有限元法理论及应用参考答案分析

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有限元法理论及应用大作业

1、试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些?

答:有限元分析的主要步骤主要有:

(1)结构的离散化,即单元的划分;

(2)单元分析,包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系,最后得到单元刚度方程;

(3)等效节点载荷计算;

(4)整体分析,建立整体刚度方程;

(5)引入约束,求解整体平衡方程。

2、有限元网格划分的基本原则是什么?指出图示网格划分中不合理的地方。

题2图

答:一般选用三角形或四边形单元,在满足一定精度情况,尽可能少一些单元。

有限元划分网格的基本原则:

1.拓扑正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接

2.几何保持原则。即网络划分后,单元的集合为原结构近似

3.特性一致原则。即材料相同,厚度相同

4.单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小

5.密度可控原则。即在保证一定精度的前提下,网格尽可能的稀疏一些。(a)(b)中节点没有有效的连接,且(b)中单元边差相差很大。

(c)中没有考虑对称性,单元边差很大。

3、分别指出图示平面结构划分为什么单元?有多少个节点?多少个自由度?

题3图

答:(a )划分为杆单元, 8个节点,12个自由度。 (b )划分为平面梁单元,8个节点,15个自由度。 (c )平面四节点四边形单元,8个节点,13个自由度。 (d )平面三角形单元,29个节点,38个自由度。 4、什么是等参数单元?。

答:如果坐标变换和位移插值采用相同的节点,并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样,则称这种变换为等参变换,这样的单元称为等参单元。 5、在平面三节点三角形单元中,能否选取如下的位移模式,为什么?

(1).

⎪⎩⎪⎨⎧++=++=2

65432

21),(),(y x y x v y

x y x u αααααα (2). ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=2

65242

3221),(),(y

xy x y x v y

xy x y x u αααααα 答:(1)不能,因为位移函数要满足几何各向同性,即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关,即位移函数中的坐标x,y 应该是能够互换的。所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。

(2)不能,位移函数应该包括常数项和一次项。

6、设位移为线性变化,将图示各单元边上的载荷等效到相应的节点上去。 (1)集中力F 平行于x 轴,e 点到i 、j 点的距离分别为lie ,lje ; (2)边长为lij 的ij 边上有线性分布载荷,最大值为q 。

题6图

答:(1)⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡+-=0je

ie ie

ja l l l F

F ⎥⎥⎥⎦

⎢⎢

⎢⎣⎡+-=0je ie je ia l l l F F (2)i,j 两节点受到的力分别为

ij ql 61,ij ql 3

1

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=θθcos 61

sin 61ij ij i ql ql P ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=θθcos 31sin 31ij ij j

ql ql P 7、图示三角形ijm 为等边三角形单元,边长为l,单位面积材料密度位ρ,集中力F 垂直作用于mj 边的中点,集度为q 的均布载荷垂直作用于i m 边。写出三角形单元的节点载荷向量。

题7图 题8图

答:将q 移置到m,i 节点:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ql ql P m 41431 ⎥⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ql ql P i 41431

将F 移置到m,j 两节点:⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=F F P m 41432 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=F F P j 41432 将重力移置到i,j,m 点:33231230j i m P P l P ==⎥⎥⎦

⎢⎢⎣⎡-=ρ

叠加后得:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=212341414343l F ql F ql P m ρ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21234143l ql ql P i ρ ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=21234143

l F F P j ρ

8、如图所示为线性位移函数的三角形单元,若已知i 、j 两个节点的位移为零,试证明ij 边上任意一点的位移都为零。

证:设ij 边上任一点坐标为x,y ,则其位移为:

∵i 、j 点位移为0 ∴所以u i ,v i ,u j ,v j 均为0 要证 {δ}=0,只需证 N m =0

∵N m =(a m +b m x +c m y)/2A ,a m =x i y j -x j y i ,b m =y i -y j ,c m =x j -x i ∴N m = [x i y j -x j y i +(y i -y j )x+(x j -x i )y]/2A=[xy i -yx i ]/2A ∵该点为ij 边上任一点 ∴y i /x i =y/x ∴Nm = 0

9、已知图示的三角形单元,其jm 边和mi 边边长均为a ,单元厚度为t ,弹性模

⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣

⎡=m m j j i i m j

i

m j i

v u v u v u N N N N N N 0

000}{δ

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