切应力分布规律
工程力学-选择题
工程力学-选择题1. 力的作用线都汇交于一点的力系称为（）A. 平面力系B. 空间力系C. 汇交力系D. 平行力系答案：C2. 力的可传性原理适用于（）A. 刚体B. 变形体C. 刚体和变形体D. 任何物体答案：A3. 二力平衡公理中的两个力、作用与反作用定律中的两个力，它们的相同点是（）A. 都作用在同一物体上B. 大小相等、方向相反、作用在同一条直线上C. 都是约束力D. 都来自于主动力答案：B4. 平面力偶系合成的结果是（）A. 一个力B. 一个力偶C. 一个主矢和一个主矩D. 平衡答案：B5. 以下约束类型中，约束反力只有一个未知量的是（）A. 固定铰支座B. 可动铰支座C. 固定端支座D. 定向支座答案：B6. 平面任意力系平衡方程的基本形式为（）A. ∑Fx = 0 ，∑Fy = 0 ，∑MA(F) = 0B. ∑Fx = 0 ，∑M = 0C. ∑Fy = 0 ，∑M = 0D. ∑MA(F) = 0 ，∑MB(F) = 0 ，∑MC(F) = 0答案：A7. 图示简支梁，在C 点受集中力F 作用，AC = a，CB = b，则A 处的约束反力为（）A. Fa / (a + b)B. Fb / (a + b)C. FD. 0答案：B （对 B 点取矩，∑MB = 0，FA×(a + b) - F×b = 0，解得FA = Fb / (a + b) ）8. 材料力学中对变形固体的基本假设不包括（）A. 均匀性假设B. 连续性假设C. 各向异性假设D. 小变形假设答案：C9. 构件的承载能力不包括（）A. 强度B. 刚度C. 稳定性D. 硬度答案：D10. 轴向拉伸（压缩）时，杆件横截面上的内力是（）A. 轴力B. 剪力C. 弯矩D. 扭矩答案：A11. 轴向拉伸（压缩）杆件的应力公式σ= N/A的适用条件是（）A. 杆件必须是等截面直杆B. 轴力沿杆轴为常量C. 应力不超过材料的比例极限D. 以上都是答案：D12. 低碳钢拉伸试验中，材料的屈服极限是指（）A. 弹性阶段的最大应力B. 屈服阶段的最低应力C. 强化阶段的最大应力D. 颈缩阶段的应力答案：B13. 胡克定律的表达式为（）A. F = kxB. σ= EεC. τ= GγD. δ= Fl / EA答案：B14. 两根材料相同，长度相同，截面积不同的杆件，在相同的轴向拉力作用下，截面积大的杆件（）A. 应力大，变形小B. 应力小，变形小C. 应力大，变形大D. 应力小，变形大答案：B15. 圆轴扭转时，横截面上的切应力分布规律是（）A. 均匀分布B. 线性分布，圆心处为零，边缘处最大C. 抛物线分布D. 双曲线分布答案：B16. 圆轴扭转时的强度条件是（）A. τmax ≤[τ]B. σmax ≤[σ]C. θmax ≤[θ]D. φmax ≤[φ]答案：A17. 圆轴扭转时，单位长度扭转角θ与（）无关。
工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的 狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切 应力仍用下式计算：
τ
FS
S
* z
I zb1
最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在
中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为
M+dM
FS dx
σ
现假设用一水平截面将微段梁截 开，并保留下部脱离体，由于脱离 体侧面上存在竖向切应力τ ，根据 切应力互等定理可知，在脱离体的
顶面上一定存在切应力τ '，且 τ '=τ ,如图所示。
dx τ
z y τ' τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧 面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的 总和，如图所示。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀 分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式 相同，即
τ
FS
S
* z
Izδ
式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼 缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的 惯性矩；δ为翼缘的厚度。
水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实 践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力 的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小 箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上 （或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹 板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上） 翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其 横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称 为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力 的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。
