离散数学题型梳理-第2章

离散数学常考题型梳理

第2章关系与函数

一、题型分析

本章主要介绍关系的概念及运算、关系的性质与闭包运算、等价关系、相容关系和偏序关系三个重要关系、函数以及函数相关知识等内容。常涉及到的题型主要包括：

2-1关系的概念理解以及关系的并、交、补、差以及复合和逆关系等运算2-2关系自反和反自反、对称和反对称等性质的概念理解与判定；自反、对称和传递闭包运算。

2-3等价关系

2-4偏序关系和哈斯图

2-5 函数的概念和性质

因此，在本章学习过程中希望大家要清楚地知道：

1．有序对和笛卡尔积

（1）有序对：所谓有序对就是指一个有顺序的数组，如< x , y >，x , y的位置是确定的，且< a , b >< b , a >。

（2）笛卡尔积：把集合A，B合成集合A×B，规定：

{,|}

⨯=<>∈∈

且

A B x y x A y B

由于有序对< x , y >中x，y 的位置是确定的，因此A×B 的记法也是确定的，不能写成B×A 。

笛卡儿积的运算一般不满足交换律。

2．二元关系的概念和表示、几种特殊的关系和关系的运算

（1）二元关系的概念：二元关系是一个有序对集合，设集合A，B ，从集合A 到B的二元关系

R∈

x

∈

<

y

=且

>

}

,

x

{B

|

y

A

记作xRy。

二元关系的定义域：A

Ram⊆

R

)

(。

)

R

Dom⊆

(；二元关系的值域：B 二元关系R 是一个有序对组成的集合．因此，一个二元关系是一个集合，可以用集合形式表示；反过来说，一个集合未必是一个二元关系，仅当集合是由有序对元素组成的，才能当做二元关系。

常用关系的表示法包括了集合表示法、列举法、描述法、关系矩阵法和关系图法。关系矩阵和关系图是有限集合上的二元关系的表示方法。

（2）特殊的关系：空关系、全关系和恒等关系 空关系（记作）：是任何关系的子集 全关系（记作E A ）：A A A b a b a E A

⨯≡∈><=},|,{ 恒等全系（记作I A ）：}|,{A a a a I A

∈><=

（3）关系的集合运算、复合运算和逆运算：

关系的集合运算与普通集合运算基本相同，主要为并运算、交运算、补运算、差运算和对称差运算。

关系复合运算，描述为

1212{,|,,}

R R R a c b a b R b c R =∙=<><>∈<>∈存在使且

复合关系满足结合律：)

()(T S R T S R ∙∙=∙∙

关系的逆运算，描述为

},|,{1

R x y y x R

>∈<><=- 逆关系满足：1

1

1

)(---∙=∙R

S

S R

二元关系 R 的逆关系可以用关系矩阵和关系图表示．并且逆关系的关系矩阵就是关系R 的关系矩阵的转置，而逆关系的关系图就是把关系 R 的关系图中的有向弧的方向改变。

3．关系的性质：自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性 （1）自反性：对任意R

x x A x >∈<∈

∀,，有，则关系R 是自反的。

自反关系的矩阵R M 主对角线元素全为1；自反关系图的每个结点都有自回路。

（2）反自反性： 对R

x x A x >∉<∈

∀.，有，则关系R 是反自反的。

反自反关系矩阵R M 主对角线元素全为0；关系图的每个结点都没有自回路。 （3）对称性： 对R

x y R y x >∈<>∈<∀

,,，有，则关系R 是对称的。

对称关系的矩阵R M 是对称矩阵，即ji

ij

r r =；关系图中有向弧成对出现，方

向相反．

（4）反对称性： 对,,x y R y x R

∀

<>∈<>∈，若，必有x

y

=，则关系R 是反对称的；或者

R

x y R y x >∉<>∈<∀,,，必有

，则关系R 是反对称的．

反对称关系的矩阵R M 不出现对称元素，关系图中任意两个顶点之间或者没有有向弧，或者仅有一条有向弧．

（5）传递性： 对,,,a b R b c R a c R

∀

<>∈∃<>∈<>∈，若，使得，则关系R 是传递的．

在传递关系的关系图中，若有从a 到b 的弧，且有从b 到c 的弧，则必有从a 到c 的弧。 4．关系的自反闭包、传递闭包和对称闭包求解方法

（1）求解关系的自反闭包 集合法：把所有的A a ∈

构成的有序对< a , a >

添加到A 上的关系R 中，就

能够获得R 的自反闭包r (R )。即：A

I R R r ⋃=)

(，其中，I A 是A 上的恒等关系。

矩阵法：若R 的关系矩阵M R ，通过公式E

M

M

R

r

+=，就能够求出R 的

自反闭包r (R ) 的关系矩阵M r ，其中E 是单位矩阵。

图像法：在R 的关系图上没有自回路的结点处都添上自回路，就得到了R 的自反闭包r (R ) 的关系图。

（2）求解关系的对称闭包

集合法：若R 上的任意关系a , b ，若R

a b >∉<

,，则把b , a 添加到关

系R 中，就能够获得R 的对称闭包s (R )。即：1

)

(-⋃=R

R R s 。

矩阵法：若R 的关系矩阵为M R ，利用公式T R

R

s

M

M

M +=，就能够得出R 的

对称闭包s (R )的关系矩阵M s ，其中R

T R

M

M

是的转置矩阵.

图像法：把R 的关系图图上所有单向弧都画为双向弧，就能得到R 的对称闭包s (R )的关系图．

（3）求解关系的传递闭包

集合法：先求出R 2，…，R n ，再求它们的并n

R

R

R R

⋃⋃⋃⋃ (2)

1，就能够

获得R 的传递闭包t (R )。即：2

3

1

()n

i t R R R R ==⋃⋃⋃⋅⋅⋅

。

矩阵法：若已知R 的关系矩阵M R ，通过公式n R

R

R

t

M

M

M

M +++=...2，便

能求出R 的传递闭包t (R )的关系矩阵M t 。

图像法：若已知R 的关系图，从关系图的每个结点a i （i =1，2，…，n ）出发，找出所有2步，3步，…，n 步长的路径，设路径的终点为k

j j j a

a

a ,...,,2

1

，从

a I 依次用有向弧连接到k

j j j a

a

a ,...,,2

1

，当检查完所有结点后，就画出了R 的传递

闭包t (R )的关系图。

5.等价关系

等价关系概念：设R 是非空集合A 上的二元关系，如果R 是自反的、对称