抽象函数的周期性与对称性

一、教学内容 抽象函数的周期与对称轴

二、教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。

难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。

三、具体内容

1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。

2. 若)()(b x f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -=。

证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=

3. 若)()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2。

证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ①

令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②

由①②得： [][])()(a b x f b a x f -+-=-+-

∴[][])()(a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=2

4. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2b a x +=。 证：要证原结论成立只需证)2

()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则)2

()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以⎪⎭

⎫ ⎝⎛+0,2b a 为对称中心。 证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(

x b a f x b a f -+-=++ 令x a b x +-=2

代入)()(x b f x a f --=+ 则)2

()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为C

C y x P ∈∀),(00 则P 关于点⎪⎭

⎫ ⎝⎛+0,2b a 的对称点),(00'y x b a P --+‘

[][])()()()(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+

∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C '∈P

【几个重要的结论】

（一）函数图象本身的对称性（自身对称）

1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件

是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。

2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件

是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。

3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件

是)(x f y =图象关于直线2

2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 4、如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的

常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。

5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），

则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。

6、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），

则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。

2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f 。

5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。

6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f 。

7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f 。

注：一个结论：设)(x f y =，R x ∈∀都有)2()(x a f x f -=且0)(=x f 有k 个实根)2(≥k ，则所有实根之和为ka

【典型例题】

【例1】 对于)(x f y =，R x ∈有下列命题。

（1）在同一坐标系下，函数)1(x f y +=与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。

（2）若)1()1(x f x f -=+且)2()2(x f x f -=+均成立，则)(x f 为偶函数。

（3）若)1()1(+=-x f x f 恒成立，则)(x f y =为周期函数。

（4）若)(x f 为单调增函数，则)(x a f y =)10(≠>a a 且也为单调增函数，其中正确的为 解：（1）（3）

【例2】若函数3)()(a x x f += R x ∈∀有)1()1(x f x f --=+求)2()2(-+f f 。

解： R x ∈∀，)1()1(x f x f --=+知)(x f 的图象关于)0,1(对称而3)()(a x x f +=的对称中心)0,(a P -

∴ 1-=a ∴ 3)1()(-=x x f 则26)3(1)2()2(3-=--=-+f f

【例3】设)(x f 是定义在R 上的函数，R x ∈∀均有0)2()(=++x f x f ，当11≤<-x 时，12)(-=x x f ，求当31≤

解：由R x ∈∀有)2()(+-=x f x f 得4T =

设]3,1(∈x 则]1,1()2(-∈-x ， )()2()42()2(x f x f x f x f -=+=+-=-

∴52]1)2(2[)2()(+-=---=--=x x x f x f ，∴ 31≤

【例4】已知)(x f 是定义在R 上的函数且满足1)1()(=-+x f x f ，当]1,0[∈x 时有2)(x x f =则

（1）)(x f 是周期函数且周期为2，（2）当]2,1[∈x 时，22)(x x x f -=

（3）4

3)5,2004(=-f 其中正确的是？ 解：（1）（2）（3）

【例5】已知)(x f 满足)2()2(-=+x f x f ，)4()4(x f x f -=+，当26-≤≤-x 时

c bx x x f ++=2)(且13)4(-=-f ，若)3(b f m =，)2

(c f n =，)11(f p =求p n m 、、大小关系？ 解：由已知得4T =，对称轴4=x ∴ 4-=x 也为一条对称轴

∴ 42-=-b ∴8=b 由13)4(-=-f ∴ 134

644-=-c ∴ 3=c ∴ )38(f m =，)2

3(f n =，)3()11(f f p == ∴ p m n >> 【例6】 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且