Stewart平台雅可比矩阵分析

赵慧[1]张尚盈[2]

[1]武汉科技大学机械自动化学院 430081

Email:

[2]华中科技大学数字制造及设备技术国家重点实验室 430074

Email:

摘要：雅可比矩阵是对Stewart平台进行分析时的重要变量，通过对其的分析和计算，可以得到平台速度和液压缸速度之间的关系，得到平台承载与各液压缸出力之间的关系，可以判断液压缸的可控性，可以得到各自由度之间的运动耦合情况。因此，导出雅可比矩阵，并对其物理意义进行诠释和深刻理解非常重要。本文通过Stewart平台的运动学分析，推导出雅可比矩阵的公式，并通过仿真结果对其物理意义进行验证。

关键词：Stewart平台，运动学分析，雅可比矩阵

1 引言

随着科技的发展以及人们对未知世界探索的需求，Stewart平台在飞行模拟器、空中交会对接(RVD)仿真技术[1]、虚拟轴机床、力－扭矩传感器、装配机械手等领域有广泛的应用。其中液压驱动Stewart平台由于具有快速、高精度、大负载和结构紧凑等特点而受到青睐 [2]。

Stewart平台是一个典型的多变量和本质非线性的复杂系统。对Stewart平台运动学和动力学进行研究，是设计、分析和控制Stewart平台的基础。雅可比矩阵是在对Stewart平台进行运动学动力学分析过程中产生和定义的矩阵，具有重要的物理意义，本文将对其实质展开论述，并用仿真结果来验证。

2 Stewart平台描述

2.1 坐标系建立

如图1所示，Stewart平台的主体部分由上平台（Platform）、下平台（Base）以及六个液压缸组成。静止不动的下平台与可动作的上平台分别通过上、下胡克铰与液压缸的两端相连。选取体坐标系{}P—

O X Y Z在上平台上，坐

p p p p

标原点p O 为上铰点的外接圆圆心；惯性坐标系{}G —g g g g O X Y Z 的坐标原点g O 为下铰点的外接圆圆心；坐标轴的方向如图1所示。

如图2所示，平台的六个上铰点位于半径为a r 的圆周上，()111,3,5i A i =、

()222,4,6i A i =在圆周上均匀分布；运动平台的六个下铰点位于半径为b r 的圆

周上，()111,3,5j B j =、()222,4,6j B j =在圆周上均匀分布。

2.2 平台位姿描述

Stewart 平台的姿态一般用欧拉角[3]描述。定义其平移[]T x y z =c ，则其位姿可用广义坐标表示为：

[][]T

y z

φθψ==x c

由体坐标系下的矢量m Γ变换为惯性坐标系下的矢量g Γ时：

g g m m =ΓT Γ

其中变换矩阵为：

1g m

m ??=?

???

R c T 0

m g

R 为从体坐标系到惯性坐标性的映射旋转阵。

3 Stewart 平台运动学分析

如图1所示，在单液压缸两端铰点间的矢量i l 为[4]：

1,2,

,6g m i i i

i =+-=l c R a b （1）

其中，11,2,,6T

m i ix iy iz a a a i ??==??a 为上铰点(1,2,,6)i A i =在体坐标系的坐

标，11,2,

,6T j jx jy jz b b b j ??==??

b 为下铰点(1,2,

,6)j B j =在惯性坐标系坐

标。

在液压缸两端铰点间的距离为：

1,2,

,6i l i == （2）

液压缸的伸缩速度可由上铰点速度沿缸轴线方向的投影来计算获得。

,i i

T i a T i n i a i

d dt ==l v l l v l （3）其中，()i

g m m a i =+?v c ωR a 为上铰点速度

式（3）是单缸速度，6个液压缸的速度的计算可写成矩阵如下形式：

(),T

T g m m T

n n l x n a

=+?==l L c R A L ωJ x L V （4）其中，,1

,6n n n n ?

?=??

L l l l ，(

),T

T g

m m l x n n ??=????