材料力学-第七章弯曲剪应力
2.公式推导 (1) 取微段dx
mn
M
tt
FS
FS
b
h
z
y y
M+dM
FS
s1 m dx n
s2
M
F x
1
§7-3 弯曲剪应力和强度校核
一.矩形截面截面梁的剪应力
b
s My
Iz
mn
h
Oz y
zM
y
tt
M+dM
FS
FS
y
s1 m dx n
s2
2
假设
在hb的情况下
1.t的方向都与 FS 平行 2.t 沿宽度均布。
8.6106 Pa 8.6 MPa
17
例题 4-13
腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。
tmax
18
3. 薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面
内弯曲时，其横截面上切应力 的特征如图a所示：
(1) 由于d <<r0，故认为切应
力t 的大小和方向沿壁厚 无变
化； (2) 由于梁的内、外壁上无切
即：M
dM Iz
S
* z
M Iz
S
* z
tbdx
t
S
* z
dM
Izb dx
结论：
t
FS
S
* z
Izb
4
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t
FS
S
* z
FS ( h 2 y 2 )
I zb 2I z 4
6FS bh3
h 2 4
y2
S* z
A
*
截面正应力
截面正应力截面正应力是指物体在截面上的正应力分布情况，也即截面上的应力沿着截面的方向变化规律。
正应力是指沿着所考虑截面的法向方向作用的应力，它是截面上单位面积上的力的大小。
截面正应力是材料力学中一个重要的概念，对于材料的强度和稳定性具有重要的影响。
了解截面正应力的分布情况可以帮助我们更好地设计和使用材料。
截面正应力的分布情况与所受力的作用方式和力的分布有关。
在受到均匀分布的轴向拉力作用时，截面正应力分布是均匀的，即截面上各点的正应力大小相等。
而在受到集中力的作用时，截面正应力分布则会出现不均匀的情况，即截面上各点的正应力大小不相等。
截面正应力的分布情况还与物体的几何形状有关。
在矩形截面上，正应力分布呈现出线性分布的特点，即正应力随距离的增加而线性增加或减小。
而在圆形截面上，正应力分布呈现出较为复杂的特点，需要通过数学模型进行分析和计算。
截面正应力的大小与材料的强度密切相关。
当截面正应力超过材料的屈服强度时，材料会发生塑性变形或破坏。
因此，在工程设计中需要根据截面正应力的大小合理选择材料和截面形状，以确保结构的安全可靠。
在实际工程中，我们常常需要对截面正应力进行分析和计算。
这需要借助于力学理论和工程数学方法，通过建立适当的数学模型，求解截面上的应力分布和应力大小。
通过对截面正应力的分析和计算，可以评估和优化结构的强度和稳定性，为工程设计提供科学依据。
截面正应力是材料力学中的重要概念，对于材料的强度和稳定性具有重要的影响。
了解截面正应力的分布情况可以帮助我们更好地设计和使用材料，提高结构的安全可靠性。
在实际工程中，对截面正应力的分析和计算是必不可少的，需要借助于力学理论和工程数学方法，通过建立适当的数学模型，求解截面上的应力分布和应力大小。
通过合理评估和优化截面正应力，可以为工程设计提供科学依据。
材料力学面试重点概念36题
材料力学面试重点概念36题第一章绪论1.什么是强度、刚度、稳定性?答:(1)强度:抵抗破坏的能力(2)刚度:抵抗变形的能力(3)稳定性:细长压杆不失稳。
2、材料力学中的物性假设是?答：（1)连续性；物体内部的各物理量可用连续函数表示。
(2)均匀性:构件内各处的力学性能相同。
(3)各向同性:物体内各方向力学性能相同。
3.材料力学与理论力学的关系答:相同点:材力与理力:平衡问题，两者相同不同点:理论力学描述的是刚体，而材料力学描述的是变形体。
4.变形基本形式有答:拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。
5.材料力学中涉及到的内力有哪些?通常用什么方法求解内力?答:(1)轴力，剪力，弯矩，扭矩。
(2)用截面法求解内力。
6，变形可分为?答:1)、弹性变形:解除外力后能完全消失的变形2)、塑性变形:解除外力后不能消失的永久变形7，什么是切应力互等定理答:受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小8，什么是纯剪切?答:单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。
