P ：
A C
A
A C P C T P
B RC R A B A R BP PB 0 C0 1
T T T 0
A B B C
A B
0
0
(2) 变换矩阵求逆
坐标系
T
2.4变换矩阵的运算
记在坐标系
A
中，点 P 经转动和平移前后的位置为 P 1 和 P 2 ，两者
A
A
的关系可用齐次变换 T 来表示
A
P 2 = T P1
A
齐次变换 T 作为算子使用时，不带上、下标。
变换矩阵的运算
(1) 变换矩阵相乘
对于给定的坐标系
A B
A
、
B
和
C
，已知
B
相对于
A
的描述为
2.3 齐次坐标和齐次变换
A AP B R 1 0 0 0 A
PB 0 B P 1 1
A
B P A T P B
A
B 位置矢量 P 和 P 表示成 4 x 1 的列矢量，加入了第 4 个分量 l，
称为点 P 的齐次坐标。
A B
T 称为齐次变换矩阵，是 4 4 的方阵
B
B 相对于
A 的齐次变换矩阵已知为 BT ， A
A
相对于
B
的
描述 AT
B AT 0
B A 1 T =A T B
A B
RT 0
A T A B R PB 0 0 1
2.5旋转矩阵的导数
角速度矢量
x k x k k y y k z z
(2)首端连杆和末端连杆的规定
连杆长度 ai 和扭角 i ，习惯约定： a0 an 0 和 0 n 00
d i 和 i ，一个量任意选定，另一量取为 0，可使连杆坐标系相应的齐次变换
尽可能地简单
(3)连杆参数和关节变量
每个连杆由 4 个参数所描述，其中 2 个描述连杆本身，另外 2 个描述该连杆 与相邻连杆的连接关系。对于旋转关节，i 是关节变量，其它 3 个固定不变，称 为连杆参数。对于移动关节，di 是关节变量，其它 3 个固定不变，称为连杆参数。 这种描述机构运动关系的规则称为 Denavit—Hartenberg 方法。
2.1 刚体位姿的描述
2.1.1 位置描述—位置矢量
对于选定的直角坐标系
Px A P Py P z
其中 Px 、 Py 、 Pz 是点 P 在坐标系 上标 A 代表选定的参考坐标系
A
，空间任一点P的位置可用
3×1的列矢量 A P 表示：
。
A P的 中的三个坐标分量。 A
机器人引论
第2章 机器人运动学
第2章 机器人运动学
2.1 刚体位姿的描述 2.2 点的映射 2.3 齐次坐标和齐次变换 2.4 变换矩阵 2.5 旋转矩阵的导数 2.6 连杆参数和关节变量 2.7 连杆坐标系 2.8 连杆变换和运动学方程 2.9 多足步行机器人的运动学
A T R 1 B R
A B
A B
R 1
经常用到的旋转变换矩阵是绕x轴、绕y轴或绕z轴转一 角度。它们可以表示为：
0 1 R X , 0 cos 0 sin
cos R Y , 0 sin
sin cos 0
ci s c i 1 i i 1 T i si s i 1 0
(4 3)
式中： ci cos i ， si sin i ，其余类似
2.8.2 运动学方程的建立
末端连杆坐标系
0 n
n
相对于基坐标系
0
的变换矩阵
1 n1 0 1 n1 T0 T T T T ( q ) T ( q ) T (qn ) 1 2 n 1 1 2 2 n
r13 r23 r33
A
A X B 、 AYB 和 A Z B 两两相互垂直， B R 的行列式等于 1
A
X B · A X B = AY B · AY B = A Z B · A Z B = 1
A
X B · AYB = AYB · AZ B = A Z B · A X B = 0
A
2.1.2 方位的描述—旋转矩阵
设一直角坐标系
A
B
与此刚体固接。我们用坐标系
的三个单位主矢量 X B 、 YB 、 Z B 相对于坐标系 的方向余弦组成的3×3矩阵
A B A R XB A
A
B
YB
ZB
r11 r A R B 21 r31
r12 r22 r32
A ，用位置矢量 PB0 描述坐标系 A
B
原点的位置，而用旋转矩阵( B R )描述坐标系 可由 A PB O 和 B R 描述。即
A
B
的方位(姿态)。因此，坐标系
