第2章 控制系统数学模型(a)
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ua
SM
R1
-k1 运放1
u1
负
C
-k2 运放2
载
uf
系统输出
TG
系统输入参考量
ug
测速发电机
16
控制系统的主要部件（元件）： 给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、 减速器、测速发电机
R2 运放1 u1 K1 (u g u f ) K1u e , K1 R1 du1 R2 u 2 K 2 ( u1 ) , R1C , K 2 运放2 dt R1 u a K 3u 2 功放 d m 直流电动机 Tm m K mua KC M C dt 减速器（齿轮系） m / i
数学模型的建立方法： 分析法 根据物理化学规律推导 实验法 根据实验数据拟合
2
“三域”模型及其相互关系
微分方程 t （时域）
L L
1
F F 1
系统
传递函数
s
s j
j s
频率特性
（复域）
（频域）
3
2-1 控制系统的时域数学模型
2-1-1 元件和系统的微分方程 1、R-L-C网络系统（电路系统） 求输出电压Uc与输入电压Ur 之间的运动方程
(i K1 K 2 K 3 K m K t )
KC KC
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
消去中间变量
ut
u1 u 2 u a m
dug d MC Tm Kg K g ug KC dt dt
18
控制系统微分方程的建立
（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中 各 个基本部件（元件）
K2 Ra ( Ra f m Cm Ce ) , K3 La ( Ra f m Cm Ce ) La , TL , Ra
当电枢回路的电感，可以忽略不计时得
dm (t ) Tm m (t ) K1u a (t ) K 2 M C (t ) dt
9
d m (t ) Tm m (t ) K1ua (t ) K 2 M C (t ) dt
1 , 2 为不等实根
y c1e c2e
t
1t
2t
1 , 2 为相等实根 y (c c t )e1t 1 2
1,2 i y e (c1 cos t c2 sin t )
26
运动的模态
微分方程的解：齐次方程的通解+特解 通解由特征根所决定，若n阶微分方程的特征根 均为单根， 1 , 2 n 称 e 1t , e 2t ,, e nt 为该微分方程的运动模态 特征根具有重根的情况时的运动模态
d 1 J1 f 1 1 M m dt
13
（2）以齿轮2的角速度 2 为输出，外部 M m 为输入
2 2 z2 z2 z2 d2 J 2 J1 f2 f1 2 Mm MC z1 dt z1 z1
增量线性方程
y K1 x1 K 2 x2
24
2-1-4 线性定常微分方程的求解
直接求解法：通解+特解
自由解+强迫解（零初始条件响应 + 零输入响应 ）
变换域求解法：Laplace 变换方法
25
百度文库
二阶微分方程的通解
设二阶微分方程
特征方程为
y py qy 0 2 p q 0
齿轮1和齿轮2的运动方程
d1 J1 f11 M 1 M m dt d 2 J2 f 22 M C M 2 dt
（1）以齿轮1的角速度
（1） （2）
1 为输出，外部 M m 为输入
z1 d1 z1 J2 f 2 1 M C M 2 z2 dt z2
d1 z1 J1 f11 M 2 M m dt z2
测速发电机
ut K t
17
控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为
Tm (iTm K1 K 2 K 3 K m K t ) (i K1 K 2 K 3 K m K t )
K1 K 2 K 3 K m Kg Kg K1 K 2 K 3 K m
(i K1 K 2 K 3 K m K t )
f (t ) f 2 (t ) c(t ) c2 (t ) f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) c(t ) c1 (t ) c2 (t )
可叠加性
20
2-1-2 线性系统的基本特性 可叠加性、均匀性（齐次性） 设
d 2 c(t ) dc(t ) c(t ) f (t ) 2 dt dt f (t ) f1 (t ) c(t ) c1 (t )
z1 J J1 z J2 2
2
' MC
z2 MC z1
z1 f f1 z f2 2
2
分别是折算到齿轮1的等效转动惯量、等效粘 J, f , MC 性摩擦系数及等效负载转矩。当速比越大，折算的等效系 数就越小。在一定条件下，后级的负载效应可忽略不记。
2 z1 d1 J1 J 2 z dt 2
2 z1 z1 1 M m M C f1 f 2 z z 2 2
12
d 1 J f 1 M m M C dt
14
列写元件微分方程的步骤
（1）确定元件的输入量、输出量 （2）由物理或化学规律，列写微分方程； （3）消去中间变量，得到输入、输出关系的微分方程 , 把与输入变量有关的放在等式右边，与输出变量有 关的放在等式左边，按降幂。
15
5、速度控制系统的微分方程
ug
R2
R1
R2 u2
功放
电动机
齿轮系
m
4、齿轮系的运动方程
用途:齿轮系常用来实现减速和增大力矩的目的 J1
f1
Z1 , M 1
J2
1 , M m
Z2 , M 2 2
功率相同 线速度相等
f2
MC
r1 z1 r2 z 2
M11 M 22
1r1 2 r2
z1 z1 2 1 , M 1 M 2 z2 z2