9、材料力学中有哪些平面假设1）拉(压)杆的平面假设实验:横截面各点变形相同，则内力均匀分布，即应力处处相等。
2)圆轴扭转的平面假设实验:圆轴横截面始终保持平面，但刚性地绕轴线转过一个角度。
横截面上正应力为零。
3)纯弯曲梁的平面假设实验:梁横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于梁的纵向纤维;正应力成线性分布规律。
第二、三章轴向拉压应力表嘻10、轴向拉伸或压缩有什么受力特点和变形特点。
答:(1)受力特点:外力的合力作用线与杆的轴线重合。
(2)变形特点:沿轴向伸长或缩短。
11，什么叫强度条件?利用强度条件可以解决哪些形式的强度问题?要使杆件能正常工作，杆内(构件内)的最大工作应力不超过材料的许用应力，即≤[σ],称为强度条件。
σmax=F NmaxA利用强度条件可以解决:1)结构的强度校核；2)结构的截面尺寸设计;3)估算结构所能承受的最大外荷载。
矩形弯曲应力计算公式
材料力学笔记之——弯曲切应力、梁的强度条件横力弯曲的梁横截面上既有弯矩又有剪力，所以横截面上既有正应力又有切应力。
下面，讨论几种常见截面梁的弯曲切应力。
矩形截面从发生横力弯曲的梁上截取长度为dx的微段，该段梁上没有载荷作用，微段两侧截面上的剪力相等，但方向相反。
右侧截面上的弯矩相对左侧截面有增量，因为弯矩不等，因而两截面上的正应力也不相同。
对于狭长矩形截面，由于梁的侧面上无切应力，根据切应力互等定理，截面上两侧边各点处的切应力与边界相切，即与边界平行，梁发生对称弯曲，对称轴y轴上的切应力一定沿着y方向，在狭长截面上切应力沿宽度方向变化不大。
于是，关于横截面上切应力的分布规律，作以下假设：横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力；切应力沿截面宽度均匀分布，即与中性轴平行的横线上各点的切应力大小相等。
截面高宽比大于2的情况下，以上述假定为基础得到的解与弹性理论的精确解相比，有足够的精确度。
根据切应力互等定理，横截面垂直的纵向截面上应存在与横截面上大小相等的切应力。
沿矩中性轴距离y的纵向面把微段截开，取纵向面下侧微元，受力如图所示。
左侧截面上正应力的合力为右侧截面上正应力的合力为显然这两个合力大小不等，纵向截面上必存在一个沿轴向的力使微段保持平衡，这个力为切应力的合力，这也证明了纵向截面上存在切应力，由于d x 是小量，则设纵向面的切应力均匀分布根据平衡条件即其中由切应力互等定理及剪力与弯矩之间的微分关系可得其中：b为截面上矩中性轴为y的横线的宽度，对于矩形截面为常数；I z为整个横截面对中性轴的惯性矩；S z*为横截面上矩中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩；F s为横截面上的剪力。
其中代入切应力计算公式切应力沿截面高度为抛物线分布，当y=0时，即中性轴处有截面上的最大切应力角应变为可见角应变大小沿截面高度也为抛物线分布，此时横力弯曲时横截面翘曲形状如下图，验证了横力弯曲变形不满足平面假设。
剪力不变的横力弯曲，相邻横截面上的切应力相同，翘曲程度也相同，纵向纤维的长度不因截面翘曲而改变，因此不会引起附加的正应力。
工程力学第6节 弯曲切应力
* z
上式表明腹板上的切应力按抛物线规律变化。
最大弯曲切应力 max 发生在中性轴 y 0 处，故
相差不大，当 d b 时，腹板上的切应力可认为均匀 分布。由于工字钢腹板上切应力的合力与截面剪力十 分接近，故工程中常将剪 翼缘 力除以腹板面积来计算工 min 腹板 字形截面梁的 max 。即
一、矩形截面梁 的切应力 假设
截面上任一点 切应力 的方 向均平行于剪 力 FS ； 切应力沿矩形 截面的宽度 b 均匀分布，即 切应力的大小 只与 y 有关
C
在横截面上距中性轴为
y 处的切应力 * FS S z Izb
距中性轴为 y 处横线以下面积对中性轴的面积矩为
hy 2 h b h * 2 2 S z b( y ) （y ) ( y ) 2 2 2 4 bh 3 Iz 12
二、圆形截面梁的切应力
AB 弦上的最大切应力在端点 A 或 B ，切应力为
FS R R y 3Iz
2
2
其中
Iz
d
4
64
R
4
4
max
FS R R y 3Iz
2
2
其中
Iz
d
4
64
R
4
4
在中性轴上，y 0 得到切应力最大值
max
4 FS 2 3R
绘制梁的剪力图 绘制梁的弯矩图
2
8
1 FS max ql 2
最大剪力和最大弯矩
1 2 M max ql 8
切应力公式推导
的 y 看作求应力的点离中性轴 z 的距离。
yc,max
四、横截面上的最大应力
d2
Oz y b
d1 h
中性轴 z 为横截面对称轴的梁 其横
截面上最大拉应力和最大压应力的
值相等；中性轴 z 不是横截面对称
轴的梁 (如图) ，其横截面上的最大 拉应力和最大压应力的值不相等。
yt,max
中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应
第六章
§6－1 梁的正应力
一、纯弯曲与平面假设
1、纯弯曲——梁或梁 上的某段内各横截面上 只有弯矩而无剪力(如图 5－1中的CD段)。
2、 横力弯曲——梁或 梁上的某段内各横截面上 既有弯矩又有剪力(如图6 －1中的AC、BD段)。
