切应力分布规律

4.78
4.78
T2
4.78
–
T
（kNm）
9.56
T 9.56 kN m max BC段为危险截面
T2 4.78 4.78 0 ,
T2 9.56 kN m
6.37
T3
T3 6.37 0 ,
T3 6.37kN m
[例] 钻机钻杆，绘制扭矩图. 设工件阻力矩 m 沿杆长度均匀分布.
强度计算（危险截面）
[例1] 已知：一传动轴，n =300 r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图
解：① 计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55 500 300
A
B
C
D
15.9(kN m)
m2
T
2 r 2
dA
δ
dA
T
二、切应力互等
各微面切应力关系
mz 0
dy
( dy )dx ( dx )dy
,
z
上式称为切应力互等定理
dx
单元体相互垂直两微面上，切应力必成对出现，且（数值）相等，
（方向）相反 （都垂直于两微面交线，方向都同指向或背离该交线）
单元体上只有切应力而无正应力作用，称为纯剪切应力状态
目录
概述 §1 扭矩及扭矩图 §2 薄壁圆筒的扭转 §3 圆杆扭转应力 · 强度 §4 圆杆扭转变形 · 刚度
扭转超静定问题 §5 密圈螺旋弹簧 §6 非圆截面杆自由扭转
概述
( Introduction )
受力特点： 外力偶—— 转动面垂直于杆轴线 变形特点: 任意两截面绕轴线相对转动.
A
B
O
切应变 ： 直角的改变量. 扭转角 ： 任意两截面绕轴线转动产生的角位移.
§3 圆杆扭转应力·强度条件
( Stresses in Circular Bar under Torsion ·Strength Condition)
R
实验观察：
表面变形全同薄壁圆筒
同样 可得结论:
横截面上无正应力,
R
仅有切应力
同样可得平面假设
一、扭转切应力： Me
①变形几何关系 ②物理关系 ③静力学关系
Me
x
dx
取微段，两截面相距dx. 相对扭转角 d
o
o
a
b d
b'
dx
1. 变形几何关系：
bb' dx R d
dx d
R
o
o
d
切应变分布规律:
距圆心为 任一点处
b
b'
dx
与其到圆心的距离 成正比， 方向垂直于半径.
d —— 扭转角沿长度方向变化率
dx
2. 物理关系：
代入Hooke定律： G
轴：工程中以扭转为主要变形的构件.
如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等.
工 程 实 例
电主轴
螺旋钻杆
操纵杆 传动主轴
工 程 实 例
4
工 程 实 例
轮轴
工 程 实 例
方向盘操纵杆
钻机
旋挖式入岩钻机
石油钻
§1 扭矩 (图) Twisting Moment (Diagrams)
一. 外力偶矩
实验前：
①绘纵向线， 圆周线； ②施加一对外力偶
实验后： ① 各圆周线 形状 大小 和间距均未改变，
仅 绕轴线作相对转动 ② 各纵向线均倾斜
同一 微小角度
( 各矩形网格均成同样的
歪斜平行四边形 )
平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，
仅绕轴线作相对转动
观察分析 筒壁表面变形
（左右两微面无距离改变，仅相对错动）
结论：横截面无正应力,仅有切应力 dy
推论： 横截面切应力 分布
① 大小沿圆周和壁厚不变
（沿周向、径向均匀分布）
(变形极对称、筒壁很薄)
② 方向垂直于半径 （转向与截面扭矩一致）
(错动沿圆周切线方向)
dx
δ
T
薄壁圆筒 大小：
(由合力矩定理)
A dA r T
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r AdA
r ( 2 r ) T
二.扭矩及扭矩图
1 扭矩T ： 转动面垂直于轴线 的内力偶矩 Me
由
求出
符号规定： 扭矩矢 (右手螺旋法则定) 拉为正 Me
( 扭矩矢沿外法线方向，背离截面为正, 反之为负 )
Me
Tx
2 扭矩图： 表示沿杆轴线各横截面位置---相应截面扭矩 的变化关系图线。
Me1 Me2 Me
Me3
①扭矩变化规律 ②|T|max 值及其截面位置,
切应力分布规律:
距圆心为 任一点处 与
该点到圆心距离 成正比,
方向垂直于半径.
（Note: 任一直径，圆点两侧对称 等距离两点 ——相等相反、平行 不共线 而形成力偶 ）
3. 静力学关系：
( 剪力微分 )
dA
由合力矩定理得:
( 扭矩 = 各微剪力对圆形心之矩 )
T A ( dA )
B
M 已知
C
x
m T(x) L
x
A
解：① 求阻力矩——整体平衡
M
(Mx 0)
mL M
m M L
② 截面法——部分平衡
(Mx 0 )
T( x ) mx
T图
M x
L
§2 薄壁圆筒受扭
( Torsion for Thin-Walled Tube )
一、薄壁圆筒受扭
圆筒壁厚
1r
10
r
（r为平均半径）
m3
9.55
P2 n
9.55 150 300
4.78 (kN m)
m4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37 (kN m)
② 求扭矩（按正方向设）
4.78
4.78
15.9
1
2
6.37 3
A
B
C
D
6.37
4.78
mx 0 ,
T1 T1 4.78 0
T1 4.78kN m
A
G
2
d
dx
dA
G d
dx
A 2dA
dA
O
G d
dx
(令 I p A 2dA )
代入关系式
G d
dx
：
d
T GI p dx
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为 处
任一点切应力
4. 公式说明： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料， 小变形的
三、剪切Hooke定律：
T
T
r l
P
l
T
剪切Hooke定律：
T
切应力不超过材料剪切 比例极限时
（τ ≤τp)， 切应力与切应变成正比
式中：G 材料的弹性常数，称为剪切弹性模量， 不同材料的G 值可通过实验确定.
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质
的在三关个系常数.对各向同性G材料可2以(1证E明，) 弹性常数G、 E、υ存
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
(kN
m)M e
9.55
N P ( kW ) n( 转 / 分 )
(kN m)M e
7.02 N P ( PS ) n( 转 / 分 )
NP— 功率，千瓦（kW）
马力（PS） n — 转速，转/分（r/min）
1kW=1.36PS, 1PS=735.5N·m/s