曲率
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Q 70(千克力) 571.4(千克力), 641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述——曲率;
曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
思考题
.
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
[ 2 ( t ) 2 ( t )]
3 2
例1 抛物线 y ax 2 bx c 上哪一点的曲率最大 ? 解 y 2ax b,
k 2a [1 ( 2ax b) ]
3 2 2
椭圆 x 2 cos t , y 3 sin t上哪 些点处曲率最大？
思考题解答
k | y | [1 ( y ) ] 6
3 2 2
2
6 (4 sin t 9 cos t )
2 3 2
(4 5 cos 2 t )
3 2
要使 k 最大， 必有 (4 5 cos 2 t ) 最小，
证 如图
x的负半轴表示直道， OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
y
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
在缓冲段上,
1 2 y x , 2 Rl 1 y x. Rl
o
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率 k0 0.
实际要求 l x0 ,
M
T R
MN MN MT NT 当x 0时,
MN ( x ) ( y ) 1 (
2 2
x0
x
x x
x
y 2 2 ) x 1 y dx , x
MN s ds ,
2 1 y dx , MT ( dx ) ( dy )
S 2 N
弧段弯曲程度 越大转角越大
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
设曲线C是光滑的，
M 0 是基点. M M 切线转角为 .
MM s ,
M0
C
M. S
定义
o
S M .)
x
弧段MM 的平均曲率为 K . s
在 lim
曲线C在点M处的曲率 K lim s 0 s d d
3 t , 2 2
3 2
此时 k 最大，
2 [1 f ( x0 )] | f ( x0 ) | 3 2
解得
x2 例3 飞机沿抛物线 y 4000 (单位为米)俯冲飞行, 在原 点 O 处速度为 v 400米 / 秒, 飞行员体重 70 千克.求俯冲 到原点时, 飞行员对座椅的 压力.
y
Q
o
P
解 如图,受力分析
y 2a ,
.
b 显然, 当x 时, k最大. 2a 2 b b 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率 最大.
例2 铁轨由直道转入圆弧 弯 道时，若接头处
的曲率突然改变, 容易发生事故，为了行 驶平 稳，往往在直道和弯道之间接 入一段缓冲段, 1 使曲率连续地由零过渡到 ( R为圆弧轨道的 R 半径).
k
y (1 y )
3 2 2
.
x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ),
dy ( t ) , dx ( t )
k
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) . 2 3 dx (t )
曲
率
前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但 是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它 等于单位路程上方向（角度——切线的倾斜角） 的改变量
一、弧微分
设函数f ( x )在区间(a , b ) 内具有连续导数.
基点 : A( x0 , y0 ),
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
曲率圆y=y(x)与曲线y=f(x)的关系 ①过同一点 y( x0 ) f ( x0 ) ②有公切线 y( x0 ) f ( x0 ) ③圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同
o
y
D 1 k
M
y f ( x)
1 . 以 D 为圆心, 为半径 k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点 M 处的曲率圆.
D 曲率中心,
曲率半径.
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 1 1 即 ,k . k
F Q P,
mv 2
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F
O点处抛物线轨道的曲率半径
.
y x 0
x 2000
x wk.baidu.com0
0,
y x 0
1 . 2000
得曲率为 k
x x0
2
1 . 曲率半径为 2000 米. 2000
70 400 F 5600(牛) 571.4(千克), 2000
2
2
NT y dy 0,
故 ds 1 y 2 dx . 弧微分公式
2 故 ds 1 y dx . s s( x )为单调增函数,
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
| y( x0 ) | [1 y 2 ( x0 )]
3 2
| f ( x0 ) | [1 f 2 ( x0 )]
3 2
| y( x0 ) || f ( x0 ) |
y( x0 ) f ( x0 )
设圆的方程为 ( x a )2 ( y b )2 2
y (1 y )
3 x x0 2 2
l 1, R
l2 略去二次项 2 , 4R
1 得 kA . R
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
M ( x , y ) 处的曲率为 k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点 D , 使 DM
s 0
s
ds
存在的条件下, K
ds
.
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大.
2.曲率的计算公式
设y f ( x )二阶可导, 有 arctan y,
ds 1 y dx .
2
tan y,
y d dx , 2 1 y
连续求导两次，将上述条件代入得
( x0 a )2 [ f ( x0 ) b]2 2
( x0 a ) [ f ( x0 ) b] f ( x0 ) 0
1 [ f ( x0 )]2 [ f ( x0 ) b] f ( x0 ) 0
2 1 [ f ( x0 )] a x 0 f ( x 0 ) f ( x0 ) 1 [ f ( x0 )]2 b f ( x0 ) f ( x0 )
y
N
A
M
T R
M ( x , y )为任意一点,
o
x0
x
x x
x
规定：(1) 曲线的正向与x增大的方向一致;
( 2) AM s , 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号, 相反时, s取负号.
y
N
单调增函数
s s( x ).
如图，
o
设N ( x x , y y ),
A
有
y x x0 y x x0
1 2 1 2 l x0 l , 2 Rl 2 Rl 2R 1 1 1 x0 l , Rl R Rl
y
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
故在终端A的曲率为
o
1 R 3 l2 2 (1 ) 2 4R
kA
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述——曲率;
曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
思考题
.