弯曲应力
F a (a) AA
Cl
F (b)
FS图 (c)
M图
图6－1
A
最后由式（f）可得
M z
y d A E
A
y2 d A EI z M
A
即有
1 M
EI z
（6－3）
上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。
将式（6−3）代入式（6−2），可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应
力的计算公式为
σ My Iz
（6－4）
三、梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为
t,m ax
My t ,m a x Iz
c,m ax
Myc ,m a x Iz
五、横力弯曲
在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有弯矩而且有剪 力，这种情况下我们称之为横力弯曲。而实际工程中的梁， 大多发生的都是横力弯曲。对于工程实际中常用的梁，应 用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截 面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工 程中的精度要求。
一、横截面上的切应力
一、横截面上的切应力实心圆截面杆和非薄壁的空心圆截面杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截面上的切应力象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布导出这类杆件横截面上切应力计算公式，关键就在于确定切应力在横截面上的变化规律。
即横截面上距圆心τp任意一点处的切应力p与p的关系为了解决这个问题，首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表面上的切应变γp，即γp与p的几何关系利用切应力与切应变之间的物理关系，再利用静力学关系求出横截面上任一点处切应力τp的计算公式实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状均不变，而且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变图8-56扭转时的平面假设：等直圆杆受扭时它的横截面如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截面上任一根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度φ图8-57现从等直圆杆中取出长为dx的一个微段，从几何、物理、静力学三个方面来具体分析圆杆受扭时的横截面上的应力图8-581.几何方面小变形条件下dφ为dx长度内半径的转角，γ为单元体的角应变图8-59或因为dφ和dx是一定的，故越靠近截面中心即半径R越小，角应变γ也越小且γ与R成正比例(或线性关系)由平面假设：对同一截面上各点θ表示扭转角沿轴长的变化率，称为单位扭转角，在同一截面上其为常数所以截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离p成正比p为圆截面上任一点到轴心距离，R为圆轴半径图8-60上式为切应力的变化规律2.物理方面(材料在线性弹性范围内工作)由剪切胡克定律由于G和为常数，所以上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径p 的圆周上各点处大小相同，但它们随p做线性变化同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处。
这些切应力的方向均垂直于各自所对应的半径，指向与扭矩对应3.静力学方面前面已找出了受扭等直圆杆横截面上的切应力τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。
流体力学第五章 管中流动 湍流-2
粘性底层 过渡区 湍流核心区
图3.4.2 湍流的速度结构
2012年12月15日 11
粘性底层虽然很小，但其作用不可忽视。 由于管子的材料，加工方法，使用条件，使用年限的影响，使得管壁 出现各种不同程度的凸凹不平，它们的平均尺寸△称为绝对粗糙度。 δ>△ 粗糙度对湍流核心几乎无影响， 水力光滑管 δ<△ 湍流核心流体冲击粗糙突起部位，引起涡旋，加剧湍乱程度， 增加能量损失， 水力粗糙管
来速度，到达新位置后，立刻和b层流体混合在一起，其速度变为b层速度。具 有了b层的时均速度。
2012年12月15日 5
vy 'dAv
该微团在x方向的原动量vy 'dAv
小于b层具有的动量
vy
'
dA(v
l
dv dy
)
和b层混合后，必然使b层流体动量在x方向上降低，引起瞬时 的速度脉动-vx。
对于原来流体微团来说，到达b层后，原来y方向的脉动转换 为x方向的脉动。如此反复，湍流脉动频繁的主要原因。
层流破坏后，在湍流中会形成许多涡旋，这是造成速 度脉动的原因，但理论上找脉动规律很困难。
