剪应力分布规律

，分别称
§6-2
梁弯曲时的正应力
一、 梁纯弯曲时变形特征
（a）
梁纯弯曲 时的变形
（b）
中性层
（c）
观察现象： 1、各横向线仍为直线，只倾斜了一个角度。 2、各纵向线弯成曲线，上部纵向线缩短，下部纵向线伸长。 分析现象 → 假设和推断 1、平面假设：梁变形前横截面是平面，变形后仍是平面， 垂直于弯曲后梁的轴线。 2、单向受力假设：将梁看成无数纵向纤维组成，各纤维只 受到轴向拉伸或压缩，不存在互相挤压。 中性层，中性轴如图（受力为零） 中性层 中性层：构件内部既不 伸长也不收缩的纤维层。 中性轴：横截面与中性 层的交线。 中性轴
bh 2 1 0.14m 0.212 m 2 0.103 102 m3 弯曲截面系数为 Wz 6 6
最大正应力为
max
M max 4 103 N m 6 3 . 88 10 Pa 3.88MPa 2 3 Wz 0.103 10 m
该梁满足强度要求
§6-6
P
提高梁强度的措施
P
C B A l/4 M图 Pl/8 l/4
+
一、合理配置梁的荷载和支座 1 、将荷载 分散
A l/2 l/2
D B l/4 l/4
M图
+
Pl/4 q
Pl/8
q B A l/5
ql2/50
-
2、合理设 置支座位置
A
l
B 3l/5
-
l/5
ql2/50
M图
+
M图
l ， 一矩形珙面的简支木梁，梁上作用有均布荷载，已知：=4m b=140mm,h=210mm,q=2kN/m，弯曲时木木材的许用正应力 =10MPa，试 校核该梁的强度。
q
例6-2
A
l
B b
h
M图
1 2 ql 8
解：梁中的最大正应力发生在跨中弯矩最大的截面上，最大弯矩为
1 1 M max ql 2 2 10 3 N / m 4 2 m 2 4 10 3 N m 8 8
同时应尽量使拉、压应力同时达到最大值。
min
z
z
max
三、合理设计梁的外形（等强度梁） 梁内不同横截面的弯矩不同。按最大弯矩所设计的等截面 梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均末得到 充分利用。因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情 况，将梁也相应设计成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称 为变截面梁。
10
E
yc
A
C
B
40
z
10
1m
1m
1
1m
FS (kN)
0.25 _ 0.75
+
解： 1)求支座反力： FA 0.25kN，FC 1.75kN
0.5 M (kN.m) + 0.25 _
2)作梁的FS、M图如右： FS , C左 0.75kN，FS , C右 1kN M C 0.5kN m，M B 0.25kN m
+
ql2/40
ql2/8
二、合理选取截面形状 从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的 截面面积，却能获得较大抗弯截面系数的截面。在一般截面 中，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比。因此，当截面 面积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。
面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形； 环形优于圆形。
min
z
h1/2 t
max
y (a) (b)
最大剪应力τ max
d : 腹板的宽度；
Q IZ
* SZ max
d
IZ * SZ : 中性轴以下（或以上） 截面面积对中性轴的静 矩，对于工字钢， max 型钢表查得。
* SZ max
可从
三、圆形环形截面梁的剪应力
d
D d
O
z
O
z
max
y (a)
4 )正应力强度校核： 5)切应力强度校核： M B ( 0.05 y c ) 44.6MPa [ ]L * FS，max S z Iz BL max max I zb By M B y c 24.0MPa [ ]y Iz 103 [10 (50 yc ) 2 / 2] 109 MCyc 4 15 18 . 2 10 10 10 48 . 0 MPa [ ] L Iz CL 2.9MP a [ ] C y M C ( 0.05 y c ) 89.2MPa [ ]y Iz
yc
0.12 0.02 0.01 0.02 0.120.02 0.06 0.045m 0.12 0.02 0.02 0.12
120 I 20 120
z
yc
II 单位： mm
C
z
20
y
2．计算截面惯性矩
0.12 (0.02)3 2 I1 z 0.12 0.020.045 0.01 3.02106 m 4 12 0.02 (0.12)3 2 I2z 0.02 0.120.08 0.045 5.82106 m 4 12
2、剪应力符号：
剪应力τ符号同剪力Q
3、剪应力分布规律：
b h/2 h/2 y
O
z y h/2-y
k
O

