构造全等三角形常见辅助线法

BD=BD（公共边）
∴△NBD≌△MBD（A.A.S）
∴ ND=MD（全等三角形的对应边相等） ∵ DN⊥BA，DM⊥BC（已知）
∴△NAD和△MCD是Rt△
1
2
在Rt△NAD和Rt△MCD中
3
∵ ND=MD （已证）
* 2020/5∴/2 RAt△DN=ACDD≌（R已t△知M）CD（H.L）
B
MC
∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180°
（等量代换）
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是
∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：
证明: 延∠长A+BA∠到CF=，1使80B°F=BC，连结DF。
F
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
A 4
在△BFD和△BCD中
3
D
∵ BF=BC（已知）
∠1=∠2（已证）
BD=BD（公共边）
B
∴△BFD≌△BCD（S.A.S）
∴ ∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等）
DF=DC（全等三角形的对应边相等）
1 2
∵ AD=CD（已知），DF=DC（已证）
3 ∴DF=AD（等量代换） * 2020∴/5/2∠4=∠F（等边对等角）
∴ ∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）
∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义）， ∠A＝∠3（已证）
∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）
角平分线上点向两边作垂线段
如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180°
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB F
垂足为点F,点G
D
21 22 3 0 * ** 2020/5/2
M
DA
N
34
E
1 2
PB
5 F CQ
2020/5/2
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”wk.baidu.com
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
BE+BD+DE
C D
BE+BD+CD
1 2
C
∵ ∠F＝∠C（已证） ∴∠4=∠C（等量代换） ∵ ∠3+ ∠4＝180°
（平角定义）
∴∠A+ ∠C＝180°
（等量代换）
练习1 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
证明: 在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。
A
∵ AD是∠BAC的角平分线（已知）
O
∟
C
P GE B
2020/5/2
线段与角求相等，先找全等试试看。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。 三角形里有中线，延长中线=中线。 想作图形辅助线，切莫忘记要双添。
2020/5/2
2020/5/2
如何利用三角形的中线来构造全等三角形？
可以利用倍长中线法，即把中线
延长一倍，来构造全等三角形。
A
如图，若AD为△ABC的中线，
1
延长AD到E，使DE=AD， 连结BE（也可连结CE）。
必有结论： △ABD≌△ECD，
B
D
2C
∠1=∠E，∠B=∠2，
EC=AB，CE∥AB。
E
2020/5/2
BE+BC
A
B E
BE+AC
BE+AE
AB
2020/5/2
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
2.如图,△ABC中, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
AD+AE+DE
A
BD+CE+DE
BC
B
D
E
C
2020/5/2
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”
• (2)判定AB+AC与AF的关系
2020/5/2
2020/5/2
如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
过点D作DE⊥AB于点E
E
B
C
D
角平分线上的点向角两边做垂线段
2020/5/2
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是 ∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：
证明: 作∠DAM+⊥∠BCC于=M1，8D0N°⊥BA交BA的延长线于N。
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵ DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义）
N A
4
3
D
在△NBD和△MBD中
∵ ∠N=∠DMB （已证）
1
∠1=∠2（已证）
2
∴∠1=∠2（角平分线定义）
12
∵ AB=AC+CD，CF=CD（已知）
∴ AB=AC+CF=AF（等量代换）
在△ABD和△AFD中
B
D3 C
∵ AB=AF（已证）
∠1=∠2（已证）
F
AD=AD（公共边）
∵ ∠ACB= 2∠F（三角形
1
∴△ABD≌△AFD（S.A.S） ∴ ∠F＝∠B（全等三角形的对应角相等）
2020/5/2
∴∠B=∠4（等边对等角）
∵ ∠3= ∠ B+∠4= 2∠B （三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角和）
∴∠C=2∠B（等量代换）
练习1 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
证明: 延长AC到F，使CF=CD，连结DF。
A
∵ AD是∠BAC的角平分线（已知）
1 2
34
BD=BD（公共边）
B
EC
∴△ABD≌△EBD（S.A.S）
∵ ∠3+ ∠4＝180°
∴ ∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等） （平角定义），
AD=DE（全等三角形的对应边相等）
1
2 ∵ AD=CD（已知），AD=DE（已证） 3 ∴DE=DC（等量代换） * 202∴0/5/∠2 4=∠C（等边对等角）
BC的垂直平分线DM相交于D，过D作
DE ⊥AB于E，作DF⊥AC于F。
求证：BE=CF
A
连接DB,DC
EM
C
F
B
D
垂直平分线上点向两端连线段
2020/5/2
• 如图，已知三角形ABC中,BC边上的垂直平 分线DE与角BAC的平分线交于点E，EF垂 直AB交AB的延长线于点F，EG垂直AC交 AC于点G。求证：(1)BF=CG
2020/5/2
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是 ∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：
证明：在∠BAC+上∠截C取=1B8E，0°使BE=AB，连结DE。
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
A
在△ABD和△EBD中
D
∵ AB=EB（已知）
∠1=∠2（已证）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
12
在△AED和△ACD中
E3
∵ AE=AC（已知） ∠1=∠2（已证）
4
B
D
C
AD=AD（公共边）
∴△AED≌△ACD（S.A.S） ∴ ∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等)
ED=CD（全等三角形的对应边相等）
1 又∵ AB=AC+CD=AE+EB（已知）
2 *
∴EB=DC=ED（等量代换）
的一个外角等于和它不相 邻的两个内角和）
2
∵ CF=CD（已知）
∴∠ACB=2∠B（等量代换）
* 2020/5/∴2 ∠B=∠3（等边对等角）
如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE 平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D， 交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。
证明: 延长AE，交直线PQ于点F。
已知，如图AD是△ABC的中线，
求证 A： D 1(AB AC ) 2
A
延长AD到点E，使DE=AD， 连结CE.
B D
思考：若AB=3,AC=5
求AD的取值范围？
E
2020/5/2
倍 长 中 C线
2020/5/2
截长 补短
已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2
求证:AB=AC+CD
A
E
12
B
D
C
在AB上取点E使得AE=AC，连接DE F 在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
2020/5/2
如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。求证：AD+BC=AB
D
1 2
A
E C截 长
4 3
补
F
B短
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
A
2020/5/2
EF
M N
DB
2020/5/2
如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
连
线
A
C
D
构
连接AC
造
构造全等三角形
全
等
2020/5/2
连线 构造全等
如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长.
连接BD
A
C
构造全等三角形
D
B
2020/5/2
5.如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.
A
AB+AC+BC
AM+ BM+AN+NC+6
AM+ MP+AN+NP+6 M P N
AM+AN+MN+6
B
C
13+6
2020/5/2
2020/5/2
△ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与