挠曲线近似微分方程积分的边界条件三
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3
材料力学Ⅰ电子教案
若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程 需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。 而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分 常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件。这两类 条件统称为边界条件。
4
材料力学Ⅰ电子教案
Fl 3 6EI
Fl 3 3EI
8
材料力学Ⅰ电子教案
例题2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并
确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
9
材料力学Ⅰ电子教案
解：该梁的弯矩方程为
M x ql x 1 qx2 q lx x2
22
2
挠曲线近似微分方程为
EIw M x q lx x2 2 以x为自变量进行积分得：
材料力学Ⅰ电子教案
一、挠曲线近似微分方程的积分形式
梁的挠曲线近似微分方程为
w M x
EI 求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
EIw M x
后进行积分，再利用边界条件确定积分常数。
1
材料力学Ⅰ电子教案
当全梁各横截面上的弯矩 可用一个弯矩方程表示时(例如 图中所示情况)有
C1l
0
即
C1
ql3 24
，C2
0
从而有
转角方程 q w q l3 6lx2 4x3 24EI
挠曲线方程 w qx l3 2lx2 x3 24EI
11
材料力学Ⅰ电子教案
根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相
等，且均为最大值，故
qmax q A qB
x2 2
C1
EIw
F
lx2 2
x3 6
C1x
C2
该梁的边界条件为：在 x=0 处 w 0，w =0
于是得
6
C1 0，C2 0
材料力学Ⅰ电子教案
从而有 转角方程 q w Fxl Fx2
EI 2EI 挠曲线方程 w Fx2l Fx3
EIw
q 2
lx2 2
x3 3
C1
EIw
q 2
lx3 6
x4 12
C1x
C2
10
材料力学Ⅰ电子教案
该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0， 在 x=l 处 w=0
于是有
C2 0
及
EIw|xl
q 2
l4 6
l4 12
2EI 6EI 根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值， 以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。
7
材料力学Ⅰ电子教案
可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有
qmax
q
|xl
Fl 2 EI
Fl 2 2EI
Fl 2 2EI
wmax
w |xl
Fl 3 2EI
ql3
24 EI
百度文库
最大挠度在跨中，其值为
wmax
w
|xl
2
ql 2
24 EI
l 3
2l
l 2
2
l 2
3
5ql 4 384 EI
12
EIw M xd x C1
EIw M xd x d x C1x C2
以上两式中的积分常数C1， C2由边界条件确定后即可得出梁 的转角方程和挠曲线方程。
2
材料力学Ⅰ电子教案
二、挠曲线近似微分方程积分的边界条件
边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如 下图所示。
三、梁的挠度和转角的积分法计算
例题1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
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材料力学Ⅰ电子教案
解：该梁的弯矩方程为
M x Fl x
挠曲线近似微分方程为
EIw M x Fl x
以x为自变量进行积分得
EIw
F lx
材料力学Ⅰ电子教案
若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程 需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。 而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分 常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件。这两类 条件统称为边界条件。
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材料力学Ⅰ电子教案
Fl 3 6EI
Fl 3 3EI
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材料力学Ⅰ电子教案
例题2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并
确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
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材料力学Ⅰ电子教案
解：该梁的弯矩方程为
M x ql x 1 qx2 q lx x2
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挠曲线近似微分方程为
EIw M x q lx x2 2 以x为自变量进行积分得：
材料力学Ⅰ电子教案
一、挠曲线近似微分方程的积分形式
梁的挠曲线近似微分方程为
w M x
EI 求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
EIw M x
后进行积分，再利用边界条件确定积分常数。
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材料力学Ⅰ电子教案
当全梁各横截面上的弯矩 可用一个弯矩方程表示时(例如 图中所示情况)有
C1l
0
即
C1
ql3 24
，C2
0
从而有
转角方程 q w q l3 6lx2 4x3 24EI
挠曲线方程 w qx l3 2lx2 x3 24EI
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材料力学Ⅰ电子教案
根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相
等，且均为最大值，故
qmax q A qB
x2 2
C1
EIw
F
lx2 2
x3 6
C1x
C2
该梁的边界条件为：在 x=0 处 w 0，w =0
于是得
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C1 0，C2 0
材料力学Ⅰ电子教案
从而有 转角方程 q w Fxl Fx2
EI 2EI 挠曲线方程 w Fx2l Fx3
EIw
q 2
lx2 2
x3 3
C1
EIw
q 2
lx3 6
x4 12
C1x
C2
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材料力学Ⅰ电子教案
该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0， 在 x=l 处 w=0
于是有
C2 0
及
EIw|xl
q 2
l4 6
l4 12
2EI 6EI 根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值， 以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。
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材料力学Ⅰ电子教案
可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有
qmax
q
|xl
Fl 2 EI
Fl 2 2EI
Fl 2 2EI
wmax
w |xl
Fl 3 2EI
ql3
24 EI
百度文库
最大挠度在跨中，其值为
wmax
w
|xl
2
ql 2
24 EI
l 3
2l
l 2
2
l 2
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5ql 4 384 EI
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EIw M xd x C1
EIw M xd x d x C1x C2
以上两式中的积分常数C1， C2由边界条件确定后即可得出梁 的转角方程和挠曲线方程。
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材料力学Ⅰ电子教案
二、挠曲线近似微分方程积分的边界条件
边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如 下图所示。
三、梁的挠度和转角的积分法计算
例题1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
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材料力学Ⅰ电子教案
解：该梁的弯矩方程为
M x Fl x
挠曲线近似微分方程为
EIw M x Fl x
以x为自变量进行积分得
EIw
F lx