J L R A L ， T

T T ??=??

x c ω。

式（4）中的x 物理上并不实际存在，只是一整体表示符号。式（4）中的

,l x J 称为雅可比矩阵（Jacobian Matrix ），是并联机器人中的一个重要变量

[5]

，它将平台坐标与可控、可测的液压缸长联系起来。雅可比矩阵,l x J 不仅

出现在运动学，而且在动力学中也用其映射液压缸出力到平台上，因此,l x J 是机器人学中的一个非常重要的矩阵。

4 雅可比矩阵分析

4.1 物理意义

式（4）描述了平台速度与液压缸速度之间的映射关系；根据虚功原理，,l x J 的转置,T l x J 将缸出力与平台的受力联系起来。假设单缸给定单位力，,l x J 的行可以解释为在平台坐标空间中所产生的（广义）力。,l x J 的列可以解释为，为获得平台的单位速度所需缸的速度。

由于并联机器人的控制通常由控制缸的伸缩来实现，根据式（4）有：

1,l x -=x J l

（5） 1

,l x -J 常出现在并联机器人控制系统反馈线性化控制结构中。1,l x

-J 的列指示了使单缸伸缩而其它缸仅旋转时所对应的平台速度；1,l x -J 的行给出了为获得平台坐标空间中的单位力所需要的缸出力。因此，,l x J 的条件数（或称制约数）可作为对平台可控性的一种量度，在,l x J 奇异时，缸是不可控的。另外，平台的许多限制是由缸的特性（诸如缸的行程、最大速度和最大出力）导致的。雅可比矩阵在传递这些限制到平台坐标空间中起着非常重要的作用。例如，若给定缸的最大伸缩速度，则平台坐标空间中的第j （16j ≤≤）维上的最大速度由1,l x

-J 的相应维的1范数与最大缸速度给出。 6

1,max ,,max max 1

1(,)(,)i l x

l x j i v i j v --==*=∑x J J （6）

由式（6）知，平台沿某方向的速度等于1,l x -J 相应行所有元素绝对值的和乘以缸的最大速度，平台其它方向的速度不定；进一步，若限制平台其它方向的速度为0，则有：

()

max

,max ,,(,)

max (,)

i l x l x j

v v i i j ∞

*x J J （7）

5 举例说明

某Stewart 平台的基本几何参数见表1。

表1 Stewart 平台的基本几何参数

,0.89550.13090.42530.21460.11640.48780.89550.30290.32600.21460.48070.14310.89550.43380.09930.21460.36420.34470.89550.43380.09930.21460.36420.34470.89550.30290.32600.21460.48070.143l x

-----------=-----J 10.89550.13090.42530.21460.11640.4878????????????????---???

? （8）可由式（8）计算得出，,l x J 的第二列和第六列、第三列和第五列是不正交的，除这两种情况外，各列都相互正交，即有

,,(:,2)(:,6)0.34T l x l x =-J J ,,(:,3)(:,5)0.34T l x l x =J J

除了上述两种情况，有

,,(:,)(:,)0

()T l x l x i j i j =≠J J

说明沿着Y （Z ）向平动和绕着Z （Y ）轴旋转耦合最为严重。

若限制平台其它方向的速度为0，估计沿着X 向的最大速度，根据式（7）则有：

()

max max

1,max ,,max

(1,)max (1,)0.8955l x l x j j ∞??????≈=??*??????????=????

v v

x J J v 若max 0.6/m s =v ，则

1,max 0.6/0.89550.67/m s ≈≈x （9）

式（9）可作为沿X 向最大速度的近似估计。

,l x J 的逆为：

1,0.18610.18610.18610.18610.18610.18610.20190.83350.63160.63160.83350.20190.84590.24810.59780.59780.24810.84590.77650.77650.77650.77650.77650.77650.2270.52520.75220.75220.52520l x

--------------=------J .2270.73750.56530.17220.17220.56530.7375??

???

????

--??

? 则根据式（6）有：

[]max max 1.1166 3.334 3.3836 4.659 3.0088 2.95T

=x v （10）

不考虑平台其它方向的速度，平台某方向的最大速度可用（10）近似估计。例如：

1,max max 1.1166 1.11660.60.67/m s ≈?=?≈x v （11）

式（11）和式（9）的估计值是吻合的。

5 结论

1）雅可比矩阵是并联机器人中的一个重要变量，它将平台坐标与可控、可测的液压缸长联系起来。

2）雅可比矩阵,l x J 建立了平台速度与液压缸速度之间的映射关系，同时，其转置,T l x J 又将缸出力与平台的受力联系起来。

3）假设单缸给定单位力，,l x J 的行可以解释为在平台坐标空间中所产生的（广义）力。,l x J 的列可以解释为，为获得平台的单位速度所需缸的速度。 4）,l x J 的条件数（或称制约数）可作为对平台可控性的一种量度，在,l x J 奇异时，缸是不可控的。

参考文献 1 S.H.Lee, B.J.Yi, S.H.Kim etc.. Analysis on Impact Propagation of Docking Platform for Spacecraft. Proceedings of the 2001 IEEE International Conference on Robotics & Automation, Seoul, Korea, May, 2001:413~420

