排列组合1

1.2.5排列组合综合应用

第1课时

一、教学目标：

1、掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用。

2、认识分组分配和分组组合问题的区别。

3、能够区分和解决分组分配和分组组合问题。

二、教学重点难点

重点：熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用

难点：能够区分和解决分组分配和分组组合问题。

三、教学过程：

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。

前面，我们已经分别对排列组合问题做了较全面的研究，我们知道排列组合相互联系又相互区别。在实际问题中，有些问题既涉及排列问题又涉及组合问题，因此只有将两个知识点结合起来，才能更好的解决实际问题，今天我们先解决以下几类综合问题。

（三）合作探究、精讲点拨。

1.分组分配问题

（4）因为没有规定谁得1件，谁得2件和3件，那么谁都可以得1，2，或3件，故应

比（2）扩大33A 倍，则一共有36033332516=A C C C 种。

（5）解法一：第一堆有26C 种分法，第二堆有24C 种分法，第三堆有2

2C 种分法，所以一

共有222426C C C 种分法，但因为堆与堆之间没有区别，故每33

A 种情况只能算一种情况，因此，共有1533222426=A C C C 种分法。 解法二：设6件礼品分3堆有x 种分法，在平均分成3堆后再分给三个人，又有33A 种

分法，故将6件礼品分给三个人，每人2件共有x 33A 种分法，再由（1）知它应等于22

2426C C C 种，列方程得x 33A =222426C C C ，可得x 1533222426==A C C C 。 点评：本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清类型的归属对今后的解题大有裨益。其中：⑴均匀不定向分配问题⑵非均匀定向分配问题⑶非均匀不定向分配问题⑷非均匀分配问题⑸均匀分配问题。这是一个典型的问题，要认真体会。

变式训练1、按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？

（1）各组人数分别为2，4，6人；

（2）平均分成3个小组；

（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间。

简答：（1）66

410212C C C =13860， （2）33

4448412A C C C =5775， （3）分两步：第一步平均分成3组，第二步让3个小组分别进入不同车间，故有

3

34

448412A C C C 33A =44

48412C C C =34650种不同的分法。 2分组组合问题。

例二：6名男医生，4名女医生

⑴选3名男医生，2名女医生，让他们到5个不同的地区巡回医疗，共有多少种不同的分派方法？

⑵把10名医生分成2组，每组5人且每组要有女医生，有多少种不同的分派方法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正，副组长2人，又有多少种方法？

解析：取部分元素进行排列，一定要先取后排。

解：（1）法1：分三步：①从6名男医生中选3名36C ②从4名女医生中选2名24C ③对

选出的5人全排列55A ，故一共有

14400552436=C C C 种 法2：分两步：

从5个地区中选出3个地区，再将3个地区的工作分配给6个男医生中的3个，3635A C

再将剩下的2个地区的工作分给4个女医生中的2个24A ，故一共3635A C 1440024=A

（2）医生的选法有两类：

第一类：一组 女医生1人男医生4人，另一组 女医生3人男医生2人，因为组合组之间没有顺序，故一共有4

614C C 种不同的选法。

第二类：两组都是3男2女，考虑两组没有顺序，因此有种223624A C C 不同的

选法，因此医生不同的选法总数为+46

14C C 种120223624=A C C . 分派到两地22A 种方法，每个小组选出正副组长各有25A 种选法，

故一共有96000120252522==A A A N 。

点评：对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）。

变式训练2、从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和2个女同学分别承担A 、B 、

C 、

D 、

E 五项不同的工作，一共有多少种分配工作的方法？

简答：一般方法是先选后排，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程分步，故有

2436C C 55

A =14400种方法。 3. 相同元素的分组分配问题

例3：某校高二年级有6个班级，现要从中选出10人组成高二年级女子篮球队参加县高中年级篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加，这10个名额有多少种不同的分配方案？ 解析：名额分配问题，名额之间没有区别，可以采用隔板法。

解：因为名额之间没有区别，所以可以把它们视作是排成一排的10个相同的小球，要把这10个小球分开成6段，且每段至少一个小球，为达到这个目的，我们把这10个球拉开，每两个球之间空出一个位置，两端不留位置，共9个位置，现在要把这9个位置中放入5个隔板，则每一种放法把这10个球都能分成6段，得到的结果对应于一种分配方案，故有

12659=C 种放法。

点评：相同元素的分配问题，通常可以采用隔板法。

变式训练： 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。

解析：可以将方程解的问题转化为相同元素的分配问题。

解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值，则隔法

与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为29C =36（个）。

点评：该题的转化是关键，将方程的解转化为小球的分配的问题，使问题豁然开朗；既好理解，又便于计算。在做题时注意体会。

（四）反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

四、板书设计：

排列组合综合问题

第一课时

一预习检查 2分组组合问题。 3. 相同元素的分组分配

二合作探究、精讲点拨 例2 例3

1.分组分配问题

例1