考研数学重要公式定理
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高等数学重要定理及公式
作者:电子科技大学 通信学院 张宗卫
说明:本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间,总结得出的数学(一)重要公式及一些推论,并使用word 及MathType 输入成文,覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。因为时间有限,难免存在一些输入错误,请读者仔细对照所学知识,认真查阅。 线性代数重要公式
1.矩阵与其转置矩阵关系:E A AA =*
2.矩阵行列式:*1
1A A A =- 1*-=n A A *1*)(A k kA n -= ⎪
⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<=n A r n n A r n A r A r )(,1)(,11)(,0)(*
3.矩阵与其秩:{}()min (),()()()()
(,)()()
(,)max(()())
r AB r A r B r A B r A r B r A B r A r B r A B r A r B ≤+≤+≤+≥+
4.齐次方程组0=Ax :非0解⇔线性相关⇔n A R =)(
5.非齐次方程组b Ax =:有解⇔⇔=)()(A R A R 线性表出
6.相似与合同:相似—n 阶可逆矩阵A,B 如果存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1
则A 与B 相
似,记作:B A ~;合同—A,B 为n 阶矩阵,如果存在可逆矩阵C 使得AC C B T
=则称A
与B 合同。(等价,A 与B 等价—A 与B 能相互线性表出。)
7,特征值与特征向量:λαα=A ,求解过程:求行列式0=-A E λ 中参数λ即为特征值,再求解0)(=-x A E i λ即可求出对应的特征向量。矩阵A 的特征值与A 的主对角元及
行列式之间有以下关系:⎪
⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑A a n n
ii n i λλλλ...2111。上式中∑==n i ii a A 1)(tra 称为矩阵的迹。
8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论:实对称矩阵A 的互异特征值对应的特征向
量线性无关;若n 阶矩阵的特征值都是单特征根,则A 能与对角矩阵相似;n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A 的每一个i k 重特征根,齐次方程组0)(=-x A E i λ的基础解析由i k 个解向量组成即对应每一个i k 重特征根i λi i k n A E R -=-)(λ。
9.实对称矩阵的特征值都是实数,如果A 为一个实对称矩阵,那么对应于A 的不同特征值的特征向量彼此正交。任意n 阶实对称矩阵A 都存在一个n 阶正交矩阵C ,使得
AC C AC C T 1-=为对称矩阵。
10.施密特正交矩阵化方法:一般地,把线性无关向量组s ααα...,21化为与之等价的标准正交向量组的施密特正交过程如下:
1
111222211112
222311113331
11122211)
,()
,(...),(),(),(),(..........
)
,()
,(),(),()
,()
,(--------
=--
=-==s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβββββαββββααβββββααβαβ
再令:i i
i ββγ1
=
则s γγγ...,21是一组与s ααα...,21等价的标准正交向量组。
11.正交矩阵的定义:如果实矩阵A 满足:E AA A A T
T ==则称A 为正交矩阵。 12.设A ,B 为n 阶方阵,如果存在可逆矩阵C ,使得AC C B T
=,则称A 与B 合同。 13.用正交变换化二次型为标准型步骤:
a) 写出二次型对应的对称矩阵A ;
b) 求A 的特征值i λ和特征向量,(0=-A E λ)i α;
c) 将特征向量i α正交化(实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交,多重
特征根在取特征向量时尽量取正交向量,方便计算)、单位化得i β
d) 令⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=n x x x X ...21 , []n C βββ,...,21=,⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y Y ...21则CY X =,是正交变换,且2
22221121...),...,,(n n n y y y x x x f λλλ+++=。
14.如果任一非零向量X 都使得二次型0>AX X T
,则称之为正定二次型,对应的矩阵A 为正定矩阵。二次型为正定矩阵的充要条件是矩阵A 的特征值全部为正实数、正惯性指
数是n 、矩阵A 与E 合同、矩阵A 的顺序主子式全大于零,且以上条件等价。
概率论与数理统计重要知识点及公式: 1.条件概率:
)
()
()|(B P AB P B A P =
如果(|)()()P A B P A P B =,则A 与B 独立。 2.常用概率公式:()()()()()()()()()(|)()P A B P A P B P A B P A B P AB P A P AB p AB P A B P B ⋃=+-⋂⎧⎪
-==-⎨⎪=⎩
(对于给定如:A B ⊂这样的条
件,常常通过画图(如下图)来解决,直观明了)
()()()()()()
p AB p B p AB p AB p A p AB ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
3.全概率公式:1
()()(|)n
i
i
i P A P A P A B ==
∑
4.贝叶斯公式:1
()
()()
(|)()
()(|)
i i i i n
i j
j
j p AB p B p B A p B A p B p B p A B ==
=∑(结合条件概率公式和全概率公
式推导而出) 5.几个重要分布:
a) 二项分布(n 次重复,伯努利类型):()(1)n n
m n m p A C p p -=-
b) 泊松分布:二项分布当m,很大,p
很小且np λ=时,
{}~(),,0,1,2...!
k
X p p x k e k k λλλ-==
=
c) 均匀分布:1,~(,),()0,a x b X U a b f x b a otherelse ⎧⎫
<<⎪
⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
d) 指数分布:,0()0,0x e x f x x λλ-⎧⎫
>=⎨⎬≤⎩⎭