第四章(水文统计基本方法)

密度函数：
密度曲线：
例4-3：计算系列的统计参数均值、变差系数、 偏态系数。
样本 1 2 3 4 5
n
系列 300 200 185 165 150
1 x xi n
Cv
(K
i 1
i
1)
2
n
Cs
(K
i 1
n
i
1) 3
3 nCv
样本系列统计参数计算（P.40） 样本 系列 (xi-x)2 (xi-x)3 Ki Ki-1 (Ki-1)3
当m=n时，p=100%，即样本的末项 xn是总体 中的最小值，显然不符合实际，因为随着观测年 数的增多，总会出现更小的数值。对上式进行修 正，有：
数学期望公式：
在频率格纸上以系列各项的频率为横坐标、各 项的值为纵坐标点图，再通过点群中心目估绘光滑 曲线即经验频率曲线。
例4-4：已知某水利枢纽，年最大洪峰流量系列， 绘制经验频率曲线。
可以证明，x i (i 1,2,, k ) 系列的均方差 可作为度量抽样误差的指标，称为均方误。 各参数的均方误（抽样误差）：
n
x
x
C
v

2n
3 2 1 Cs 4 1 2Cv
2
Cv 2n
3 2 C s 2Cv C s 4
C
s
6 3 5 2 4 (1 C s Cs ) n 2 16
1120 2060
6
7 8
1250
1120 1080
54.5
63.6 72.7
1969
1970
1370
2650
9
10
1030
720
81.8
90.9
某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线
二、理论频率曲线：
1、皮尔逊Ⅲ型分布曲线（ P-Ⅲ)
一端有限，一端无限 的不对称单峰曲线
可以推证：

