高等数学广义积分
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0 b a b
0
f ( x )dx
lim a f ( x )dx lim 0 f ( x )dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
例 计算广义积分
dx . 2 1 x
0 dx dx dx 解 0 2 1 x 2 1 x 1 x2 0 b 1 1 lim a dx lim 0 dx 2 2 a 1 x b 1 x
x
例
证明广义积分
1
1 dx 当 p 1 时收敛， p x
当 p 1时发散.
1 1 dx dx ( 1 ) p 1 , 证 1 x p 1 x ln x 1 , , p 1 1 p 1 x ( 2) p 1, dx 1 p 1 x , p1 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
设 F ( x ) 是 f ( x ) 在[ a , ) 上的一个原函数 ,且
x
lim F ( x ) 存在 ,记 F ( ) lim F ( x ) ,则
x
a
f ( x ) dx F ( x ) a F ( ) F (a )
t
以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
限 为 函 数 f ( x ) 在 无 穷 区 间 [a , ) 上 的 广 义积 分，记作 a
f ( x )dx.
b b
a
f ( x )dx lim a f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
定义
设函数 f ( x ) 在区 间 ( , b] 上连续，取
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
例 解
计算反常积分
1
arctanx dx . 2 x
原式
1
1 arctanx d x
arctanx dx 2 1 x x(1 x ) 1
1 1 1 1 1 2 2 d x ( ) d x 2 2 1 4 2 1 x 2 (1 x 2 ) 4 2 x 1 x
e
t 1 1 t dx d l n x ln(ln x ) e ln(ln t) , e x ln x lnx
而 lim ln(ln t ) ，因 此 积 分
t
e
1 dx 发 散. x ln x
关于无穷限积分
a
f ( x ) dx 的计算,也有类
似的 牛顿—莱布尼茨公式 ：
定义
设函数 f ( x ) 在区间 ( , ) 上连续,如
0
果广义积分 f ( x )dx 和 0
则 f ( x )dx 都收敛，
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( , )上的广义积分，记作 f ( x )dx .
f ( x )dx f ( x )dx 0
反常积分
在定积分的定义中,有两个限制: (1)积分区间有限；
(2)被积函数有界.
当这两个条件至少有一个不满足时,称反常积分 (又称为广义积分) . 无限区间上的积分—无穷限积分；
无界函数的积分—瑕积分.
定义
设 函数 f ( x ) 在 区 间 [a , ) 上 连续 ，取
b b
b a ，如果极限 lim a f ( x )dx 存在，则称此极
b a
a b ，如果极限 lim a f ( x )dx 存在，则称此极
限 为函数 f ( x ) 在 无穷区间 ( , b] 上 的广 义积 分，记作 f ( x )dx .
b
f ( x )dx
b
lim a f ( x )dx
a
b
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
lim arctan x a lim arctan x 0
0 b a b
lim arctan a lim arctan b . a b 2 2
例
t
e
1 dx x ln x
解 对任意 t 0 , 有
1 x ln 2 4 2 1 x
2
1
1 ln 2 . 4 2
二. 无穷积分收敛的判别法
１.柯西收敛原理
无穷积分
a
f ( x )dx收敛的充要条件是:
g( x ) dx 都收敛 ，则
a
[ f ( x ) g( x )]dx 也收敛。
例
0
xe dx
x
0
0
xde
x
xe
x
0
e dx e
x
x 0
1.
x 1 xe lim x lim x 0 . 其中 xlim x e x e
例 证明广义积分 a e 当 p 0 时发散.
证
px
dx 当 p 0 时收敛，
px b
a
e
ห้องสมุดไป่ตู้x
dx lim a e
b
b px
e pa e pb lim b p p
e dx lim b p a e ap , p0 p , p0
t
1
2
a
a
a
f ( x ) dx 的性质：
f ( x) dx 与
b
f ( x) dx 具有相同的敛散性；
f ( x ) dx ( k 0 ) 具有 相同的
a
kf ( x ) dx 与 a
a
敛散性；
3 设
f ( x ) dx 与
0
f ( x )dx
lim a f ( x )dx lim 0 f ( x )dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
例 计算广义积分
dx . 2 1 x
0 dx dx dx 解 0 2 1 x 2 1 x 1 x2 0 b 1 1 lim a dx lim 0 dx 2 2 a 1 x b 1 x
x
例
证明广义积分
1
1 dx 当 p 1 时收敛， p x
当 p 1时发散.
