弹性力学简明教程第六章
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j
1 i (a)
uj
(b)
j
(c)
图 6-5
收敛性条件
FEM中以后的一系列工作，都是以位
移模式为基础的。
所以当单元趋于很小时，即 x, y 0
时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了
保证FEM收敛性,位移模式应满足下列
条件：
收敛性条件
（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。 （2）位移模式必须能反映单元的常量应变。 因为当单元 0时，单元中的位移和应 变都趋近于基本量——刚体位移和常量 位移。
e
（c）
（5）应用虚功方程，由单元的应力ζ，求出 单元的结点力，表示为
F ( Fi F j Fm kδ 。 （d）
e e
结力法求解
Fi ( Fix Fiy T——结点对单元的作用力，作用
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fiy vi
Fix
i
Fiy
Fi ( Fix Fiy
1 ~ 6。
三角形单元
其中 1 ~ 6 包含 xi , yi ,及ui , vi ,。 将式 （a） 按未知数ui , vi , 归纳，可表示为
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。 或用矩阵表示为
应变
应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：
ε
u v v u T ( ) x y x y bi 1 0 2A ci Bδ e。 0 ci bi bj 0 cj 0 cj bj bm 0 cm ui vi 0 u j cm vj bm u m v m
2A 1 xj 1 xm
yj 。 ym
三角形单元
三结点三角形单元的位移模式，略去了 2 二次以上的项，因而其误差量级是o(x ); 且其中只包含了x, y 的一次项，所以在单元 中N i 的分布如图（a）所示， u和v 的分布如 图(b)、 (c) 所示。
m
um
vm
vi
i m
ui
i j
m
vj
基本物理量
基本物理量： 体力 面力 位移函数 应变 应力 结点力列阵
f ( fx f y ) 。
T
f ( f x f y )T 。
d (u ( x, y ) , v( x, y )) 。
T
ε (ε x ε y γ xy ) 。
T
ζ (σ x σ y τ xy )T 。
F ( Fix Fiy F jx F jy ) 。
（b）
三角形单元
u Ni d v 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
ui vi 0 u j N m v j u m v m
Nδ 。
e
（c）
N — 称为形（态）函数矩阵。
三角形单元
S——称为应力转换矩阵，写成分块形式为
o
x
FEM的概念
§6-2
有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：用 方法求解弹力问题结力。即 1. 将连续体变换为离散化结构。 2.再应用结力方法进行求解。
以下来导出FEM。 1. 结构离散化——将连续体变换为离散 化结构；
结构离散化
结力研究的对象是离散化结构。如桁架， 各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其 他联系（图（a））。
(7) 对每一结点建立平衡方程。 作用于结点i上的力有：
各单元对i 结点的结点力 Fi ,
各单位移置到i 结点上的结点荷载 FLi , Fi FLi , (i 1,2,) ( f ) 其中 表示对围绕i 结点的单元求和；
e
e
e
FLi 为已知值, Fi 是用结点位移表示的值。
通过求解联立方程 ( f ) ，得出各结点位移值， 并从而求出各单元的应变和应力。
结力法求解
归纳起来，FEM分析的主要内容：
1. 将连续体变换为离散化结构。 2.应用结构力学方法求解离散化结构, 对单元进行分析：求出 （1）单元的位移模式， （2）单元的应变和应力列阵， （3）单元的结点力列阵， （4）单元的结点荷载列阵。 整体分析： 建立结点平衡方程组，求解各结点 的位移。
思考题 1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三 角形块体，在三角形内仍是作为连续体来 分析的。试考虑后者在用结构力学方法求 解时，将会遇到什么困难？ 2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？
收敛性条件
将式（a）写成
u 1 2 x y y, 2 2 5 3 5 3 v 4 6 y x x。 2 2 与刚体位移相比，
5 3
5 3
u u0 y, v v0 x,
可见刚体位移项在式（a）中均已反映。
(b)
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题
是
(c )
应用的方程
虚功方程
(δ ) F * T (ε ) ζdxdyt,
* T A
y
Fiy ,vi*
i
* Fjy ,v j
j
Fjx ,u* j
Fix ,ui*
其中
*
图6-1 —— 结点虚位移， δ ε * ——对应的虚应变。 在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分 方程，后者不再列出。
T
结点位移列阵 δ (ui vi u j v j )T 。
应用的方程
FEM中应用的方程：
几何方程
物理方程
ε ( u v u v )T 。 x y x y
(a)
ζ Dε,
1 μ 0 D E 2 μ 1 0 。 1 μ 1 μ 0 0 2
三角形单元
泰勒级数展开式中，低次幂项是最重 要的。∴三角形单元的位移模式，可取为 u 1 2 x 3 y , （a） v 4 5 x 6 y。 （a） 在结点 x , y (i, j , m), 应等 插值公式 i i 于结点位移值 ui , vi (i, j , m),由此可求出
d (u ( x, y ), v( x, y )) 。
T
这个插值公式称为单元的位移模式，表示为
d Νδe。
（a）
结力法求解
（3）应用几何方程，由单元的位移函数d， 求出单元的应变，表示为ε Bδ e。 （b）
（4）应用物理方程，由单元的应变 ε ，求 出 单元的应力，表示为
ζ Sδ 。
收敛性条件
为了保证FEM的收敛性，（1）和 （2）是必要条件，而加上（3）就为充 分条件。
