高考极坐标及参数方程题型总结
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(一)极坐标中的运算
1.在直角坐标系xOy 中,直线1C :
x =-2,圆2C :()()2
2
121x y -+-=,以坐标原点
为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求1C ,2C 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=∈,
设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN
的面积.
2.【2015高考新课标2,理23】选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中,曲线1cos ,:sin ,
x t C y t αα=⎧⎨
=⎩(t 为参数,0t ≠),其中0απ≤<,在以
O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin C ρθ=,曲线
3:C ρθ=.
(Ⅰ).求2C 与1C 交点的直角坐标;
(Ⅱ).若2C 与1C 相交于点A ,3C 与1C 相交于点B ,求AB 的最大值.
【答案】(Ⅰ)(0,0)和3
)2
;
(Ⅱ)4.
(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠,其中0απ≤<.因此A 得到极坐标
为(2sin ,)αα,B 的极坐标为,)αα.所以2sin AB αα
=-4in()3
s π
α=-,当56
πα=时,AB 取得最大值,最大值为4.
3.(2016年全国I 高考)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(t
为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos
θ.
(I )说明C 1是哪种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;
(II )直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2
的公共点都在C 3上,求a .
解:⑴
c o s 1s in x a t y a t
=⎧⎨
=+⎩ (t 均为参数)
∴()
2
2
2
1x y a
+
-= ①
∴1C 为以()01,为圆心,a 为半径的圆.方程为22
2
210
x y y a
+-+-=
∵22
2
sin x y
y ρ
ρθ
+==,
∴2
2
2sin 10
a
ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程 ⑵
24c o s C ρθ
=:
两边同乘ρ得2
2
22
4c o s c o s x y x
ρρθρ
ρθ==+=,
2
2
4x y
x
∴+=
即()2
2
24
x
y
-+= ②
3
C :化为普通方程为2y x
=
由题意:1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得:2
4210
x y a
-+-=,即为3C
∴2
10
a
-
=
∴1a =
4:已知圆C 的圆心C 的极坐标为 ,半径为 ,过极点O 的直线L 与圆C 交于A,B 两点, 与 同向,直线的向上的方向与极轴所成的角为α (1) 求圆C 的极坐标方程;
(2) 当α 时,求A,B 两点的极坐标以及弦
的长 5:在直角坐标系xoy 中,曲线 的参数方程为
(为参数)以O 为极点,x 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系.曲线 的极坐标方程为ρ (1) 求曲线 的极坐标方程和 的参数方程;
(2) 若射线θ 与曲线 分别交于M,N 且 = ,求实数 的最大值.
(二).参数方程中任意点(或动点) 例:曲线 :
(t 为参数), :
(θ为参数) (1).化 , 为直角坐标系方程,并说明表示什么曲线。
(2).若 上的点P 对应的参数为
,Q 为 上的动点,求PQ 中点M 到直线
(t 为参
数)距离最小值。
例:在极坐标中,射线 θ
与圆 ρ 交于A 点,椭圆D 的方程为
,以极点为原点,极轴为x 正半轴建立平面直角坐标系xoy (1) 求点A 的直角坐标和椭圆D 的参数方程;
(2) 若E 为椭圆D 的下顶点,F 为椭圆D 上任意一点,求 的取值范围。
例:在直角坐标系中,圆 经过伸缩变换
后得到曲线 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线L 的极坐标方程为
. (1) 求曲线 的直角坐标方程及直线L 的直角坐标方程; (2) 设点M 是 上一动点,求点M 到直线L 的距离的最小值. 例(2016年全国III 高考)在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲
线的极坐标方程为 .
x O y 1
C o s ()sin x y θ
θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数x 2
C s in ()4
ρ
θπ+=
(I )写出的普通方程和的直角坐标方程;
(II )设点P 在上,点Q 在上,求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.
三.直线与曲线相交问题
例(2016年全国II 高考)在直角坐标系中,圆的方程为.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;
(Ⅱ)直线的参数方程是(为参数), 与交于两点,
的斜率.
解:⑴整理圆的方程得2
2
12110x y +++=,
由2
2
2
cos sin x y x
y ρρθρθ⎧=+⎪
=⎨⎪
=⎩
可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=.
⑵记直线的斜率为k ,则直线的方程为0kx y -=,
=
,
即
22
369014
k
k
=
+,整理得2
53
k =
,则k
=
1C 2C 1C 2C x O y C 22
(6)25x y ++=x C l c o s s in x t y t α
α=⎧⎨=⎩t l C ,A B ||A B =
l