1 1 dx dx ( 1 ) p 1 , 证 1 x p 1 x ln x 1 , , p 1 1 p 1 x ( 2) p 1, dx 1 p 1 x , p1 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
设 F ( x ) 是 f ( x ) 在[ a , ) 上的一个原函数 ,且
x
lim F ( x ) 存在 ,记 F ( ) lim F ( x ) ,则
x
a
f ( x ) dx F ( x ) a F ( ) F (a )
t
以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
限 为 函 数 f ( x ) 在 无 穷 区 间 [a , ) 上 的 广 义积 分，记作 a
f ( x )dx.
b b
a
f ( x )dx lim a f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
定义
设函数 f ( x ) 在区 间 ( , b] 上连续，取
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
例 解
计算反常积分
1
arctanx dx . 2 x
原式
1
1 arctanx d x
arctanx dx 2 1 x x(1 x ) 1
1 1 1 1 1 2 2 d x ( ) d x 2 2 1 4 2 1 x 2 (1 x 2 ) 4 2 x 1 x
e
t 1 1 t dx d l n x ln(ln x ) e ln(ln t) , e x ln x lnx
而 lim ln(ln t ) ，因 此 积 分
t
e
1 dx 发 散. x ln x
关于无穷限积分
a
f ( x ) dx 的计算,也有类
似的 牛顿—莱布尼茨公式 ：
定义
设函数 f ( x ) 在区间 ( , ) 上连续,如
0
果广义积分 f ( x )dx 和 0
则 f ( x )dx 都收敛，
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( , )上的广义积分，记作 f ( x )dx .
f ( x )dx f ( x )dx 0
反常积分
在定积分的定义中,有两个限制: (1)积分区间有限；
(2)被积函数有界.
当这两个条件至少有一个不满足时,称反常积分 (又称为广义积分) . 无限区间上的积分—无穷限积分；
无界函数的积分—瑕积分.
定义
设 函数 f ( x ) 在 区 间 [a , ) 上 连续 ，取
b b
b a ，如果极限 lim a f ( x )dx 存在，则称此极
b a
a b ，如果极限 lim a f ( x )dx 存在，则称此极
限 为函数 f ( x ) 在 无穷区间 ( , b] 上 的广 义积 分，记作 f ( x )dx .
b
f ( x )dx
b
lim a f ( x )dx
a
b
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
lim arctan x a lim arctan x 0
0 b a b
lim arctan a lim arctan b . a b 2 2
例
t
e
1 dx x ln x
解 对任意 t 0 , 有
1 x ln 2 4 2 1 x
2
1
1 ln 2 . 4 2
二. 无穷积分收敛的判别法
１.柯西收敛原理
无穷积分
a
f ( x )dx收敛的充要条件是:
g( x ) dx 都收敛 ，则
a
[ f ( x ) g( x )]dx 也收敛。
例
0
xe dx
x
0
0
xde
x
xe
x
0
e dx e
x
x 0
1.
x 1 xe lim x lim x 0 . 其中 xlim x e x e
例 证明广义积分 a e 当 p 0 时发散.
证
px
dx 当 p 0 时收敛，
px b
a
e
ห้องสมุดไป่ตู้x
dx lim a e
b
b px
e pa e pb lim b p p
e dx lim b p a e ap , p0 p , p0
t
1
2
a
a
a
f ( x ) dx 的性质：
f ( x) dx 与
b
f ( x) dx 具有相同的敛散性；
f ( x ) dx ( k 0 ) 具有 相同的
a
kf ( x ) dx 与 a
a
敛散性；
3 设
f ( x ) dx 与