思考题 1. 应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什 么必须从低次项开始选取？ 2. 试考虑：将结构力学解法引入到求解连续 体的问题时，位移模式的建立是一个关键性 工作，它使得单元(连续体)内部的分析工作 都有可能进行了。
导出方法
4. FEM的两种主要导出方法: 应用结力方法导出。 应用变分法导出。 5. 本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位 移求解的方法。且一般都以平面应力问 题来表示。
§6-1
基本量和基本方程的 矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
计算实例
第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程 例题 习题的提示与答案 教学参考资料
FEM
第六章
用有限单元法解 平面问题
概述
1.有限元法(Finite Element Method，简称 FEM) —是弹力的一种近似解法。首先将 连续体变换为离散化结构，然后再应用 结力方法或变分法进行求解。 2. FEM的特点 （1）具有通用性和灵活性。
概述 第一节 基本量及基本方程的矩阵表示
第二节
第三节
有限单元法的概念
单元的位移模式与解答的收பைடு நூலகம்性
第四节
第五节 第六节
单元的应变列阵和应力列阵
单元的结点力列阵与劲度列阵 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
第七节
第八节 第九节
结构的整体分析结点平衡方程组
解题的具体步骤 单元的划分 计算成果的整理
第十节
位移模式
§6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性
FEM是取结点位移 δi 为基本未知数的。但 其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公 式求应变、应力时，必须首先解决：如何由 单元的结点位移 δ e (δi δ j δm T 来求出单元的 T 位移函数d (u ( x, y ) v( x, y ) 。 应用插值公式， 可由δ e 求出位移d。这个插值公式表示了单 元中位移的分布形式，因此称为位移模式。
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程 序，应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。 3. FEM简史 FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发 展和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的 概念。
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立， 并应用于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学 问题和非线性问题，并得到迅速发展。 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得 到应用和发展。
（a）
应变
B ——称为应变矩阵，用分块矩阵表示，
B ( Bi B j Bm ),
bi 0 1 Bi 0 ci 。 (i, j ,m) 2 A c b i i
(b )
(c )
再应用物理方程，求出单元的应力列阵：
ζ Dε DBδ e Sδ ,
e
(d )
T
——单元对结点 的作用力，与 Fi 数 值相同,方向相反， 作用于结点。
y
v j F jy
i
uj
Fjx
ui Fix
j o
vm
Fmy
um
Fmx
m x
结力法求解
（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功
等效原则移置到结点上，化为结点荷
载，表示为
FL ( FLi FLj FLm e .
e
（e）
结力法求解
弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。
(a) 桁架
图 6-2
(b) 深梁（连续体）
结构离散化
将连续体变换为离散化结构（图（c））： 即将连续体划分为有限多个、有限大小的单 元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结 起来，构成所谓‘离散化结构’。
(c) 深梁（离散化结构）
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。 与 图（a） 相比，两者都是离散 图（c） 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（c）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。
其中
N i (ai bi x ci y ) 2 A ,
xj ai xm
1 yi yj , , bi 1 ym ym
(i, j , m)
1 xi ci . (i, j , m) 1 xm
A为三角形 ijm的面积（图示坐标系中， i, j , m 按逆时针编号）， 1 xi yi
结力法求解
2.应用结构力学方法(位移法)进行求解: 仿照桁架的结力位移法，来求解图 （c）的平面离散化结构。其中应注意， 三角形单元内部仍是连续体，应按弹力方 法进行分析。 分析步骤如下：
结力法求解
（1）取各结点位移 δ i (ui v i )T (i 1,2, 为基 ) 本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理 量,并均用δi (i 1,2,) 来表示。 （2) 应用插值公式, 由单元结点位 T ，求单元的位移函数 移 δe ( δ i δ i δ m)
收敛性条件
对式（a）求应变，得
x 2 , y 6 , xy 3 5 , 可见常量应变也已反映。
（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。 在三角形单元内部，位移为连续； 在两单元边界ij 上， δ i 和δ j 之间均为线 性变化，也为连续。
位移函数
§6-4 单元的应变列阵和应力列阵
单元中的位移函数已用位移模式表示为
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。
其中，