11
Ra f m dm (t ) (TL Tm ) m (t ) Ra f m Cm Ce dt
dM C (t ) K1u a (t ) K 3 K 2 M C (t ) dt R J C Tm a m , K1 m ( Ra f m Cm Ce ) ( Ra f m Cm Ce )
duC (t ) LC RC uC (t ) u r (t ) 2 dt dt d 2 x(t ) dx(t ) m f Kx(t ) F (t ) 2 dt dt d 2uC (t )
物理系统的相似性：不同物理性质元件组成，可 以有相同的数学模型，即，数学模型已摆脱了物
理原型，可以反映出这些系统的共同运动规律。
df ( x) y y 0 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) dx x0
0
y K x
23
具有两个自变量的非线性函数的线性化
f ( x1 , x2 ) y f ( x1 , x2 ) f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) x1 ( x10 , x20 ) f ( x1 , x2 ) ( x2 x20 ) x 2 ( x10 , x20 )
dt Ra f m Cm Ce dt
d 2 m (t )
Ra f m C m Ce
Cm La dM C (t ) Ra u a (t ) M C (t ) Ra f m C m Ce Ra f m Cm Ce dt Ra f m C m Ce
8
TLTm
d 2m (t ) dt 2
若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都 很小，可忽略不计，则上式可进一步简化
1 m (t ) u a (t ) Ce
若以 为输出 Tm d d K1ua (t ) K 2 M c 2 dt dt
2
负载忽略不计
d 2 d Tm K1ua (t ) 2 dt dt
10
ur
L
R
C
uC
di(t ) 1 1 L i(t )dt Ri (t ) u r (t ), uC (t ) i(t )dt dt C C
LC
d 2uC (t ) dt 2
duC (t ) RC uC (t ) u r (t ) dt
4
2、弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统 求质量m在外力F的作用下位移x的运动。 设系统初始处于平衡状态。
F (t )
m d 2 x(t ) dt
2
k
m
F (t ) F1 (t ) F2 (t )
dx(t ) F (t ) f Kx(t ) dt
m d 2 x(t ) dt 2 dx(t ) f Kx(t ) F (t ) dt
f
x(t )
5
*比较 R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统运动方程
Ea Cem (t )
dm (t ) Jm f mm (t ) M m M C (t ) dt 7
若以角速度
m 为输出量、电枢电压 u a 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
d m (t ) La J m ( La f m Ra J m ) 2 dt dt dM C (t ) ( Ra f m Cm Ce ) m (t ) Cm u a (t ) La Ra M C (t ) dt La J m d 2 m (t ) La f m Ra J m d m (t ) m (t ) 2
第2章 控制系统的数学模型
数学模型：描述系统输入输出变量及内部各变量 间关系的数学表达式或图形表达式
按系统运动特性分为： 静态数学模型和动态数学模型。 （静态模型是t→∞时系统的动态模型。）
1
第2章 控制系统的数学模型
数学模型的形式： 连续系统：微分方程，方框图，传递函数，频率 特性，状态方程等 离散系统：差分方程，脉冲传递函数，状态方程
（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前
后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应
（3）消去中间变量
19
2-1-2 线性系统的基本特性 可叠加性、均匀性（齐次性） 设
d 2 c(t ) dc(t ) c(t ) f (t ) 2 dt dt f (t ) f1 (t ) c(t ) c1 (t )
22
小偏差线性化法 设连续变化的非线性函数 y f ( x) 平衡状态A为工作点 y 0 f ( x0 ) , x x0 x , y y 0 y
y f ( x) 在平衡状态点运用台劳级数展开为
2 1 d f ( x ) df ( x) 2 y f ( x ) f ( x0 ) ( x x ) ( x x ) 0 0 2 2! dx dx x0 x
f (t ) f 2 (t ) c(t ) c2 (t ) f (t ) Af1 (t ) c(t ) Ac1 (t )
均匀性
21
2-1-3 非线性元件微分方程的线性化
实际的物理元件都存在一定的非线性，例如 弹簧系数 是位移的函数 K ( x) 电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关 电动机本身的摩擦、死区
6
3、机电系统微分方程：电枢电压控制直流电动机
La ua ia
Ra Ea
SM
m J m fm
负载
Mm
电枢回路电压平衡方程
MC
电磁转矩方程 电枢反电动势
电动机轴上转矩平衡方程