张尚盈. 液压驱动并联机器人力控制研究. 哈尔滨工业大学博士论文. 2005:11 3 杨大明. 空间飞行器姿态控制系统. 哈尔滨工业大学出版社. 2000:16~19

4 张尚盈, 赵慧, 韩俊伟. 六自由度运动平台实时控制的正/反解算法. 机床与液压. 2003,（3）133~135,123

蔡自兴. 机器人学. 清华大学出版社. 2000:29~42

Analysis of Stewart Platform Jacobian Matrix Z HAO H UI[1]Z HANG S HANGYING[2]

[1]School of Mechanical Automation, Wuhan University of Science and Technology 430081

Email:

[2]National Leading Lab for Digital Manufacture and Equipment Technology, Huazhong University of Science and Technology 430074

Email:

Abstract：Jacobian matrix is an important parameter of Stewart platform. By it, achieved are the relation of platform velocity and cylinder velocity and the relation of platform load and cylinder force, estimated is the controllable of cylinder, and attained is coupling characteristic of each degree of freedom. So it is important to deduce Jacobian matrix and explain it. In this paper, by the kinematics analysis of Stewart platforn, deduced and explained is Jacobian matrix, and it is validated by simulation results.

Key words: Stewart platform kinematics analysis Jacobian matrix

作者简介：

赵慧，女，1973年生，武汉科技大学机械自动化学院副教授，博士。研究方向：机电液系统建模仿真与控制，多足液压步行机，液压技术与应用。

张尚盈，男，1972年生，华中科技大学机械科学与工程学院数字制造与装备技术国家重点实验室在站博士后。研究方向：机电系统动力学与控制、智能机器力控制、直线电机智能控制

雅克比矩阵知识介绍

雅可比矩阵(Jacobi方法) Jacobi 方法 Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论 1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得 Q T AQ = diag(λ 1 ,λ 2 ,…,λ n ) (3.1) 其中λ i (i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。 2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。即设A=(a ij ) n×n ,Q交矩阵, 记B=Q T AQ=(b ij ) n×n , 则 Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。 1 矩阵的旋转变换设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵易见 V ij (φ)是正交矩阵, 记注意到B=V ij A的第i,j行元素以及的第i,j列元素为

可得 ≠0，取φ使得则有如果a ij 对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。设由式(3.4) 可得这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可

知，对角元素的平方和单调增加。 2. Jacobi方法通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。计算过程如下 1)令k=0, A(k) =A 2) 求整数i,j, 使得 3) 计算旋转矩阵 4) 计算A(k+1) 5) 计算 6) 若E(A(k+1))<ε, 则为特征值，

雅可比矩阵

5.1.1 雅克比矩阵及其行列式的几何意义因为雅克比矩阵如此重要且有趣，我们把它单列一节讨论，并放在矩阵的行列式的几何意义后面。说实在的，解说雅克比矩阵及其行列式的几何意义，是应一位网友的希望而作。先前的五章在网上发布以后引起了不少哥们的关注，大多是共鸣及鼓励的话。一位网友哥们说（大意是），你除了内容有些凌乱外细节写得还不错，是下了一番功夫……，不知以后写不写雅克比行列式的几何意义等等。嘿嘿，您的给力评论使俺很受鼓舞。就像在学校里，老师先表扬说你的作业写得不错，有进步，我再给你出个优等生的题目吧。因此，俺就把这事记下了，先把题目列在目录里防止忘了。当写到这一节时才知道这个题目确实有点难度啊，又下了很大的功夫，才觉得这件事通顺了。至此俺才发现，老师出的这个题目太有目光了，雅克比矩阵简直就是线性代数和微积分的纽带，是把非线性问题转换为线性问题的有力工具之一啊。有时看到一点微分几何的内容，也觉得和微分几何颇有渊源（宽恕俺没学过微分几何）。兹写作业在此，希望再次得到老师的表扬哦： 5.1.1雅克比矩阵及其行列式的几何意义话说有一个函数方程组，是由n个函数组成，每个函数也有n个自变量：。。。。。。。。。。。。。。。。。这个函数组有两个意义可以解释，一个解释它是一个映射，点被映射成；另外的一个解释就是坐标变换的意思，如果你把这个函数组代到一个以为自变量的某方程中，即相当于把某方程的原坐标系被替换成坐标系。这两个解释本质是一回事，是同一件事情的从不同角度的看法。坐标系不动，一个点被变换到另一个点；这等价于说点不动，一个坐标系被代换到另一个坐标系。下面我们将从其坐标变换的解释角度来分析。一般情况下，这个函数方程组不是线性方程组，它的图形多是高维曲线、曲面类的。稍详细一点说，每一个函数是个超维曲面，n个超维曲面组合在一起交割成超维曲线。不过猛地看起来蛮像线性方程组的样子，心里于是就有了把它弄成线性方程组的冲动：弄成线性的可以使用矩阵、行列式啊什么的，可以和线性变换联系起来，多有几何意义啊。