B
B BA R, A PBO
2.1.4 机器人操作臂手爪位姿的描述
为了描述它的位置和姿态(位姿)，选定一个参考坐标系 坐标系与手爪固联，称手爪坐标系
2.9.2 多足步行机器人机构特征
臀关节轴心线和机器人机体平面平行时，机器人类似于 哺乳动物的运动形式，而当臀关节轴心线和机体平面垂 直时，则机器人类似于爬行动物的运动形式
z y x z x x y z y
(a) 爬行类四足机器人
(b) 爬行类六足机器人
(c) 哺乳类四足机器人
2.9.3 站立腿的运动学计算
通常把 0 nT 称为操作臂的变换矩阵。显然它是 n 个关节变量
q i ， (i 1, 2, , n 1, n) ，的函数
2.9多足步行机器人的运动学
2.9.1 引言
作为一种多支链运动机构，多足步行机器人不仅是一种拓 扑运动结构，还是一种冗余驱动系统。一般而言，具有全 方位机动性的多足步行机器人每条腿上至少有3个驱动关 节，一个四足机器人就有12个驱动关节，而六足机器人则 就有18个驱动关节。机器人的驱动关节数则远多于其机体 的运动自由度数。 多足机器人步行过程中，每条腿根据一定的顺序和运动轨 迹提起和放下，这一过程就叫做步态。在腿的提起和放下 过程之间，多足机器人的运动类似于一个并联机器人的运 动。运动过程可以被看成具有不同地面支撑位置的一系列 冗余驱动并联机器人的运动组合
cos R Z , sin 0
sin cos 0
0 0 1
2.1.3 坐标系的描述
通常我们将物体 B 与坐标系
A
B
固联。坐标系
B
的原点一般选在物体的特征点
上，如质心或对称中心等。相对参考坐标系
同一点 P 在两个坐标系 映射关系：
A
A和
B 中的描述 P 和 P 具有以下
A
B
P=
A B
R BP
A B
B R和 A R 都是正交矩阵，两者互逆
B A A 1 A T R=B R =BR
2.2.3 一般映射
任一点 P 在两坐标系
A
A和
B
中的描述 P 和 P 具有以下映射关系：
A
B
A P B R B P A PBO
A A BR BT 0 0 0 A
PBO 1
P=[0 0 0 0] 没有意义。 2 2 2 我们通常规定：列向量P=[a b c 0] T （a +b +c 0 ） 表示空间的无穷远点，包括无穷远点的空间称为扩大空 间。而把第4个元素非零的点称为非无穷远点。 无穷远点[a b c 0]T 的三元素a、b、c称为它的方向数。 以下三个无穷远点 [1 0 0 0] T、[0 1 0 0] T、[0 0 T 1 0] 分别代表OX、OY、OZ轴上的无穷远点，用它们 分别表示这三个坐标轴的方向。而非无穷远点[0 0 0 T 1] 代表坐标原点。 因此，利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可用来 规定矢量的方向。当第4个元素非零时，代表点的位置； 第4个元素为零时，代表方向。
2.7连杆坐标系
每一连杆上固接一个坐标系，与连杆 i 固接的坐标系称为坐标系
i
连杆坐标系建立的步骤
1) 找出并画出各个关节轴线； 2) 找出并画出相邻两轴线 i 和 i+1 的公垂线 ai ，或两轴线的交点。求出 公垂线 ai 与轴线 i 的交点，令这个交点为坐标系 3) 规定 Zi 轴与关节 i 轴重合； 4) 规定 X i 轴与公垂线 ai 重合，如 Zi 与 Z i 1 相交，则规定 X i 是 Zi 和 Z i 1 所 组成平面的法线；
2.6 连杆参数和关节变量
2.6.1 连杆描述
通常用连杆长度
ai 1 和扭角 i 1
来规定连杆 i 1 本身的特征
2.6.2 连杆连接的描述
(1)中间连杆连接的描述
相邻两连杆之间有一个共同的关节轴线，每一关节轴线有两条公法线与它垂 直，每条公法线相应于一条连杆。这两条公法线(连杆)的距离称为连杆的偏置， 记为 d i ，它代表连杆 i 相对于连杆 i 1 的偏置。两公法线(连杆)之间的夹角称 为关节角，记为 i ，它表示连杆 i 相对连杆 i 1 绕该轴线 i 的旋转角度。
2.8连杆变换和运动学方程