max
y
max
剪应力沿截面宽度均匀分布，沿截面高度按二次抛物线 规律分布，上、下边缘处剪应力为零，中性轴处剪应力 最大。 3Q
τ max 2A
二、工字形截面梁的剪应力
翼缘 b t d h 腹板 y h1/2
§6-3
梁的正应力强度计算
max
M Wz [ ]
max
一、 正应力强度条件
①拉压强度相等材料：
②拉压强度不等材料： l ,max [ ]l ， c,max [ ]c 根据强度条件可进行： 1、强度校核: max [ ]
M max W 2、截面设计: z [ ]
二、 正应力计算公式
z
y
z
o
dA
dA
z y (a) y
My Iz
(b)
①距中性层y处的应力
M : 横截面上弯矩。
: 任意截面任意点上的正 应力。
y : 所求应力的点到中性轴 距离。 I z : 截面对中性轴的惯性矩 。
| |max ②梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值为：
Wz I z / ymax
I z 3.02106 5.0810-6 8.8410-6 m4
3. 计算最大弯曲正应力
M B F 0.4 6000N m 截面B—B的弯矩为: 在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其 值分别为：
6000 0.045 7 σ l ,max 3 . 05 10 P a 30.5MP a -6 8.8410 6000 0.12 0.02 0.045 7 σ c ,max 6 . 45 10 P a 64.5MP a -6 8.8410
所以满足强度要求。
§6-4
梁横截面上剪应力及强度条件
一、矩形截面梁的剪应力
m A m (a)
P
m B m
z
(b)
* QS z I zb
y
1、剪应力计算公式：
Q : 横截面上的剪应力；
* Sz : 横截面上需求切应力处的水平线以下（或以上）部分的面积A*对中性轴的静矩；
I z : 整个截面对中性轴的惯性矩； b : 需求切应力处的横截面宽度。
3、确定梁的许可荷载: M max [ ]Wz
已 知 16 号 工 字 钢 Wz=141cm3 ， l=1.5m ， a=1m ， []=160MPa， E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片 ，测得C点轴向线应变 c 400106 ,求F并校核梁正应力强度。
l/2
d 4
D 4
(1 4 )
六、例题与练习
例6-1 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面
B--B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
F
400 mm
B
120 20 120
B
单位： mm
20
解： 1．确定截面形心位置 选参考坐标系z’oy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为:
max
二、设计截面尺寸
已知：梁的截面形状、梁的材料、荷载。 M 计算 : WZ 求尺寸
三、求允许荷载
已知：梁的截面形状、尺寸、梁的材料、荷载类型。

P等 计算 : M WZ 求q 、
例64 T形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知[]y=100MPa，[]L=50MPa， []=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应 力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。 40 1kN 1kN/m
z
y
五、三种典型截面对中性轴的惯性矩
1.矩形截面
bh3 Iz 12 Iz bh2 Wz h/2 6
2.实心圆截面
64 Iz d 4 Wz d / 2 64 Iz
3.截面为外径D、内 径d(=d/D)的空心圆:
64 Iz D 3 Wz (1 4 ) D / 2 32 Iz
—抗弯截面模量。
M M ( I z / ymax ) Wz
三、 正应力的为正 压应力为负
当M为正值时，中性轴以下各点为拉应力。 当M为负值时，中性轴以下各点为压应力。
四、正应力分布规律
正应力沿截面宽度均匀分布，沿截面高度线性分布，中性 轴上正应力为零，上下边缘处正应力（绝对值）最大。
M C yE 0.5 103 7.5 103 3) E 20.6MPa(拉) Iz 18.2 104 1012
E
* FS , C左 S z
I zb
0.75103 (40012.5 109 ) 2.1MPa 4 15 18.2 10 1010
F
例 62
A
a
l
C
B
z
NO.16
解：
1) C E C 210 109 400 106 84 106 Pa 84MPa
M C FB (l a) 0.25F F 47.4 103 N 47.4kN M C 0.25F 0.25F C W W 14110 6 z z 1 2) M max FL 17.8kN m 4 M max 17.8 103 6 max 126 10 Pa 126MPa [ ] 6 Wz 14110
max
y (b)
max
圆形τ max
4Q 3A
薄壁环形τ max 2
A : 圆形截面面积A
d 2
4
Q A
；
A : 圆环形截面面积A Q : 横截面上的剪力。
D 2
4

d 2
4
；
Q : 横截面上的剪力。
§6-5 梁的强度设计 一、校核强度
已知：梁的截面形状、梁的材料、荷载。 M 计算 : max WZ
工程力学
第六章 弯曲应力
第六章 弯曲应力
§6-1 引言
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
梁弯曲时的正应力
梁的正应力强度计算 梁横截面上剪应力及强度计算 梁的强度计算 提高梁强度的措施
§6-1
引言
剪力Q由截面上微力τdA组成
弯矩M由截面上微力σdA组成
τ
梁弯曲时横截面上的正应力σ 与切应力τ 为弯曲正应力与弯曲切应力。
F A B
h( x )
b
z
F A B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一 种理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等 ，实际构件往往设计成近似等强的。