统计时均法： 不着眼于瞬时状态，而是以某一个适当时间段 内的时间平均参数作为基础去研究这段时间内 湍流的时均特性。时间长短2、3秒一般足够。
2012年12月15日 2
1、时均流动与脉动
下图为一点上的速度变化曲线，用T时间段内的时间平均 值代替瞬时值，这一平均值就称作一点上的时均速度。
R
2012年12月15日 16
思考题
2.湍流研究中为什么要引入时均概念？湍流时，恒定 流与非恒定流如何定义？
3.湍流时的切应力有哪两种形式？它们各与哪些因素 有关？各主要作用在哪些部位？
第四章--切应力分析
第四章弹性杆横截面上的切应力分析——教学方案第四章弹性杆横截面上的切应力分析对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩(M x)或剪力(F Qy或F Qz)时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。
这时分布内力在一点处的集度，即为切应力。
分析与扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同。
对于扭矩存在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。
对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡方程。
本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁杆件的弯曲切应力分析。
§4-1圆轴扭转时横截面上的切应力工程上将传递功率的构件称为轴，且大多数情形下均为圆轴。
当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时(图4-1)，其横截面上将只有扭矩一个内力分量，轴受扭时，其上的外扭转力偶矩M e （单位为Nm ）与轴传递的功率P （单位为kW ）和轴的转速n （单位为r/min ）有如下关系：{}{}{}min/.9549r kW m N e n P M = （4-1）不难看出，受扭后，轴将产生扭转变形，如图4-2b 所示。
圆轴上的每个微元(例如图4-2a 中的ABCD)的直角均发生变化，这种直角的改变量即为切应变，如图4-2c 所示。
这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力(图中AB 和CD 边对应着横截面；AC 和BD 边则对应着纵截面)，分别用τ和τ'表示。
应用平衡关系不难证明：ττ'-= （4-2）这一关系称为切应力互等定理或切应力成对定理。
1. 平面假设及变形几何关系 变形协调方程如图4-3a 所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：(1) 各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；(2) 由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度γ，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。
切应力基本概念
注意事项
利用材料力学性质判断法时，需要对材料的力学性质有充分的了解，并且能够准确地将其 应用到实际问题中。同时，还需要注意不同材料之间力学性质的差异，避免出现误导。
弯曲与扭转切应力叠加
弯曲引起的切应力和扭转引起的切应力在横截面上叠加，形成总的 切应力分布。
考虑变形协调条件
在分析组合变形时的切应力方向时，需要考虑变形协调条件，即各 部分的变形需要相互协调，以形成整体的平衡状态。
04
实验方法测定材料内 部切应力方向
光学显微镜观察法
01
02
03
制备试样
选取具有代表性的材料试 样，并进行必要的预处理 ，如研磨、抛光等。
注意安全问题
在判断切应力方向时，需要注意安全问题。特别是在处理大型或复杂结构时，应确保人员和设备的安全，避 免发生意外事故。同时，还需要对可能出现的风险进行充分评估，并采取相应的措施进行防范。
03
典型结构中切应力方 向分析
梁弯曲时横截面上的切应力方向
中性轴附近切应力方向相反
01
在梁的中性轴附近，由于弯曲引起的切应力方向相反，一侧为
03
注意事项
在使用坐标系判断法时，需要注意坐标系的选取应尽可能简单、直观，
以便于理解和计算。同时，还需要注意切应力方向与坐标系切线方向的
关系，避免出现错误。
利用材料力学性质判断法
了解材料力学性质
不同的材料具有不同的力学性质，如弹性、塑性、脆性等。了解材料的力学性质有助于判 断切应力的方向。
判断切应力方向
材料力学06弯曲应力_3切应力_机
5
三、圆形截面梁
最大弯曲切应力发生于中性轴上各点处， 计算公式为
max
4FS 3A
式中，A 为圆形截面的面积
四、薄壁圆环形截面梁
薄壁圆环：壁厚 t 远小于平均半径 R
最大弯曲切应力发生于中性轴上各点
max
处，计算公式为
max
2
FS A
式中，A 为薄壁圆环形截面的面积
FS
max
z
x
14
FS max 9.75kN
M 26kN m max
2）校核弯曲正应力强度