dia (t ) La Ra ia (t ) Ea (t ) u a (t ) dt M m Cmia (t )
SM
R1
-k1 运放1
u1
负
C
-k2 运放2
载
uf
系统输出
TG
系统输入参考量
ug
测速发电机
16
控制系统的主要部件（元件）： 给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、 减速器、测速发电机
R2 运放1 u1 K1 (u g u f ) K1u e , K1 R1 du1 R2 u 2 K 2 ( u1 ) , R1C , K 2 运放2 dt R1 u a K 3u 2 功放 d m 直流电动机 Tm m K mua KC M C dt 减速器（齿轮系） m / i
数学模型的建立方法： 分析法 根据物理化学规律推导 实验法 根据实验数据拟合
2
“三域”模型及其相互关系
微分方程 t （时域）
L L
1
F F 1
系统
传递函数
s
s j
j s
频率特性
（复域）
（频域）
3
2-1 控制系统的时域数学模型
2-1-1 元件和系统的微分方程 1、R-L-C网络系统（电路系统） 求输出电压Uc与输入电压Ur 之间的运动方程
(i K1 K 2 K 3 K m K t )
KC KC
(i K 1 K 2 K 3 K m K t )
消去中间变量
ut
u1 u 2 u a m
dug d MC Tm Kg K g ug KC dt dt
18
控制系统微分方程的建立
（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中 各 个基本部件（元件）
K2 Ra ( Ra f m Cm Ce ) , K3 La ( Ra f m Cm Ce ) La , TL , Ra
当电枢回路的电感，可以忽略不计时得
dm (t ) Tm m (t ) K1u a (t ) K 2 M C (t ) dt
9
d m (t ) Tm m (t ) K1ua (t ) K 2 M C (t ) dt
1 , 2 为不等实根
y c1e c2e
t
1t
2t
1 , 2 为相等实根 y (c c t )e1t 1 2
1,2 i y e (c1 cos t c2 sin t )
26
运动的模态
微分方程的解：齐次方程的通解+特解 通解由特征根所决定，若n阶微分方程的特征根 均为单根， 1 , 2 n 称 e 1t , e 2t ,, e nt 为该微分方程的运动模态 特征根具有重根的情况时的运动模态
d 1 J1 f 1 1 M m dt
13
（2）以齿轮2的角速度 2 为输出，外部 M m 为输入
2 2 z2 z2 z2 d2 J 2 J1 f2 f1 2 Mm MC z1 dt z1 z1
增量线性方程
y K1 x1 K 2 x2
24
2-1-4 线性定常微分方程的求解
直接求解法：通解+特解
自由解+强迫解（零初始条件响应 + 零输入响应 ）
变换域求解法：Laplace 变换方法
25
百度文库
二阶微分方程的通解
设二阶微分方程
特征方程为
y py qy 0 2 p q 0
齿轮1和齿轮2的运动方程
d1 J1 f11 M 1 M m dt d 2 J2 f 22 M C M 2 dt
（1）以齿轮1的角速度
（1） （2）
1 为输出，外部 M m 为输入
z1 d1 z1 J2 f 2 1 M C M 2 z2 dt z2
d1 z1 J1 f11 M 2 M m dt z2
测速发电机
ut K t
17
控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为
Tm (iTm K1 K 2 K 3 K m K t ) (i K1 K 2 K 3 K m K t )
K1 K 2 K 3 K m Kg Kg K1 K 2 K 3 K m
(i K1 K 2 K 3 K m K t )
f (t ) f 2 (t ) c(t ) c2 (t ) f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) c(t ) c1 (t ) c2 (t )
可叠加性
20
2-1-2 线性系统的基本特性 可叠加性、均匀性（齐次性） 设
d 2 c(t ) dc(t ) c(t ) f (t ) 2 dt dt f (t ) f1 (t ) c(t ) c1 (t )
z1 J J1 z J2 2
2
' MC
z2 MC z1
z1 f f1 z f2 2
2
分别是折算到齿轮1的等效转动惯量、等效粘 J, f , MC 性摩擦系数及等效负载转矩。当速比越大，折算的等效系 数就越小。在一定条件下，后级的负载效应可忽略不记。
2 z1 d1 J1 J 2 z dt 2
2 z1 z1 1 M m M C f1 f 2 z z 2 2
12
d 1 J f 1 M m M C dt
14
列写元件微分方程的步骤
（1）确定元件的输入量、输出量 （2）由物理或化学规律，列写微分方程； （3）消去中间变量，得到输入、输出关系的微分方程 , 把与输入变量有关的放在等式右边，与输出变量有 关的放在等式左边，按降幂。
15
5、速度控制系统的微分方程
ug
R2
R1
R2 u2
功放
电动机
齿轮系
m
4、齿轮系的运动方程
用途:齿轮系常用来实现减速和增大力矩的目的 J1
f1
Z1 , M 1
J2
1 , M m
Z2 , M 2 2
功率相同 线速度相等
f2
MC
r1 z1 r2 z 2
M11 M 22
1r1 2 r2
z1 z1 2 1 , M 1 M 2 z2 z2
11
Ra f m dm (t ) (TL Tm ) m (t ) Ra f m Cm Ce dt
