排列组合1.

专题二十三 排列组合 知识概要

P-Probability 排列 C-Combination 组合

排列公式m n P 是指，从n 个元素取m 个进行排列(即有次序排序)。组合公式m

n C 是指，从n 个元素取m 个，不进行排列（即无次序分别，不排序）。 C —组合数； P —排列数； n —元素的总个数；m —参与选择的元素个数；!—阶乘 ，如5！=5×4×3×2×1=120 ;3!=3×2×1=6。 m n P =n ×(n-1)×(n-2)×…×(n －m ＋1)

m n C =m

n P ÷m!

排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。

排列组合解题策略

排列组合问题的一般解题规律: 1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”。要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”（加法原理），需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”（乘法原理）；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。3）复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。 4）按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。 5）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

一．相临问题——捆绑法。例，7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五

人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有266P 种。

二．不相临问题——选空插入法例，7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为566P 种。

三．复杂问题——总体排除法。在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例，正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有37C 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有37C －3个。

四．特殊元素——优先考虑法。对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。例， 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，所以共有344p 种不同的排法.

五、多元问题——分类讨论法，对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。例，某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么有多少种不同插法。解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有26P 种；2.相临：共有22P ×16P 种。故不同插法的种数为：26P ＋22P ×16P 种。

六．混合问题——先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．例，从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）。解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: 23c 种,不同的排法有: 13P ×22P ,故不同的种植方法共有23c ×13P ×22P 种。

总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。

基本训练

一．计算

45P = 36P =

2100P = 44P =

510P = 315P =

410P －48P = 2510P ＋333P = 58P ÷38P = 34P ×12P =

45C = 36C =

2100C = 44C =

510C = 315C =

410C －48C = 2510C ＋333C = 58C ÷38C = 34C ×12C =

二．填空

1．完成一项任务有两类不同的方法，在第一类方法中有4种方法完成，在第二类方法中有5种方法完成，那么完成这项任务，共有（ ）种方法。

2．在书架上有4本不同的科技书，5本不同的故事书，3本不同的连环画，如果从中任取1本（ ）种不同的拿法；任取两本有（ ）种不同的拿法。

3．直线上有4个点，以每两点为端点的线段有（ ）条。

4．两次投掷一枚色子，两次出现的数字之和为偶数的情况有（ ）种。

5．某人到食堂去买饭，主食有四种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有（ ）种不同的买法。

6．用0，l ，2，3这四个数，可以组成（ ）个没有重复数字的四位数。

7．学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本。那么，小明借一本书可以有（ ）种不同的选法。

8．如下图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走。那么，从甲地到丙地共有（ ）种走法。