有限元理论与技术-习题-有限元法.(优选)

填空题：
1、利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。

2、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。

其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。

3、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。

4、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。

5、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。

6、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。

7、在有限单元法中，单元的形函数N i在i 结点N i= 1 ；在其他结点N i= 0 及∑N i= 1 。

8、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。

9、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。

（√）
10、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。

（√）
11、形函数N i(xi,yi)= ＿＿(i=j)
N i(xi,yi)= ＿＿(i≠j)
简答题：
1、有限元分析的基本思路
答：首先，将物体或求解域离散为有限个互不重叠仅通过节点互相连接的子域（即单元），原始边界条件也被转化为节点上的边界条件，此过程称为离散化。

其次，在单元内，选择简单近似函数来分片逼近未知的求解函数，即分片近似。

具体做法是在单元上选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各
变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，这是有限元法的创意和精华所在。

而整体区域上的解函数就是这些单元上的简单近似函数的组合。

最后，基于与原问题数学模型（基本方程和边界条件）等效的变分原理或加权残值法，建立有限元方程（即刚度方程），从而将微分方程转化为一组变量或其导数的节点值为未知量的代数方程组。

从而借助矩阵表示和计算机求解代数方程组得到原问题的近似解。

2、简述有限元法求解中离散处理所遵循原则。

答：（1）几何逼真，（2）受力真实，（3）计算准确，（4）计算量少，（5）单元编号遵循右手准则（相邻单元编号差值最小）。

3、 针对附图所示的有限元结构，组集出整体刚度矩阵K 。

(单元刚度矩阵用K e 表示，单元刚度矩阵元素用
e
ij
K 表示)。

单元刚度矩阵：
1 2 3
2 4 3
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3332
31
232221131211k k k k k k k k k K ①
321
K ②=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3334
32
434442
232422
k k k k k k k k k 3
42
5 4
4 6 3 2
5 4
K ③=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3336
34
636664434644k k k k k k k k k 364 K ④=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4445
42
545552242522
k k k k k k k k k 4
52
单元刚度贡献矩阵：
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
K ①
=⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡0000
000000000000000000000k 33
32
31
232221
131211①①①①①①①①
①k k k k k k k k
65
4321
K ②
=⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡000
000000000000000000000
0444342
3433
32242322k k k k k k k k k ②
6
5432
1
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
K ③
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡6664
63
4644433634330
00
00000
00000000000
0000000k k k k k k k k k 65
4321
K ④
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡00
000000000
000000000000
0555452454442
252422k k k k k k k k k ④
6
54321
整体刚度矩阵：
1 2 3 4 5 6
K =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++++③③③④
④
③④④③②③②④②③②③②①②①①④④②②①④②①①①①
①6664
63
555452464544
444443
4342
42343433
3333323231
252424232322
222221
1312110
0000000000
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 6
5432
1
3、用有限元法分析实际工程问题有哪些基本步骤？需要注意什么问题？
答：1.结构的离散化，2 单元分析2.1 选择位移函数2.2 载荷等效2.3 单元刚度矩阵3 整体分析3.1 集成等效节点载荷3.2 集成整体刚度 矩阵3.3 约束边界条件
1）建立实际工程问题的计算模型 利用几何、载荷的对称性简化模型
建立等效模型
2）选择适当的分析工具
侧重考虑以下几个方面：
多物理场耦合问题
大变形
网格重划分
3）前处理（Preprocessing）
建立几何模型（Geometric Modeling，自下而上，或基本单元组合）
有限单元划分（Meshing）与网格控制
4）求解（Solution）
给定约束（Constraint）和载荷（Load）
求解方法选择
计算参数设定
5）后处理（Postprocessing）
后处理的目的在于分析计算模型是否合理，提出结论。

用可视化方法（等值线、等值面、色块图）分析计算结果，包括位移、应力、应变、温度等；
最大最小值分析；
特殊部位分析。

4、在有限单元法中，位移模式应满足哪些基本条件。

答：（1）位移模式必须包含单元刚体位移；
（2）位移模式必须包含单元的常应变；
（3）位移模式在单元内要连续，且唯一在相邻单元之间要协调。

5、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。

答：（1）对称性；（2）奇异性；（3）主对角元恒正；
（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布。

6、简述有限单元法中单元刚度矩阵的性质。

答：（1）单元刚度矩阵为对称矩阵；
（2）单元刚度矩阵为奇异矩阵；
（3）单元刚度矩阵主对角线元素恒为正值；
（4）单元刚度矩阵仅与单元本身有关。

7、简述有限单元法中形函数的性质。

答：（1）形函数N i在节点i处的值为1，在其他两个节点j，m处的值为0；
（2）在单元上任意一点处，3个形函数的和都等于1。

8、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。

答：一般原则：
（1）广义坐标的个数应该与结点自由度数相等；
（2）选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备；
（3）多项式的选取应由低阶到高阶；
（4）尽量选取完全多项式以提高单元的精度。

9、要保证有限单元法计算结果的收敛性，位移函数必须满足那些条件？
答：（1）位移函数必须能够反映单元的常量应变；
（2）位移函数必须能够反映单元的刚性位移；
（3）位移函数在单元内部必须是连续函数；
（4）位移函数必须保证相邻单元间唯一协调。

10、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？
答：为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件：
（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；
（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；
（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。

11、以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。

答：（1）取三角形单元的结点位移为基本未知量。

（2）应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。

（3）应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。

（4）应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。

（5）应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。

（6）应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。

（7）列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。

12、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移？
答：每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是
本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。

甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。

因此，为了正确反映单元的位移形态，位移模式必须能反映该单元的刚体位移。

13、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变？
答：每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。

而且，当单元的尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的应变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。

因此，为了正确反映单元的形变状态，位移模式必须能反映该单元的常量应变。

14、采用有限单元法怎么样求解弹性力学问题(基本思路和基础步骤)？
答：基本思想：
根据近似分割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。

基本步骤：
（1）将结构进行离散化，包括单元划分、结点编号、单元编号、结点坐标计算、位移约束条件确定；
（2）等效结点力的计算；
（3）刚度矩阵的计算（先逐个计算单元刚度，再组装成整体刚度矩阵）；
（4）建立整体平衡方程，引入约束条件，求解结点位移；
（5）应力计算。

15、简述有限单元法常分析的问题。

答：（1）静力学分析，（2）模态分析，（3）动力学分析，（4）热力学分析，（5）其他：接触分析、压杆稳定性分析、结构-流体耦合分析等。

16、有限元法的单元分析中如何导出单元刚度矩阵?
17、在有限元方法中如何形成整体刚度矩阵？如何进行载荷的等效处理？
18、单元节点数目、位移函数、计算精度三者之间存在何种关系？
19、什么是等参变换单元？为什么要采用等参变化？
答：(1)是在取位移模式和进行图形变换时所取变换参数相同，叫做等参变换单元
(2) 等参变换是为了可以把任意四边形和正方形单元联系起来。

由于等参变换的采用使等参
单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表示单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。

20、如何采用有限元法求解动力学方程？
21、为什么说单元位移函数是有限元法的关键？单元位移函数收敛的条件是什么？
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