由型钢表中查得 No. 18 工字钢截面的几何参数：d = 6.5 mm，Wz = 185 mm3 ，Iz : Sz = 15.4 cm
max
M max Wz
26 185
103 106
140.6 MPa < 170 MPa
y
FS R
max
z
t
y
6
五、弯曲切应力强度条件
其中
max ≤
max
3 FS max 2A
4 FS max 3A
2 FS max A
FS max
d
(Iz
:
S z max
)
矩形截面 圆形截面 薄壁圆环形截面 工字形截面
7
[例1] 图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，试求梁的最大弯曲正 应力和最大弯曲切应力，并比较其大小。
b
FS
max h
z
缘各点处，弯曲切应力为
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
材料力学——剪切中心与牵连位移
剪切中心与牵连位移1.剪切中心剪切中心又叫扭转中心、弯曲中心，基本概念为截面合力线如果经过该点，那么将只会发生弯曲而不会发生扭转。
这里要区分一下形心与剪切中心，一般情况下这两者不是同一点，但是如果截面有两根以上的对称轴时，那么二者重合，如圆、矩形、对称工字型。
那么如何去求解一个截面的剪切中心呢？基本过程有两步：（1）绘制出无扭转时截面的切应力分布规律；（2）利用应力与内力之间的关系列静力学方程进行求解一般来说，很多同学对第一个步骤掌握不到位，不清楚截面在受剪时切应力的分布。
所以有必要给大家列出一些常用截面的切应力分布规律。
如下图所示：图1：常见薄壁杆件的切应力分布规律和剪切中心位置注图1中S 表示剪切中心，C 表示形心知道了切应力的分布规律，那么就可以根据静力学关系进行求解了。
静力学关系公式如下：P dA F A s ==⎰τ0==⎰A dA d T τ截面扭转为0，截面合剪力为P 。
从图1中的截面切应力分布规律我们可以得出如下结论：（1）剪力中心是截面特性，与外荷载无关；（2）薄壁杆件开口杆件与闭口杆件的切应力分布有区别（有兴趣的同学可以查资料）（3）薄壁杆件的切应力分布与受力荷载有关。
下面我们来看一个算例：上图非对称工字型薄壁钢受水平力P ，求作用何处是无扭转产生。
很明显，需要求剪切中心，那么可以按照下图的计算模型进行计算：顶板承担剪力1s F ，底板承担剪力2s F 。
根据静力学关系有：P F F s s =+21()021=--e h F e F s s对上下顶板的最大切应力分别从整体和单独一块板应力切应力公式有： 顶板最大切应力I S P I S F s ⨯⨯=⨯⨯=δδτ11111max ；底板最大切应力IS P I S F s ⨯⨯=⨯⨯=δδτ22221max 其中21I I 、分别为上下顶板的惯性矩，且有21I I I +=。
故而： I I P F s 11⨯=，II P F s 22⨯= 所以：h I I h I e e h e I I 9821121=+=⇒-=（结论：剪切中心与上下板的刚度比有关） 2. 牵连位移这里主要讨论一下支座链杆的位移对杆件的影响。
第三章 杆件的基本变形
第三章 杆件的基本变形这一章主要研究材料力学的有关内容，主要研究各种构件在外力作用下的内力和变形。
在保证满足强度、刚度和稳定性的前提下，为构件选用适宜的材料、确定合理的截面形状和尺寸，以达到即安全又经济的目的。
材料力学的研究对象主要是“杆件”，所谓杆件是指纵向（长度方向）尺寸远比横向（垂直于长度方向）尺寸大的多的构件，例如柱、梁和传动轴等。
杆有两个主要的几何因素，即横截面和轴线。
横截面指的是垂直于轴线方向的截面，后者即为所有横截面形心的连线。
杆件在外力作用下产生的变形，因外力作用的方式不同而有下列四种基本形式：（1） 轴向拉压变形；（2） 剪切变形；（3） 扭转变形，（4） 弯曲变形。
在工程实际中，有些构件的变形虽然复杂，但总可以看作是由以上几种基本变形组合而成，称为组合变形。
第1节 拉伸和压缩在工程结构和机器中，有许多构件是轴向拉伸和压缩作用。
本节主要讨论轴向拉伸的压缩时杆的内力和变形，并对材料在受拉、压时的力学性能进行研究，从而得出轴向拉、压杆的强度计算方法。
1、 内力与截面法1、内力的概念杆件在外力作用下产生变形，其内部的一部分对另一部分的作用称为内力。
显然，若外力消失，则内力也消失，外力增大，内力也增大。
但是对一定的材料来说，内力的增加只能在材料所特有的限度之内，超过这个限度，物体就会破坏。
所以，内力与强度是密切相关的。
2、截面法设一直杆，两端受轴向拉力F作用。
为了求出此杆任一截面m-m上的内力，，我们可以假想用一个平面，沿截面m_m将杆截断，把它分成Ⅰ、Ⅱ两部分，取Ⅰ段作为研究对象。
在Ⅰ段的截面m_m上到处都作用着内力，其合力为F N。
F N是Ⅱ段对Ⅰ段的作用力，并与外力F相平衡。
由于外力F的作用线沿杆件轴线，显然，截面m_m上的内力的合力也必然沿杆件轴线。
对Ⅰ段建立平衡方程：F N-F=0 得 F N＝F将受外力作用的杆件假想地切开用以显示内力，并以平衡条件来确定其合力的方法，称为截面法。
材料力学知识点总结
材料力学知识点总结材料力学是一门研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科，它是工程力学的重要组成部分，对于机械、土木、航空航天等工程领域都有着至关重要的作用。