速度雅克比矩阵分析

速度分析---雅可比矩阵---关节速度与末端速度的映射关系雅克比矩阵的获得方法：位置关系求导；矢量积法；微分变换法雅克比的性质： 6 x n 的偏导数矩阵，前3行为末端线速度传动比，后3行为末端角速度传动比。行数=机器人在操作空间的维数，列数n=关节数。雅克比的应用： 1、判断奇异状态：|J|=0 2、雅克比矩阵的奇异值分解，将雅可比矩阵分解出对角阵（对角元素为奇异值），对角阵和雅可比矩阵具有相同的秩。 3、条件数，定义式（文献）根据是否满自由度划分，和奇异值存在关系：条件数是最大和最小奇异值的比值。条件数k ≥1，当k=1时，操作臂所具有的形位称为各向同性，灵巧性最高，各奇异值相等。 4、最小奇异值，可用来作为控制所需关节速度上限的指标（限定式见文献）。 5、运动灵巧性指标，条件数的倒数。附件1：矢量积法矢量积的方法是whitney 基于运动坐标系概念于1972年提出的求解机器人运动雅克比矩阵的方法。末端抓手的微分移动和微分转动分别用d 和δ表示，线速度和角速度分别用v 和w 表示。对于移动关节i 的运动，它在末端手抓产生于z1轴相同方向的线速度，且 0i i v z q w ?? ??=???????? 因此得到雅可比矩阵的第i 列 0i i Z L ?? =???? (移动关节i) 对于转动关节i 的运动，它在终端抓手上产生的线速度为矢量积0 ()i i n i v z p q =?，产生的角速度为i i w z q = 。因此，雅可比矩阵的第i 列为 ()00i i i i n i n i i i Z R P Z P J z Z ??????==? ????????? 式中，?表示矢量积符号，0 i n P 表示末端抓手坐标的原点相对坐标系{i}的位置在基座标系{0} 的表示，0 i n P = ( )0 i i n R P ,Zi 是坐标系{i}的Z 轴单位方向，它是用坐标系表示的。附件2：微分变换法速度可以看成是单位采样时间内的微分运动。因此，操作速度与关节速度之间的额关系

速度运动学雅可比矩阵

第4章速度运动学——雅可比矩阵在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。 1.角速度：固定转轴情形 k θ ω =（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ 是角度θ对时间的倒数） 2.反对称矩阵一个n n ?的矩阵S 被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T ,我们用)3(so 表示所有 33?反对称矩阵组成的集合。如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33?的反对称矩阵具有下述形式： ???? ? ?????---=0001 2 13 23s s s s s s S 如果T z y x a a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式： ???? ????? ?---=000 )(x y x z y z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质 1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3 R ，α、β为标量

2）p a p a S ?=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ?表示向量叉乘 3）)()(Ra S R a RS T =，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。 4）对于一个n n ?的反对称矩阵S ,以及任何一个向量n R X ∈，有0=SX X T 旋转矩阵的导数 )(θθ SR R d d = 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。 3.角速度：一般情况 )())(()(t R t w S t R = ，其中，矩阵))((t w S 是反对称矩阵，向量)(t w 为t 时刻旋转坐标系相对于固定坐标系上的点p 。 4.角速度求和假定我们有112010...-=n n n R R R R ，则00,00)(n n n R S R ω= ，其中 0,104 ,303 ,202,10 1,01,10134,30323,20212,10101,00,0......n n n n n n n R R R R ----+++++=+++++=ω ω ω ωωωωωωωω （0 2,1ω表示对应于1 2R 导数的角速度在坐标系0000z y x o 中的表达式） 5.移动坐标系上点的线速度 v r o Rp S o p R p +?=+=+=ωω 110)( 其中，1 Rp r =是从1 o 到p 的向量在坐标系0000z y x o 的姿态中的表达式，v 是原点1o 运