2.8.1 相邻两连杆坐标系之间的变换矩阵
坐标系
i 1 i
i
相对于坐标系
i 1 的变换
i 1 i
T
(4 1)
T Rot ( X ,i1 )Trans( X , ai1 )Rot (Z ,i )Trans(Z , di )
si ci c i 1 ci s i 1 0 0 s i 1 c i 1 0 di s i 1 di s i 1 1 ai 1
A
。另规定一个
B
，此坐标系的 Z 轴设在手指接近物
体的方向，称接近矢量 a (approach)；Y 轴设在两手指的联线方向，称方位 矢量 o (orientation)；X 轴根据右手法则确定，以 n 表示，称为法向矢量 (normal)， n = o a 。因此,手爪的方位由旋转矩阵
A T
i
l2
y i B i
z i
x
Ai 为站立腿的立足点， Bi
代表机器人机体上臀关节 的连接点。 l j j 1,2,
Bi
l1
l3
,5
代表第 j 个连杆的长度，其中
o
i
l4
i
pBi
l1 ， l2 和 l3 属于平面连杆机构，
i ， i 和 i 代表驱动关节的
l5
o
Ai
Z
p Ai
i
Y
o
X
位置（角度） ，而 i ， i 和 i 代表被动关节的位置。
o
1 齐次变换
TBi Trans( o xAi , o yAi , o zAi )Rot z ,i Trans(0,0, l5 )Trans(l4 ,0,0)
Rot y,i Trans(0,0, l3 )Rot y, i Trans(0,0, l2 )Rot y,i
0 S k z k y k z 0 k x k y 0 k x z 0 y z 0
角速度算子矩阵
x
y x
0
旋转矩阵的导数
R t S R = R
i
的原点 Oi ；
5) 按右手法则决定 Yi = X i × Zi ； 6) 当第一个关节的变量为零时，规定
0
与
1
重合。对于末端坐标系
n
，原点和 X n 的方向可任意选取。但是希望所选择的坐标系
n
能使
连杆参数尽可能为零。
以上介绍了Denavit-Hartenberg规定各连杆坐标系和确定连杆参数的一般 方法。在此基础上可以导出连杆变换和机器人运动方程。
R n,
o , a
三个单位正交列矢量 n、o、a 描述了手爪的姿态方位。 手爪的位置由其坐标系的原点所规定，用位置矢量 P 来描述。
2.2 点的映射
2.2.1 坐标平移
点 P 在坐标系
A
P ，则它相对于坐标系 B 中的位置为
B
A
的位置
P 由矢量相加有：
A
P B P APB0
2.2.2 坐标旋转
B T ， C 相对于 B 的描述为 C T
复合变换：
C A
A C
B TA T B CT
将 P 映百度文库为 P ：
A C
A
A C P C T P
B RC R A B A R BP PB 0 C0 1
T T T 0
A B B C
A B
0
0
(2) 变换矩阵求逆
坐标系
T
2.4变换矩阵的运算
记在坐标系
A
中，点 P 经转动和平移前后的位置为 P 1 和 P 2 ，两者
A
A
的关系可用齐次变换 T 来表示
A
P 2 = T P1
A
齐次变换 T 作为算子使用时，不带上、下标。
变换矩阵的运算
(1) 变换矩阵相乘
对于给定的坐标系
A B
A
、
B
和
C
，已知
B
相对于
A
的描述为
2.3 齐次坐标和齐次变换
A AP B R 1 0 0 0 A
PB 0 B P 1 1
A
B P A T P B
A
B 位置矢量 P 和 P 表示成 4 x 1 的列矢量，加入了第 4 个分量 l，
称为点 P 的齐次坐标。
A B
T 称为齐次变换矩阵，是 4 4 的方阵
B
B 相对于
A 的齐次变换矩阵已知为 BT ， A
A
相对于
B
的
描述 AT
B AT 0
B A 1 T =A T B
A B
RT 0
A T A B R PB 0 0 1
2.5旋转矩阵的导数
角速度矢量
x k x k k y y k z z
(2)首端连杆和末端连杆的规定
连杆长度 ai 和扭角 i ，习惯约定： a0 an 0 和 0 n 00