N i (ai bi x ci y ) / 2 A。 (i, j, m)
1 i (a)
uj
(b)
j
(c)
图 6-5
收敛性条件
FEM中以后的一系列工作，都是以位
移模式为基础的。
所以当单元趋于很小时，即 x, y 0
时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了
保证FEM收敛性,位移模式应满足下列
条件：
收敛性条件
（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。 （2）位移模式必须能反映单元的常量应变。 因为当单元 0时，单元中的位移和应 变都趋近于基本量——刚体位移和常量 位移。
e
（c）
（5）应用虚功方程，由单元的应力ζ，求出 单元的结点力，表示为
F ( Fi F j Fm kδ 。 （d）
e e
结力法求解
Fi ( Fix Fiy T——结点对单元的作用力，作用
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fiy vi
Fix
i
Fiy
Fi ( Fix Fiy
1 ~ 6。
三角形单元
其中 1 ~ 6 包含 xi , yi ,及ui , vi ,。 将式 （a） 按未知数ui , vi , 归纳，可表示为
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。 或用矩阵表示为
应变
应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：
ε
u v v u T ( ) x y x y bi 1 0 2A ci Bδ e。 0 ci bi bj 0 cj 0 cj bj bm 0 cm ui vi 0 u j cm vj bm u m v m
2A 1 xj 1 xm
yj 。 ym
三角形单元
三结点三角形单元的位移模式，略去了 2 二次以上的项，因而其误差量级是o(x ); 且其中只包含了x, y 的一次项，所以在单元 中N i 的分布如图（a）所示， u和v 的分布如 图(b)、 (c) 所示。
m
um
vm
vi
i m
ui
i j
m
vj
基本物理量
基本物理量： 体力 面力 位移函数 应变 应力 结点力列阵
f ( fx f y ) 。
T
f ( f x f y )T 。
d (u ( x, y ) , v( x, y )) 。
T
ε (ε x ε y γ xy ) 。
T
ζ (σ x σ y τ xy )T 。
F ( Fix Fiy F jx F jy ) 。
（b）
三角形单元
u Ni d v 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
ui vi 0 u j N m v j u m v m
Nδ 。
e
（c）
N — 称为形（态）函数矩阵。
三角形单元
S——称为应力转换矩阵，写成分块形式为
o
x
FEM的概念
§6-2
有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：用 方法求解弹力问题结力。即 1. 将连续体变换为离散化结构。 2.再应用结力方法进行求解。
以下来导出FEM。 1. 结构离散化——将连续体变换为离散 化结构；
结构离散化
结力研究的对象是离散化结构。如桁架， 各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其 他联系（图（a））。
(7) 对每一结点建立平衡方程。 作用于结点i上的力有：
各单元对i 结点的结点力 Fi ,
各单位移置到i 结点上的结点荷载 FLi , Fi FLi , (i 1,2,) ( f ) 其中 表示对围绕i 结点的单元求和；
e
e
e
FLi 为已知值, Fi 是用结点位移表示的值。
通过求解联立方程 ( f ) ，得出各结点位移值， 并从而求出各单元的应变和应力。
结力法求解
归纳起来，FEM分析的主要内容：
1. 将连续体变换为离散化结构。 2.应用结构力学方法求解离散化结构, 对单元进行分析：求出 （1）单元的位移模式， （2）单元的应变和应力列阵， （3）单元的结点力列阵， （4）单元的结点荷载列阵。 整体分析： 建立结点平衡方程组，求解各结点 的位移。
思考题 1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三 角形块体，在三角形内仍是作为连续体来 分析的。试考虑后者在用结构力学方法求 解时，将会遇到什么困难？ 2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？
收敛性条件
将式（a）写成
u 1 2 x y y, 2 2 5 3 5 3 v 4 6 y x x。 2 2 与刚体位移相比，
5 3
5 3
u u0 y, v v0 x,
可见刚体位移项在式（a）中均已反映。
(b)
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题
是
(c )
应用的方程
虚功方程
(δ ) F * T (ε ) ζdxdyt,
* T A
y
Fiy ,vi*
i
* Fjy ,v j
j
Fjx ,u* j
Fix ,ui*
其中
*
图6-1 —— 结点虚位移， δ ε * ——对应的虚应变。 在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分 方程，后者不再列出。
T
结点位移列阵 δ (ui vi u j v j )T 。
应用的方程
FEM中应用的方程：
几何方程
物理方程
ε ( u v u v )T 。 x y x y
(a)
ζ Dε,
1 μ 0 D E 2 μ 1 0 。 1 μ 1 μ 0 0 2
三角形单元
泰勒级数展开式中，低次幂项是最重 要的。∴三角形单元的位移模式，可取为 u 1 2 x 3 y , （a） v 4 5 x 6 y。 （a） 在结点 x , y (i, j , m), 应等 插值公式 i i 于结点位移值 ui , vi (i, j , m),由此可求出
d (u ( x, y ), v( x, y )) 。
T
这个插值公式称为单元的位移模式，表示为
d Νδe。
（a）
结力法求解
（3）应用几何方程，由单元的位移函数d， 求出单元的应变，表示为ε Bδ e。 （b）
（4）应用物理方程，由单元的应变 ε ，求 出 单元的应力，表示为
ζ Sδ 。
收敛性条件
为了保证FEM的收敛性，（1）和 （2）是必要条件，而加上（3）就为充 分条件。