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
[ 2 ( t ) 2 ( t )]
3 2
例1 抛物线 y ax 2 bx c 上哪一点的曲率最大 ? 解 y 2ax b,
k 2a [1 ( 2ax b) ]
3 2 2
椭圆 x 2 cos t , y 3 sin t上哪 些点处曲率最大？
思考题解答
k | y | [1 ( y ) ] 6
3 2 2
2
6 (4 sin t 9 cos t )
2 3 2
(4 5 cos 2 t )
3 2
要使 k 最大， 必有 (4 5 cos 2 t ) 最小，
证 如图
x的负半轴表示直道， OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
y
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
在缓冲段上,
1 2 y x , 2 Rl 1 y x. Rl
o
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率 k0 0.
实际要求 l x0 ,
M
T R
MN MN MT NT 当x 0时,
MN ( x ) ( y ) 1 (
2 2
x0
x
x x
x
y 2 2 ) x 1 y dx , x
MN s ds ,
2 1 y dx , MT ( dx ) ( dy )
S 2 N
弧段弯曲程度 越大转角越大
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
设曲线C是光滑的，
M 0 是基点. M M 切线转角为 .
MM s ,
M0
C
M. S
定义
o
S M .)
x
弧段MM 的平均曲率为 K . s
在 lim
曲线C在点M处的曲率 K lim s 0 s d d
3 t , 2 2
3 2
此时 k 最大，
2 [1 f ( x0 )] | f ( x0 ) | 3 2
解得
x2 例3 飞机沿抛物线 y 4000 (单位为米)俯冲飞行, 在原 点 O 处速度为 v 400米 / 秒, 飞行员体重 70 千克.求俯冲 到原点时, 飞行员对座椅的 压力.
y
Q
o
P
解 如图,受力分析
y 2a ,
.
b 显然, 当x 时, k最大. 2a 2 b b 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率 最大.
例2 铁轨由直道转入圆弧 弯 道时，若接头处
的曲率突然改变, 容易发生事故，为了行 驶平 稳，往往在直道和弯道之间接 入一段缓冲段, 1 使曲率连续地由零过渡到 ( R为圆弧轨道的 R 半径).
k
y (1 y )
3 2 2
.
x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ),
dy ( t ) , dx ( t )
k
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) . 2 3 dx (t )
曲
率
前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但 是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它 等于单位路程上方向（角度——切线的倾斜角） 的改变量
一、弧微分
设函数f ( x )在区间(a , b ) 内具有连续导数.
基点 : A( x0 , y0 ),
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
曲率圆y=y(x)与曲线y=f(x)的关系 ①过同一点 y( x0 ) f ( x0 ) ②有公切线 y( x0 ) f ( x0 ) ③圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同
o
y
D 1 k
M
y f ( x)
1 . 以 D 为圆心, 为半径 k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点 M 处的曲率圆.
D 曲率中心,
曲率半径.
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 1 1 即 ,k . k
F Q P,
mv 2
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F
O点处抛物线轨道的曲率半径
.
y x 0
x 2000
x wk.baidu.com0
0,
y x 0
1 . 2000
得曲率为 k
x x0
2
1 . 曲率半径为 2000 米. 2000
70 400 F 5600(牛) 571.4(千克), 2000
2
2
NT y dy 0,
故 ds 1 y 2 dx . 弧微分公式
2 故 ds 1 y dx . s s( x )为单调增函数,
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
| y( x0 ) | [1 y 2 ( x0 )]
3 2
| f ( x0 ) | [1 f 2 ( x0 )]
3 2
| y( x0 ) || f ( x0 ) |
y( x0 ) f ( x0 )
设圆的方程为 ( x a )2 ( y b )2 2
y (1 y )
3 x x0 2 2
l 1, R
l2 略去二次项 2 , 4R
1 得 kA . R
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
M ( x , y ) 处的曲率为 k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点 D , 使 DM
s 0
s
ds
存在的条件下, K
ds
.
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大.
2.曲率的计算公式
设y f ( x )二阶可导, 有 arctan y,
ds 1 y dx .
2
tan y,
y d dx , 2 1 y
连续求导两次，将上述条件代入得
( x0 a )2 [ f ( x0 ) b]2 2
( x0 a ) [ f ( x0 ) b] f ( x0 ) 0
1 [ f ( x0 )]2 [ f ( x0 ) b] f ( x0 ) 0
2 1 [ f ( x0 )] a x 0 f ( x 0 ) f ( x0 ) 1 [ f ( x0 )]2 b f ( x0 ) f ( x0 )
y
N
A
M
T R
M ( x , y )为任意一点,
o
x0
x
x x
x
规定：(1) 曲线的正向与x增大的方向一致;
( 2) AM s , 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号, 相反时, s取负号.
y
N
单调增函数
s s( x ).
如图，
o
设N ( x x , y y ),
A
有
y x x0 y x x0
1 2 1 2 l x0 l , 2 Rl 2 Rl 2R 1 1 1 x0 l , Rl R Rl
y
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
故在终端A的曲率为
o
1 R 3 l2 2 (1 ) 2 4R
kA