d i 和 i ，一个量任意选定，另一量取为 0，可使连杆坐标系相应的齐次变换
尽可能地简单
(3)连杆参数和关节变量
每个连杆由 4 个参数所描述，其中 2 个描述连杆本身，另外 2 个描述该连杆 与相邻连杆的连接关系。对于旋转关节，i 是关节变量，其它 3 个固定不变，称 为连杆参数。对于移动关节，di 是关节变量，其它 3 个固定不变，称为连杆参数。 这种描述机构运动关系的规则称为 Denavit—Hartenberg 方法。
2.1 刚体位姿的描述
2.1.1 位置描述—位置矢量
对于选定的直角坐标系
Px A P Py P z
其中 Px 、 Py 、 Pz 是点 P 在坐标系 上标 A 代表选定的参考坐标系
A
，空间任一点P的位置可用
3×1的列矢量 A P 表示：
。
A P的 中的三个坐标分量。 A
机器人引论
第2章 机器人运动学
第2章 机器人运动学
2.1 刚体位姿的描述 2.2 点的映射 2.3 齐次坐标和齐次变换 2.4 变换矩阵 2.5 旋转矩阵的导数 2.6 连杆参数和关节变量 2.7 连杆坐标系 2.8 连杆变换和运动学方程 2.9 多足步行机器人的运动学
A T R 1 B R
A B
A B
R 1
经常用到的旋转变换矩阵是绕x轴、绕y轴或绕z轴转一 角度。它们可以表示为：
0 1 R X , 0 cos 0 sin
cos R Y , 0 sin
sin cos 0
ci s c i 1 i i 1 T i si s i 1 0
(4 3)
式中： ci cos i ， si sin i ，其余类似
2.8.2 运动学方程的建立
末端连杆坐标系
0 n
n
相对于基坐标系
0
的变换矩阵
1 n1 0 1 n1 T0 T T T T ( q ) T ( q ) T (qn ) 1 2 n 1 1 2 2 n
r13 r23 r33
A
A X B 、 AYB 和 A Z B 两两相互垂直， B R 的行列式等于 1
A
X B · A X B = AY B · AY B = A Z B · A Z B = 1
A
X B · AYB = AYB · AZ B = A Z B · A X B = 0
A
2.1.2 方位的描述—旋转矩阵
设一直角坐标系
A
B
与此刚体固接。我们用坐标系
的三个单位主矢量 X B 、 YB 、 Z B 相对于坐标系 的方向余弦组成的3×3矩阵
A B A R XB A
A
B
YB
ZB
r11 r A R B 21 r31
r12 r22 r32
A ，用位置矢量 PB0 描述坐标系 A
B
原点的位置，而用旋转矩阵( B R )描述坐标系 可由 A PB O 和 B R 描述。即
A
B
的方位(姿态)。因此，坐标系
B
B BA R, A PBO
2.1.4 机器人操作臂手爪位姿的描述
为了描述它的位置和姿态(位姿)，选定一个参考坐标系 坐标系与手爪固联，称手爪坐标系
2.9.2 多足步行机器人机构特征
臀关节轴心线和机器人机体平面平行时，机器人类似于 哺乳动物的运动形式，而当臀关节轴心线和机体平面垂 直时，则机器人类似于爬行动物的运动形式
z y x z x x y z y
(a) 爬行类四足机器人
(b) 爬行类六足机器人
(c) 哺乳类四足机器人
2.9.3 站立腿的运动学计算
通常把 0 nT 称为操作臂的变换矩阵。显然它是 n 个关节变量
q i ， (i 1, 2, , n 1, n) ，的函数
2.9多足步行机器人的运动学
2.9.1 引言
作为一种多支链运动机构，多足步行机器人不仅是一种拓 扑运动结构，还是一种冗余驱动系统。一般而言，具有全 方位机动性的多足步行机器人每条腿上至少有3个驱动关 节，一个四足机器人就有12个驱动关节，而六足机器人则 就有18个驱动关节。机器人的驱动关节数则远多于其机体 的运动自由度数。 多足机器人步行过程中，每条腿根据一定的顺序和运动轨 迹提起和放下，这一过程就叫做步态。在腿的提起和放下 过程之间，多足机器人的运动类似于一个并联机器人的运 动。运动过程可以被看成具有不同地面支撑位置的一系列 冗余驱动并联机器人的运动组合