蒙特卡洛方法的应用

x 1针线相交的概率为
l sin 2 l 2l 2 p dxd ˆ P X sin 2 0 0
• 根据上式，若我们做大量的投针试验并记录针与 线相交的次数，则由大数定理可以估计出针线相 交的概率 p，从而得到 的估计值。 • 针与线的位置关系：
方法简述： M x, y : a ， 设a，有限 ，0 f x ， 并设 是 b x b,0 y M X ,Y 在 上均匀分布的二维随机变量，其联合密度函 1 。则易见 数为 I
M b a
a x b , 0 y M
一、MC 的起源和发展
• 随机模拟方法，也称为Monte Carlo方法， 是一种基于“随机数”的计算方法。这一 方法源于美国在第一次世界大战进行的研 制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主 持人之一、数学家冯· 诺伊曼用驰名世界的 赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这 种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。冯· 诺 伊曼是公理化方法和计算机体系的领袖人 物，Monte Carlo方法也是他的功劳。

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2
三、MC的应用举例
1、定积分的MC计算 随机投点法 样本平均值法 几种降低估计方差的MC方法 2、 系统的可靠性数值模拟计算问题
1、定积分的MC计算 • 事实上，不少的统计问题，如计算概率、 各阶距等，最后都归结为定积分的近似计 算问题。 • 下面考虑一个简单的定积分
f x dx
function piguji=buffon(llength,mm) %llength 是针的长度 %mm 是随机实验次数 frq=0; xrandnum = unifrnd(0,0.5,1,mm); phi= unifrnd(0,pi,1,mm); for ii=1:mm if (xrandnum(1,ii)<=(llength*sin(phi(1,ii))/2)) frq=frq+1; end end piguji=2*llength/(frq/mm)
piguji = piguji = piguji = piguji = piguji = piguji = piguji = piguji = piguji =
3.1662 3.1072 3.1522 3.1386 3.1451 3.1418 3.1448 3.1405 3.1394
二、MC 的原理
• 历史上曾有几位学者相继做过这样的试验。 不过呢，他们的试验是费时费力的，同时 精度不够高，实施起来也很困难。然而， 随着计算机技术的飞速发展，人们不需要 具体实施这些试验，而只要在计算机上进 行大量的、快速的模拟试验就可以了。
• Monte Carlo方法是现代计算技术的最为 杰出的成果之一，它在工程领域的作用是 不可比拟的。
• 事实上，Monte Carlo方法的基本思想很 早以前就被人们所发现和利用。早在17世 纪，人们就知道用事件发生的“频率”来 决定事件的“概率”。18世纪下半叶的法 国学者Buffon提出用投针试验的方法来确 定圆周率π的值。这个著名的Buffon试验 是Monte Carlo方法的最早的尝试！
3、 根据概率模型的特点和随机变量的分布 特性，设计和选取合适的抽样方法，并对 每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、 分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。 4、 按照所建立的模型进行仿真试验、计算， 求出问题的随机解。 5、 统计分析模拟试验结果，给出问题的估 计以及其精度估计。 6、 必要时，还应改进模型以降低估计方差 和减少试验费用，提高模拟计算的效率。
• 应用Monte Carlo方法求解工程技术 问题可以分为两类： • 确定性问题 • 随机性问题
思路
1、 针对实际问题建立一个简单且便于实现的 概率统计模型，使问题的解对应于该模型中 随机变量的概率分布或其某些数字特征，比 如，均值和方差等。所构造的模型在主要特 征参量方面要与实际问题或系统相一致的。 2、 根据模型中各个随机变量的分布，在计算 机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的 足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的 随机数，然后生成服从某一分布的随机数， 再进行随机模拟试验。
>> buffon(.6,1000) >> buffon(.6,10000) >> buffon(.6,100000) >> buffon(.6,1000000) >> buffon(.6,1000000) >> buffon(.6,1000000) >> buffon(.6,1000000) >> buffon(.6,1000000) >> buffon(.6,1000000)
• 收敛性: 由大数定律, Monte-Carlo模拟的 收敛是以概率而言的． • 误差: 用频率估计概率时误差的估计，可由 中心极限定理，给定置信水平 的条件下， 有： U1 / 2 | | Var( g ( X )) N • • 模拟次数:由误差公式得
N (
U1 / 2
b a
• 为了说明问题，我们首先介绍两种求 的简 单的MC方法，然后给出几种较为复杂而更 有效的MC方法。

• 在计算积分上，MC的实用场合是计算重 积分
I g P dP
k
• 其中 P 是 维空间的点，当 较大时， m m 用MC方法比一般的数值方法有优点，主 要是它的误差与维数 无关。 m
Buffon试验
• 假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现 向该平面随机投掷一根长度为 l 的针( l) ， 1 • 则我们可计算该针与任一平行线相交的概率。这 里，随机投针指的是：针的中心点与最近的平行 线间的距离 x 均匀的分布在区间 0,1 上，针与平 2 行线的夹角 （不管相交与否）均匀的分布在区 间 上。0, • 因此，针与线相交的充要条件是