雅克比矩阵

Jacobi 方法 Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论 1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得 Q T AQ = diag(λ 1,λ 2 ,…,λ n ) 其中λ i (i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。 2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。即设A=(a ij ) n×n ,Q交矩阵, 记B=Q T AQ=(b ij ) n×n , 则 Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。 1 矩阵的旋转变换设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵易见 V ij (φ)是正交矩阵, 记注意到B=V ij A的第i,j行元素以及的第i,j列元素为可得如果a ij ≠0，取φ使得则有对A(1)重复上述的过程，可得A(2) ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A(k) }。可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A(1)为例进行讨论。

设由式可得这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由可知，对角元素的平方和单调增加。 2. Jacobi方法通过一系列旋转变换将A变成A(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。计算过程如下 1)令k=0, A(k) =A 2) 求整数i,j, 使得 3) 计算旋转矩阵 4) 计算A(k+1) 5) 计算 6) 若E(A(k+1))<ε, 则为特征值， Q T = (V(0) V(1)…V(k+1))T 的各列为相应的特征向量；否则，k+1=>k

Stewart平台雅可比矩阵分析

Stewart平台雅可比矩阵分析赵慧[1]张尚盈[2] [1]武汉科技大学机械自动化学院 430081 Email: [2]华中科技大学数字制造及设备技术国家重点实验室 430074 Email: 摘要：雅可比矩阵是对Stewart平台进行分析时的重要变量，通过对其的分析和计算，可以得到平台速度和液压缸速度之间的关系，得到平台承载与各液压缸出力之间的关系，可以判断液压缸的可控性，可以得到各自由度之间的运动耦合情况。因此，导出雅可比矩阵，并对其物理意义进行诠释和深刻理解非常重要。本文通过Stewart平台的运动学分析，推导出雅可比矩阵的公式，并通过仿真结果对其物理意义进行验证。关键词：Stewart平台，运动学分析，雅可比矩阵 1 引言随着科技的发展以及人们对未知世界探索的需求，Stewart平台在飞行模拟器、空中交会对接(RVD)仿真技术[1]、虚拟轴机床、力－扭矩传感器、装配机械手等领域有广泛的应用。其中液压驱动Stewart平台由于具有快速、高精度、大负载和结构紧凑等特点而受到青睐 [2]。 Stewart平台是一个典型的多变量和本质非线性的复杂系统。对Stewart平台运动学和动力学进行研究，是设计、分析和控制Stewart平台的基础。雅可比矩阵是在对Stewart平台进行运动学动力学分析过程中产生和定义的矩阵，具有重要的物理意义，本文将对其实质展开论述，并用仿真结果来验证。 2 Stewart平台描述 2.1 坐标系建立如图1所示，Stewart平台的主体部分由上平台（Platform）、下平台（Base）以及六个液压缸组成。静止不动的下平台与可动作的上平台分别通过上、下胡克铰与液压缸的两端相连。选取体坐标系{}P— O X Y Z在上平台上，坐 p p p p

动力学分析基础--雅克比矩阵

动力学分析基础——雅可比矩阵代码编写,资料整理——ZH1110 动力学仿真计算归结为对典型的常微分方程组的初值问题。在解上述的初值问题时，除了应用常微分方程初值问题的数值积分外，还将用到求解线性代数方程组的数值方法,所以首先我们必须先研究这两个常用的计算机算法,已便于后面的计算. 高斯消去法求解线性代数方程组(直接法,即消去法)，已在线性代数课程中有详细的讨论，在此给出些说明以及具体的算法描述。大致可以分为以下两步。 1．将系数矩阵经过一系列的初等行变换（归一化）在变换过程中，采用原地工作，即经变换后的元素仍放在原来的位置上。 2.消去。它的作用是将主对角线以下的均消成0，而其它元素与向量中的元素也应作相应的变换最后，进行回代依次解出如:我们要解如下方程组：

初等行变换: 回代得到结果: 龙格-库塔算法求解常微分方程用欧拉算法、改进欧拉算法以及经典龙格-库塔算法对常微分方程的初值问题进行数值求解算法。动力学仿真计算最后会出现一加速度，速度，坐标的两阶微分方程组，其积分需要这种计算方法。一、使用欧拉算法及其改进算法（梯形算法）进行求解所谓的微分方程数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。欧拉(Euler)算法是其实现的依据是用向前差商来近似代替导数。对于常微分方程： dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b] y(a)=y0 可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xI点有y'(xI)=f(xI,y(xI))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xI+1)-y (xI))/h= f(xI,y(xI))，因此可以根据xI点和yI点的数值计算出yI+1来.由此可以看出，常微分方程数值解法的基本出发点就是计