2011高考数学总复习 计数原理与排列组合课件

题型4 排列中的“相邻”、“不相邻问题” 【例4】 a1，a2，„，a8共八个元素，分别计算满足下列 条件的排列数． (1)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素排在一 起； (2)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻； (3)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻，并且a5，a6，a7，a8也互不相邻； (4)排成前后两排每排四个元素．
计数原理与排列组合
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考纲解读 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．会 用两个原理分析和解决一些简单的实际问题． 2.理解排列、组合的概念． 3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 4.能解决简单的实际问题．
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命题探究
1.计数原理内容考查比较稳定，试题难度起伏不大； 排列组合题目一般为选择、填空题，考查排列组合的基 础知识、思维能力，多数试题与教材习题的难度相当， 但也有个别题难度较大。 2．考查热点为排列组合与两个计数原理结合命题。
一。复习回顾 1、知识结构
排列
基 本 原 理
排列数公式
组合
组合数公式
应 用 问 题
2。分类记数原理，分步记数原理
分类记数原理
完成一件事可以有n类 办法，在第一类中有m1种不 同的方法，在第二类中有m2 种不同的方法，„„，在第 n类办法中有mn种不同的方 法，那么完成这件事共N= m1+m2+„„+mn有种不同的方 法。 分类记数原理针对的是 “分类”问题，其中各种方 法相互独立，用其中任何一 种方法都可完成这件事。
（1）特殊元素（位置）优先安排。 （2）多个限定条件或含“至多”、“至少”问题， 合理分类合理分步。 （3）排列组合混合问题一般要先组合后排列，先整体 后局部。 （4）正难则反，等价转化。 （5）相邻问题，捆绑法。 （6）不相邻问题，插空法。 （7）定序问题、平均分组问题用除法。 （8）相同物品分配问题、名额分配问题用隔板法。 （9）数的大小排列问题，查字典法。 （10）可重复元素排列问题，住店法.
变式2. 1.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报 名方法的种数为多 少？五名学生争夺四项比赛的冠军 (冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少种？ 解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)． 获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种). 2.将3种作物种植在如下图的5块试验田里，每块 种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物， 不同的种植方法共有______种．(以数字作答)
解答：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共 有 种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排 好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素 的全排列，应有A5种排法，由分步计数的原理,有 ＝720 5 种不同排法． (2)先将男生排好，共有 种排法，再在这4个男生的中间 及两头的5个空档中插入3个女生有 种方案，故符合条 件的排法共有 ＝1 440种不同排法． (3)甲、乙2人先排好，有 种排法，再从余下5人中选3人 排在甲、乙2人中间，有 种排法，这时把已排好的5人视 为一整体，与最后剩下的2人再排，又有 种排法，这样 总共有 ＝720种不同排法．
解答：(1)（捆绑法）先将a1，a2，a3，a4四个元素看成一 A 5 种排法，再排a1， 个元素与a5，a6，a7，a8排列一排，有 5 A 4 不同排法，根据分步计数原理知满足条件 a2，a3，a4有 4 4 5 的排列数为 A 5 A 4 ＝2 880. (2)(插空法）先排a5 ，a6 ，a7 ，a8 四个元素排成一排， A 4种排法；再将元素a1，a2，a3，a4插入由a5，a6，a7， 有 4 4 A 5种排法，根据分 a8间隔及两端的五个位置中的四个，有 4 步计数原理知：满足条件的排列数为 A 4 A 5 ＝2 880. 4 A 4 种排 (3)先排a5，a6，a7，a8，× × × ×；共有 4 法 ； 然 后 排 a1 ， a2 ， a3 ， a4 排 在 ×□×□×□×□ 或 A 4 种排法；；根据分步计 □×□×□×□×中的□共有2 4 A 4 ×2 A 4 ＝1 152种排法． 数原理共有 4 4 4 A8 种排法，后排有A 4 种排法，由分步计数原 (4)前排有 4 4 理知共有 A8 A 4 ＝8！种排法． 4
（2）（树图法） 位置
1
2
乙
甲 丁 丙 甲
丙
丁 甲
丁
丙
3
4
丁 甲 丁
丙 丙 甲
丁
乙
乙 甲
甲 乙
乙
丙
乙 甲
甲 乙
由树图可知有9种不同排法. （3）可先排丙、丁有 种排法，则甲、乙只有一种排 法，由分步计数原理满足条件的排列共有 · 1＝ 12(种)．或看作定序问题 ＝12.