以下是对材料力学主要知识点的总结。
一、拉伸与压缩拉伸和压缩是材料力学中最基本的受力形式。
在拉伸或压缩时，杆件横截面上的内力称为轴力。
轴力的正负规定为：拉伸时轴力为正，压缩时轴力为负。
通过实验可以得到材料在拉伸和压缩时的应力应变曲线。
低碳钢的拉伸应力应变曲线具有明显的四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和局部变形阶段。
弹性阶段内应力与应变成正比，遵循胡克定律；屈服阶段材料出现明显的塑性变形；强化阶段材料抵抗变形的能力增强；局部变形阶段试件在某一局部区域产生显著的收缩，直至断裂。
对于拉伸和压缩杆件，其横截面上的正应力计算公式为：＄＼sigma ＝＼frac{N}｛A}＄，其中$N$为轴力，＄A$为横截面面积。
而纵向变形量$＼Delta L$可以通过公式$＼Delta L ＝＼frac{NL}｛EA}＄计算，其中$E$为材料的弹性模量，＄L$为杆件长度。
二、剪切与挤压剪切是指在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的横截面沿外力作用方向发生相对错动的变形。
在剪切面上的内力称为剪力。
剪切面上的平均切应力计算公式为：＄＼tau ＝＼frac{Q}｛A}＄，其中$Q$为剪力，＄A$为剪切面面积。
挤压是在连接件与被连接件之间，在接触面上相互压紧而产生的局部受压现象。
挤压面上的应力称为挤压应力，其计算公式为：＄＼sigma_{jy} ＝＼frac{F_{jy}｝｛A_{jy}｝＄，其中$F_{jy}＄为挤压力，＄A_{jy}＄为挤压面面积。
三、扭转扭转是指杆件受到一对大小相等、方向相反且作用面垂直于杆件轴线的力偶作用时，杆件的横截面将绕轴线产生相对转动。
圆轴扭转时，横截面上的内力是扭矩。
扭矩的正负规定：右手螺旋法则，拇指指向截面外法线方向为正，反之为负。
切应力平行于轴线方向
切应力平行于轴线方向1.引言1.1 概述文章概述部分的内容可以描述本篇长文的主要内容以及研究背景和意义。
下面是可能的概述部分的内容：概述：切应力是材料力学中的重要概念之一，它描述了材料内部由于外部力作用而产生的相对滑动。
在材料学与土木工程等领域，研究切应力分布和其作用的规律具有重要的理论和实践意义。
在许多情况下，材料的力学特性和行为需要特定方向上的应力分析，其中轴线方向的切应力扮演了重要角色。
本文旨在详细介绍轴线方向上的切应力，并着重探讨平行于轴线方向的切应力。
通过理论推导和实验分析，我们将深入探讨其分布特点和作用机制，为相关工程和工业实践提供理论指导和应用参考。
此外，通过对切应力的研究，我们有望深入了解材料的变形与破坏行为，为结构的设计与评估提供更加准确的依据。
在本文的正文部分，我们将首先简要介绍轴线方向的切应力的概念和相关基础理论知识。
随后，我们将详细讨论平行于轴线方向的切应力的分布特点和力学行为，包括其在不同材料和结构中的应用情况。
最后，通过总结和结论部分，对本文的主要研究成果进行回顾和综合分析，并展望未来的研究方向和深化应用前景。
通过本文的详细论述和分析，相信读者能够更好地理解轴线方向的切应力及其在相关领域中的重要性，为进一步的研究和应用提供理论基础和技术支持。
同时，本文也将为读者对材料力学和结构设计等领域的研究提供一定的参考价值。
1.2 文章结构在本文中，将按照以下结构组织内容：引言、正文和结论。
引言部分将提供对文章主题的概述，包括有关切应力和轴线方向的基本概念和背景信息。
此外，引言将介绍文章的目的，即研究和探讨切应力平行于轴线方向的重要性和应用。
正文部分将详细讨论轴线方向的切应力和平行于轴线方向的切应力。
首先，我们将介绍什么是轴线方向的切应力，并解释其产生的原因和特点。
然后，我们将探讨平行于轴线方向的切应力，包括其定义、计算方法和影响因素。
我们还将探讨平行于轴线方向的切应力在不同领域的应用，如工程力学、土木工程和材料科学等。
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推论： 横截面切应力 分布
① 大小沿圆周和壁厚不变
（沿周向、径向均匀分布）
(变形极对称、筒壁很薄)
② 方向垂直于半径 （转向与截面扭矩一致）
(错动沿圆周切线方向)
dx
δ
T
薄壁圆筒 大小：
(由合力矩定理)
A dA r T
r AdA
r ( 2 r ) T
实验前：
①绘纵向线， 圆周线； ②施加一对外力偶
实验后： ① 各圆周线 形状 大小 和间距均未改变，
仅 绕轴线作相对转动 ② 各纵向线均倾斜
同一 微小角度
( 各矩形网格均成同样的
歪斜平行四边形 )
平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，
仅绕轴线作相对转动
观察分析 筒壁表面变形
（左右两微面无距离改变，仅相对错动）
Me
x
dx
取微段，两截面相距dx. 相对扭转角 d
o
o
a
b d
b'
dx
1. 变形几何关系：
bb' dx R d
dx d
R
o
o
d
切应变分布规律:
距圆心为 任一点处
b
b'
dx
与其到圆心的距离 成正比， 方向垂直于半径.