形状、尺度和 位置参数
0 -0.00042187 -0.00535938 -0.015625 0.10359375
变差系数
偏态系数
0.264102
1.12
1.12
第四节 水文频率曲线线型 一、经验频率曲线 由实测资料（样本）绘制的频率曲线。
⒈绘制 设某水文要素（如年径流量）的实测系列共 n 项， 按由大到小的次序排列为x1、x2、...、x m、...、x n。第m 项的经验频率就是在系列中大于及等于样本 x m 的项数 出现次数（m次）与样本容量（n）之比值，即
二、统计参数对频率曲线的影响：
（1）均值 x 对 频率曲线的影响
1.均值大的 位于小的之上。 2.均值大的较 小的陡。
（2）CV对频率曲线的影响
1.随着CV的 增大,频率曲线 越来越陡。
（3）CS对频率曲线的影响
1. CS越大, 均值(K=1)对应 的频率越小， 频率曲线中部 越向左偏，且 上段 越陡，下 段越平缓。
第二节 概率的基本概念 一、事件 指在一定条件组合下，随机试验的结果。 分为：必然事件、不可能事件、随机事件。 水文测验可看作随机试验。 二、概率 反映随机事件出现的可能性大小的数量标准： k P( A) n 三、频率 对于水文现象，用频率作为概率的近似值：
m w( A) n
第三节
随机变量及其概率分布
第四章 水文统计基本方法
⒈概率的基本概念 ⒉ 随机变量及其概率分布 ⒊水文频率曲线线型 ⒋P—Ⅲ型分布参数估计 ⒌水文频率计算—适线法 ⒍相关分析
第一节 概述 一、水文现象的随机性：
二、概率论和数理统计学在水文分析中的应用：
三、水文统计解决的问题： 给定样本，求指定频率的设计值 例：求指定频率的设计洪水。 方法：确定频率曲线。
1
2 3 4 5 均值 均方差
300
200 185 165 150 200
10000
0 225 1225 2500 2790 52.8
1000000
0 -3375 -42875 -125000 165750
1.5
1 0.925 0.825 0.75
0.5
0 -0.075 -0.175 -0.25
0.125
(K
i 1
n
i
1) 2
n
例4-2： 5， 10， 15 x=10 σ=4.08 995，1000，1005 x=1000 σ=4.08
Cv=0.48 Cv=0.0048
⒊偏态系数（Cs）: 反映系列在均值两边对称程度
3 ( K 1 ) i i 1 n
Cs
nC
3 v
正态曲线或正态分布：
例4-6：某枢纽处最大洪峰流量频率计算
某枢纽处年最大洪峰流量计算表 年份 （1） 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 总计 均值 变差系数 洪峰流量 （2） 1540 980 1090 1050 1860 1140 790 2750 762 2390 1210 1270 1200 1740 883 1260 408 1050 1520 483 794 26170 1246 0.46 序号 （3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 排序 （4） 2750 2390 1860 1740 1540 1520 1270 1260 1210 1200 1140 1090 1050 1050 980 883 794 790 762 483 408 26170 模比系数（Ki) （5） 2.207 1.918 1.493 1.396 1.236 1.220 1.019 1.011 0.971 0.963 0.915 0.875 0.843 0.843 0.786 0.709 0.637 0.634 0.611 0.388 0.327 21.00 Ki-1 （6） 1.207 0.918 0.493 0.396 0.236 0.220 0.019 0.011 -0.029 -0.037 -0.085 -0.125 -0.157 -0.157 -0.214 -0.291 -0.363 -0.366 -0.389 -0.612 -0.673 0.000 (Ki-1)2 （7） 1.4562 0.8424 0.2426 0.1570 0.0556 0.0483 0.0004 0.0001 0.0008 0.0014 0.0073 0.0157 0.0248 0.0248 0.0456 0.0849 0.1317 0.1340 0.1510 0.3751 0.4524 4.252 频率（P） （8 ） 4.5 9.1 13.6 18.2 22.7 27.3 31.8 36.4 40.9 45.5 50.0 54.5 59.1 63.6 68.2 72.7 77.3 81.8 86.4 90.9 95.5
10
22 23 25 27 32
100
126 51 41 40 42
50
178 72 58 56 60
25
252 102 82 80 85
10
399 162 130 126 134
第六节
水文频率计算—适线法（配线法）
适线法： 是以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下， 求解与经验点据拟合最优的频率曲线参数，得到一条 理论频率曲线。
CV=2CS时样本参数的均方误(相当误差，%）
均值 cv 参数 变差系数 偏态系数
100
0.1 0.3 0.5 0.7 1 1 3 5 7 10
50
1 4 7 10 14
25
2 6 10 14 20
10
3 9 16 22 32
100
7 7 8 9 10
50
10 10 11 12 14
25
14 15 16 17 20
1 T 1 P
第五节
P—Ⅲ型分布参数估计
用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的参 数，如P—Ⅲ型的 x 、CV、CS 。 一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之间的关 系，来估计频率曲线的参数。
⒈ 均值 x 无偏估计：
⒉ CV的无偏估计量：
Cv
2 ( K 1 ) i i 1 n
F ( xP ) P ( X xP ) f ( x)dx
xP
即求出的 x p 应满足 ：
xp
取决于P、 、 、 a0
四个参数。
x x ，Φ是均值为零，标准差为1的 令： xC v 标准化变量（离均系数）
则有:
x x(1 Cv )
该式包含CS、P与 Φp的关系，根据拟定CS值，可 得不同 P 的 Φp 值，附表。然后利用已知的 和 x CV xp 值，通过下式即可求出与各种P相应的 值，从而可 绘出理论频率曲线。
⒍水文样本系列： 统计参数是样本统计参数。
⒈均值( x )： 反应系列 总水平
定义模比系数： 则：
n
xi Ki x
K1 K 2 K n 1 1 Ki n i 1 n
⒉ 均方差σ、变差系数Cv：
反映系列中各变量值集中或离散的程度
n

(x
i 1
i
x)
2
n
Cv
F ( x) 水文上通常称随机变量的累积频率曲线， 简称频率曲线。
三、概率分布函数与概率密度函数的关系 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数。
F ( x)
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x

四、随机变量的统计参数
⒈总体统计参数、样本统计参数 ⒉均值、均方差、变差系数、偏态系数 ⒊总体：随机变量所有取值的全体。 ⒋样本：从总体中抽取的一部分。 ⒌样本容量：样本包括的项数，样本大小。