dM C (t ) K1u a (t ) K 3 K 2 M C (t ) dt R J C Tm a m , K1 m ( Ra f m Cm Ce ) ( Ra f m Cm Ce )
duC (t ) LC RC uC (t ) u r (t ) 2 dt dt d 2 x(t ) dx(t ) m f Kx(t ) F (t ) 2 dt dt d 2uC (t )
物理系统的相似性：不同物理性质元件组成，可 以有相同的数学模型，即，数学模型已摆脱了物
理原型，可以反映出这些系统的共同运动规律。
df ( x) y y 0 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) dx x0
0
y K x
23
具有两个自变量的非线性函数的线性化
f ( x1 , x2 ) y f ( x1 , x2 ) f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) x1 ( x10 , x20 ) f ( x1 , x2 ) ( x2 x20 ) x 2 ( x10 , x20 )
dt Ra f m Cm Ce dt
d 2 m (t )
Ra f m C m Ce
Cm La dM C (t ) Ra u a (t ) M C (t ) Ra f m C m Ce Ra f m Cm Ce dt Ra f m C m Ce
8
TLTm
d 2m (t ) dt 2
若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都 很小，可忽略不计，则上式可进一步简化
1 m (t ) u a (t ) Ce
若以 为输出 Tm d d K1ua (t ) K 2 M c 2 dt dt
2
负载忽略不计
d 2 d Tm K1ua (t ) 2 dt dt
10
ur
L
R
C
uC
di(t ) 1 1 L i(t )dt Ri (t ) u r (t ), uC (t ) i(t )dt dt C C
LC
d 2uC (t ) dt 2
duC (t ) RC uC (t ) u r (t ) dt
4
2、弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统 求质量m在外力F的作用下位移x的运动。 设系统初始处于平衡状态。
F (t )
m d 2 x(t ) dt
2
k
m
F (t ) F1 (t ) F2 (t )
dx(t ) F (t ) f Kx(t ) dt
m d 2 x(t ) dt 2 dx(t ) f Kx(t ) F (t ) dt
f
x(t )
5
*比较 R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统运动方程
Ea Cem (t )
dm (t ) Jm f mm (t ) M m M C (t ) dt 7
若以角速度
m 为输出量、电枢电压 u a 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
d m (t ) La J m ( La f m Ra J m ) 2 dt dt dM C (t ) ( Ra f m Cm Ce ) m (t ) Cm u a (t ) La Ra M C (t ) dt La J m d 2 m (t ) La f m Ra J m d m (t ) m (t ) 2
第2章 控制系统的数学模型
数学模型：描述系统输入输出变量及内部各变量 间关系的数学表达式或图形表达式
按系统运动特性分为： 静态数学模型和动态数学模型。 （静态模型是t→∞时系统的动态模型。）
1
第2章 控制系统的数学模型
数学模型的形式： 连续系统：微分方程，方框图，传递函数，频率 特性，状态方程等 离散系统：差分方程，脉冲传递函数，状态方程
（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前
后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应
（3）消去中间变量
19
2-1-2 线性系统的基本特性 可叠加性、均匀性（齐次性） 设
d 2 c(t ) dc(t ) c(t ) f (t ) 2 dt dt f (t ) f1 (t ) c(t ) c1 (t )
22
小偏差线性化法 设连续变化的非线性函数 y f ( x) 平衡状态A为工作点 y 0 f ( x0 ) , x x0 x , y y 0 y
y f ( x) 在平衡状态点运用台劳级数展开为
2 1 d f ( x ) df ( x) 2 y f ( x ) f ( x0 ) ( x x ) ( x x ) 0 0 2 2! dx dx x0 x
f (t ) f 2 (t ) c(t ) c2 (t ) f (t ) Af1 (t ) c(t ) Ac1 (t )
均匀性
21
2-1-3 非线性元件微分方程的线性化
实际的物理元件都存在一定的非线性，例如 弹簧系数 是位移的函数 K ( x) 电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关 电动机本身的摩擦、死区
6
3、机电系统微分方程：电枢电压控制直流电动机
La ua ia
Ra Ea
SM
m J m fm
负载
Mm
电枢回路电压平衡方程
MC
电磁转矩方程 电枢反电动势
电动机轴上转矩平衡方程
dia (t ) La Ra ia (t ) Ea (t ) u a (t ) dt M m Cmia (t )