思考题 1. 应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什 么必须从低次项开始选取？ 2. 试考虑：将结构力学解法引入到求解连续 体的问题时，位移模式的建立是一个关键性 工作，它使得单元(连续体)内部的分析工作 都有可能进行了。
导出方法
4. FEM的两种主要导出方法: 应用结力方法导出。 应用变分法导出。 5. 本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位 移求解的方法。且一般都以平面应力问 题来表示。
§6-1
基本量和基本方程的 矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
计算实例
第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程 例题 习题的提示与答案 教学参考资料
FEM
第六章
用有限单元法解 平面问题
概述
1.有限元法(Finite Element Method，简称 FEM) —是弹力的一种近似解法。首先将 连续体变换为离散化结构，然后再应用 结力方法或变分法进行求解。 2. FEM的特点 （1）具有通用性和灵活性。
概述 第一节 基本量及基本方程的矩阵表示
第二节
第三节
有限单元法的概念
单元的位移模式与解答的收பைடு நூலகம்性
第四节
第五节 第六节
单元的应变列阵和应力列阵
单元的结点力列阵与劲度列阵 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
第七节
第八节 第九节
结构的整体分析结点平衡方程组
解题的具体步骤 单元的划分 计算成果的整理
第十节
位移模式
§6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性
FEM是取结点位移 δi 为基本未知数的。但 其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公 式求应变、应力时，必须首先解决：如何由 单元的结点位移 δ e (δi δ j δm T 来求出单元的 T 位移函数d (u ( x, y ) v( x, y ) 。 应用插值公式， 可由δ e 求出位移d。这个插值公式表示了单 元中位移的分布形式，因此称为位移模式。
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程 序，应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。 3. FEM简史 FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发 展和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的 概念。
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立， 并应用于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学 问题和非线性问题，并得到迅速发展。 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得 到应用和发展。
（a）
应变
B ——称为应变矩阵，用分块矩阵表示，
B ( Bi B j Bm ),
bi 0 1 Bi 0 ci 。 (i, j ,m) 2 A c b i i
(b )
(c )
再应用物理方程，求出单元的应力列阵：
ζ Dε DBδ e Sδ ,
e
(d )
T
——单元对结点 的作用力，与 Fi 数 值相同,方向相反， 作用于结点。
y
v j F jy
i
uj
Fjx
ui Fix
j o
vm
Fmy
um
Fmx
m x
结力法求解
（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功
等效原则移置到结点上，化为结点荷
载，表示为
FL ( FLi FLj FLm e .
e
（e）
结力法求解
弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。
(a) 桁架
图 6-2
(b) 深梁（连续体）
结构离散化
将连续体变换为离散化结构（图（c））： 即将连续体划分为有限多个、有限大小的单 元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结 起来，构成所谓‘离散化结构’。
(c) 深梁（离散化结构）
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。 与 图（a） 相比，两者都是离散 图（c） 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（c）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。
其中
N i (ai bi x ci y ) 2 A ,
xj ai xm
1 yi yj , , bi 1 ym ym
(i, j , m)
1 xi ci . (i, j , m) 1 xm
A为三角形 ijm的面积（图示坐标系中， i, j , m 按逆时针编号）， 1 xi yi
结力法求解
2.应用结构力学方法(位移法)进行求解: 仿照桁架的结力位移法，来求解图 （c）的平面离散化结构。其中应注意， 三角形单元内部仍是连续体，应按弹力方 法进行分析。 分析步骤如下：
结力法求解
（1）取各结点位移 δ i (ui v i )T (i 1,2, 为基 ) 本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理 量,并均用δi (i 1,2,) 来表示。 （2) 应用插值公式, 由单元结点位 T ，求单元的位移函数 移 δe ( δ i δ i δ m)
收敛性条件
对式（a）求应变，得
x 2 , y 6 , xy 3 5 , 可见常量应变也已反映。
（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。 在三角形单元内部，位移为连续； 在两单元边界ij 上， δ i 和δ j 之间均为线 性变化，也为连续。
位移函数
§6-4 单元的应变列阵和应力列阵
单元中的位移函数已用位移模式表示为
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。
其中，
N i (ai bi x ci y ) / 2 A。 (i, j, m)