(完整版)高一数学集合典型例题、经典例题

《集合》常考题型

题型一、集合元素的意义+互异性

例1.1.设集合 ｛0｝ 例1.2.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________

解：∵A∩B ＝{2，5}，∴5∈A.

∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2.

①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B ＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去．

③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}．

题型二、空集的特殊性

例2.1.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且B A ，

则实数m 的取值范围为_____________

例2.2.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{}0≥=x x B ，且φ=B A I ， 求实数a 的取值范围。

解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=ΦI ；

②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=ΦQ I ，A ∴=Φ或关于x 的方程2

10ax x ++=的根均为负数.

（1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根， 140a ∆=-<，所以14a >

. （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时，

12121401010a x x a x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩

140a a ⎧≤⎪⇒⇒⎨⎪>⎩104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥.

{}{}2|22,|,12,A x x B y y x x A B =-≤==--≤≤=I 则

题型三、集和的运算

例3.1.设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a

则a 的取值范围是________________－3

例3.2.集合M={x |x =k 2+13，k ∈Z}，N={x |x =k +13，k ∈Z}，则（C ）

A.M=N

B.M ⊆N

C.N ⊆M

D.M∩N=∅

解：∵M 中：x =k 2+13={n +13，k =2n ，n ∈Z n +56，k =2n +1，n ∈Z ； N 中：x =k +13=n +13，k =n ∈Z ，∴N ⊆M ．故选：C ．

例3.3.全集(){}R y x y x U ∈=,|,，集合()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

=-+=122|,x y y x M ，(){}4|,-≠=x y y x N ， 则()()N C M C U U I 等于__{})22(，

______________

题型四、创新题

例4.1.定义集合A 与B 的运算A*B={x |x ∈A 或x ∈B ，且x ∉A ∩B}，则(A*B)*A 等于（D ）

A.A ∩B

B.A ∪B

C.A

D.B

解：如图，A*B 表示的是阴影部分，

设A*B=C ，根据A*B 的定义可知：C*A=B ，所以(A*B)*A=B ，故答案为D

例4.2.定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为，用表示有限集的元素个数，给出下列命题：

①对于任意集合，都有()A P A ∈；

②存在集合A ，使得()[]3=A P n ；

③用∅表示空集，若，则()()∅=B P A P I ；

④若B A ⊆，则()()B P A P ⊆；

⑤若，则.其中正确的命题为_①④⑤_________（填序号）

A ()A P ()A n A A ∅=

B A I ()()1=-B n A n ()[]()[]B P A P n ⨯=2

对于命题①，，因此，命题①正确； 对于命题②，若集合的元素个数为m ，则集合的子集共m

2个，若，则 ，解得N m ∉=3log 2，命题②错误；

对于命题③，若∅=B A I ，由于A ⊆∅，B ⊆∅，因此，()B P ∈∅，所以 ，则，命题③错误；

对于命题④，若，对集合的任意子集A E ⊆，即对任意()A P E ∈，则B E ⊆， 则()B P E ∈，因此，命题④正确；

对于命题⑤，设()n B n =，则()1+=n A n ，则集合的子集个数为，即 ，集合的子集个数为，即()[]n B P n 2=，因此 ，命题⑤正确，

故正确的命题为①④⑤_

变式训练：

1.已知集合，集合，若，则实数 1

2.设集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |x ＞－2}，Q ＝{x |x －a ≥0}，令P ＝M ∩N ，若P ∪Q ＝Q ， 则实数a 的取值范围为__________________

解：P ＝M ∩N ＝{x |－2＜x ＜3}，Q ＝{x |x ≥a }，

∵P ∪Q ＝Q ，∴P ⊆Q .∴a ≤－2，即实数a 的取值范围是{a |a ≤－2}

3.若集合{2，3}≠⊂M ≠

⊂{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则集合M 共有__________个。 126 解：27-2=126；

4.定义集合P={x |x =3k +1，x ∈Z}，Q={x |x =3k -1，x ∈Z}，M={x |x =3k ，x ∈Z}.

若a ∈P ，b ∈Q ，c ∈M ，则a 2+b -c ∈（b ）

A.P

B.M

C.Q

D.P ∪Q

5.已知全集U =N ，{2,A x x n n ==∈N }，{4,B x x n n ==∈ N }，则（ C ）

Ａ.U =A B U Ｂ.U=（U C A ）B U

Ｃ.U=()U A C B U Ｄ.U=()()U U C A C B U

A A ⊆()A P A ∈A A ()[]3=A P n 32=m ()A P ∈∅()()[]

B P A P I ∈∅()()∅=B P A P I B A ⊆A ()()B P A P ⊆A 12

+n ()[]n n A P n 2221⨯==+B n 2()[]()[]B P A P n ⨯=2