《一 平行线等分线段定理》教案

《一平行线等分线段定理》教案
教学目标
1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形．
2．熟练掌握任意等分线段的方法．
3．培养化归的思想.运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法. 教学重、难点
重点：平行线等分线段定理及证明；
难点：平行线等分线段定理的证明和灵活运用．
教学过程
一、从特殊到一般猜想结论
1．复习提问，学生口答．
(1)如图4－77，在△ABC中，AM＝MB，MD//BC，DE//AB．求证：AD＝DC．
说明：
①应用平行四边形和三角形全等的知识进行证明．
②题中条件DE//AB与结论没有必然联系，可看成是证明时所添加的辅助线，删去不影响结论的成立，即得到第(2)题．
(2)如图4－78，在△ABC中，AM＝MB，WD//BC，则AD＝DC．
教法：
引导学生用语言叙述该命题：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
即：
平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
二、用化归、特殊化的方法及运动的观点学习定理
1.用化归的方法证明定理．
以三条平行线与被截的两条直线相交成梯形为例来证明定理．
已知：如图4-79(a)，l1∥l2∥l3，AB=BC．求证：A1B1=B1C1．
分析：由于三条平行线与被截的两条直线相交成梯形，怎样利用梯形中常用梯形，怎样利用梯形中常用的辅助线，将梯形分割化归为大家熟悉的三角形和平行四边形去解决？
方法一如图4－79(b)，构造基本图形4－78，过A l作AC的平行线交j2于D，交j3于E，利用复习题(1)的方法来证明．
方法二如图479(c)，构造基本图形4-79(d)，过B I作EF//AC分别交j1，j3于E，F，
利用三角形全等和平行四边形的知识进行证明．
2．用运动的观点掌握定理的变式图形．
(l)当三条平行线与被截的两直线相交不构成梯形时，以上结论是否成立？教师制作教具，演示A l C1；所在直线运动的各种状态(见图4-80)，让学生观察结论，并总结：可用类似的方法来证明．
说明：
(1)让学生认识到被平行线组(每相邻两条的距离都相等的平行线组)所截的两条直线的相对位置不影响定理的结论．
(2)强调图4－80(c)中截得的A1B1＝B1C1，与AC与A1C1的交点D无关，让学生认清定理的
基本图形结构．
3．用特殊化的方法研究推论．
对定理的两种特殊情况，即图4-80(a )、图4-80(b )分解出被截的两条直线与平行组相交构成的梯形、三角形，就得到了定理在梯形和三角形中的特例，得到推论1和推论2．
在图 4－82中，∵ △ABC 中， AE ＝EB ， EF //BC ，∴AF ＝FC ．
推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
在图4-81中，∵梯形ABCD 中，AD //BC ，AE ＝EB ，EF //BC ，∴DF ＝FC ．
推论2经过梯形一腰的中点与底边平行的直线必平分另一腰．
让学生熟记基本图形图4-81、图4-82的结构特点以及它们所包含的重要结论，是灵活运用它们解决问题的关键．
三、例题解析
例1 如图1-6（课本第4页），要在一块钢板上上的A 、B 两个孔间再钻三个孔，使这些小孔都在直线AB 上，并且每两个相邻的小孔中心的距离相等.如果只有圆规和无刻度直尺，应当怎样确定小孔的中心位置？
例2 如图1-7（课本第4页），D 、E 分别是△ABC 中AB 边和AC 边的中点.求证DE //BC 且1.2
DE BC 四、师生共同小结
1．平行线等分线段定理及两个推论的内容及证明方法．
2．指导学生学习方法：利用化归思想证明问题；利用“特殊—一般～特殊”的方法研
究问题；利用运动的思维方法将问题推广；利用分解，构造基本图形的方法灵活运用定理．。