d —— 扭转角沿长度方向变化率
dx
2. 物理关系：
代入Hooke定律： G
T
2 r 2
dA
δ
dA
T
二、切应力互等
各微面切应力关系
mz 0
dy
( dy )dx ( dx )dy
,
z
上式称为切应力互等定理
dx
单元体相互垂直两微面上，切应力必成对出现，且（数值）相等，
（方向）相反 （都垂直于两微面交线，方向都同指向或背离该交线）
单元体上只有切应力而无正应力作用，称为纯剪切应力状态
B
M 已知
C
x
m T(x) L
x
A
解：① 求阻力矩——整体平衡
M
(Mx 0)
mL M
m M L
② 截面法——部分平衡
(Mx 0 )
T( x ) mx
T图
M x
L
§2 薄壁圆筒受扭
( Torsion for Thin-Walled Tube )
一、薄壁圆筒受扭
圆筒壁厚
1r
10
r
（r为平均半径）
三、剪切Hooke定律：
T
T
r l
P
l
T
剪切Hooke定律：
T
切应力不超过材料剪切 比例极限时
（τ ≤τp)， 切应力与切应变成正比
式中：G 材料的弹性常数，称为剪切弹性模量， 不同材料的G 值可通过实验确定.
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质
的在三关个系常数.对各向同性G材料可2以(1证E明，) 弹性常数G、 E、υ存
强度计算（危险截面）
[例1] 已知：一传动轴，n =300 r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图
解：① 计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55 500 300
A
B
C
D
15.9(kN m)
m2
§3 圆杆扭转应力·强度条件
( Stresses in Circular Bar under Torsion ·Strength Condition)
R
实验观察：
表面变形全同薄壁圆筒
同样 可得结论:
横截面上无正应力,
R
仅有切应力
同样可得平面假设
一、扭转切应力： Me
①变形几何关系 ②物理关系 ③静力学关系
切应力分布规律:
距圆心为 任一点处 与
该点到圆心距离 成正比,
方向垂直于半径.
（Note: 任一直径，圆点两侧对称 等距离两点 ——相等相反、平行 不共线 而形成力偶 ）
3. 静力学关系：
( 剪力微分 )
dA
由合力矩定理得:
( 扭矩 = 各微剪力对圆形心之矩 )
T A ( dA )
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
(kN
m)M e
9.55
N P ( kW ) n( 转 / 分 n( 转 / 分 )
NP— 功率，千瓦（kW）
马力（PS） n — 转速，转/分（r/min）
1kW=1.36PS, 1PS=735.5N·m/s
目录
概述 §1 扭矩及扭矩图 §2 薄壁圆筒的扭转 §3 圆杆扭转应力 · 强度 §4 圆杆扭转变形 · 刚度
扭转超静定问题 §5 密圈螺旋弹簧 §6 非圆截面杆自由扭转
概述
( Introduction )
受力特点： 外力偶—— 转动面垂直于杆轴线 变形特点: 任意两截面绕轴线相对转动.
A
B
O
切应变 ： 直角的改变量. 扭转角 ： 任意两截面绕轴线转动产生的角位移.
轴：工程中以扭转为主要变形的构件.
如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等.
工 程 实 例
电主轴
螺旋钻杆
操纵杆 传动主轴
工 程 实 例
4
工 程 实 例
轮轴
工 程 实 例
方向盘操纵杆
钻机
旋挖式入岩钻机
石油钻
§1 扭矩 (图) Twisting Moment (Diagrams)
一. 外力偶矩
4.78
4.78
T2
4.78
–
T
（kNm）
9.56
T 9.56 kN m max BC段为危险截面
T2 4.78 4.78 0 ,
T2 9.56 kN m
6.37
T3
T3 6.37 0 ,
T3 6.37kN m
[例] 钻机钻杆，绘制扭矩图. 设工件阻力矩 m 沿杆长度均匀分布.
二.扭矩及扭矩图
1 扭矩T ： 转动面垂直于轴线 的内力偶矩 Me
由
求出
符号规定： 扭矩矢 (右手螺旋法则定) 拉为正 Me
( 扭矩矢沿外法线方向，背离截面为正, 反之为负 )
Me
Tx
2 扭矩图： 表示沿杆轴线各横截面位置---相应截面扭矩 的变化关系图线。
Me1 Me2 Me
Me3
①扭矩变化规律 ②|T|max 值及其截面位置,
A
G
2
d
dx
dA
G d
dx
A 2dA
dA
O
G d
dx
(令 I p A 2dA )
代入关系式
G d
dx
：
d
T GI p dx
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为 处
任一点切应力
4. 公式说明： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料， 小变形的
m3
9.55
P2 n
9.55 150 300
4.78 (kN m)
m4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37 (kN m)
② 求扭矩（按正方向设）
4.78
4.78
15.9
1
2
6.37 3
A
B
C
D
6.37
4.78
mx 0 ,
T1 T1 4.78 0
T1 4.78kN m