方法总结 (1).元素分析法,在解有限定元素的排列问题时，首先 考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。 (2).位置分析法,在解有限定位置的排列问题时，首先 考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。 (3).间接法又叫排除法，在解有限定条件的排列问 题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合 条件的排列数。 (4)树图法又称框图法，用树图或框图列出所有排列 （或组合），从而求出排列数。是解决多个限定条件的排 列组合问题的常用法. (5)消序法，定序问题、部分相同元素排列问题、平 均分组问题常用此法，先将所有元素全排列，再将特殊元 素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列
解析：3×2×2×2×2－ 答案：42
×2＝42.
题型3 在与不在的排序问题 常见的排列问题有三种：(1)排队；(2)排数；(3)排课程 表．对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要 是：(1)位置优先法；(2)元素优先法；(3)间接计算法． 【例3】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计 算满足下列条件的排法种数． (1)甲不在排头、乙不在排尾； (2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、 丁不在第四位； (3)甲一定在乙的右端(可以不邻)． 解答：(1)（①直接法）分为两类，第一类甲排在排尾共 有 ＝6种排法，第二类，若甲在排尾共有 ＝8种排法，由分类计数原理知共有： ＋ ＝ 14(种)． ②也可间接计算： ＝14(种)．
变式4 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排 法？ (3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不 同的排法？ (4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不 同的排法？ (5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排 法？(3个女生身高互不相等)
(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有 种排法；由 于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有 种排法；最 后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人 的空档中有 种排法．这样，总共有 ＝960种不 同排法． (5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有 种排 法．然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按 身体高矮排列，故仅有一种排法．这样总共有 ＝840 种不同排法.
解法三（分类法）：完成涂色的方法分为两类，第一类： 2011高考导航 四个区域涂四种不同的颜色共有 ＝120种涂法； 第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不 相邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区 域，共 ＝60种涂法． 由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)．
方法总结：
方法总结 （1）若某些元素必须相邻，常用捆绑法，即先把这 几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排 列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。 （2）若某些元素不相邻，常用插空法，即先将普通 元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出 若干个空挡插入这些特殊元素。 (3)前后排问题，直排法.
对涂色问题，有两种解法，法1是逐区图示法，注意不 相邻可同色.
法2根据用色多少分类法.
变式1 如下图，一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要 求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择， 则不同的着色方法共有________ 种．(以数字作答) 答案：72
题型2 可重复元素排列问题 【例2】若A＝{a1 ，a2பைடு நூலகம்a3 ，a4}，B＝{b1，b2，b3}．试 问从A到B可建立多少种 不同的映射？ 解答：（住店法）完成建立一个从A到B的映射需要分成 四步，第一步：a1与B中唯一的元素对应有3种方法；第 二步：a2与B中唯一的元素对应有3种方法； 第三步：a3 与B中唯一的元素对应有3种方法； 第四步：a4与B中唯 一的元素对应有3种方法．由分步计数原理，可建立从A 到B的映射共有34＝81(个)． 方法小节： 解决“允许重复排列问题”常用“住店法”，要 注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不 能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的 元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。
5。解排列组合问题的常见方法
二、题型与方法 基础知识梳理
题型1 涂色问题 【例1】如图，用5种不同的颜色给图中A、 B、C、D四个区域涂色，规定每个区 域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 求有多少种不同的涂色方法？ 解法一（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件 事需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4 种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还 可以使用涂A的颜色)，根据分步计数原理共有 5×4×3×3＝180种涂色方法． 解法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色 互不相同，共有 ＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D 有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法．
变式3. (1)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科 四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览 一个城市，且这6个人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不 同的选择方案共有( ) A．300种 B．240种 C．144种 D．96种 (2)安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一 个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数 是________．(用数字作答) 解析：(1) ＝240. (2) 答案：(1)B (2)78
题型5 组合问题 【例5】7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试 问：(1)每个盒子都不空的放法共有多少种？ (2)某些盒子可空的放法共有多少种？ 解析（1）将7个相同小球，放入4个不同盒子，每个盒子 不空，即相当于把7个相同小球分成4组，每组都有小球， 一种分法对应一种放法，先将7个小球排成一排有1种排法， 在小球的中间的6个空挡中选3个放入隔板，有 放法， C3 6 3 C 故满足条件放法共有 种. 6 (2)将7个相同小球，放入4个不同盒子，某些盒子可空， 即相当于把7个相同小球分成4组，某些小组可以没小球， 需要3个隔板，一种分法对应一种放法，先将7个小球与3 个隔板所在位置排成一排有1种排法，再在这10个位置中 3 C10 选3个放入隔板其余放小球，有 放法，故满足条件放 3 法共有 种.C10
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
! ( nnm)!
C

m n
nm !m!
n( n1)( n2)( nm1) m! n!
4。解排列组合问题基本思路
有序 排 列 组 合 问 题
排列 分类或分步 直接法
不易解
间接法 无序 组合 分类或分步 不易解 直接法
分步记数原理
完成一件事需要分成n个 步骤，第一步有m1种不同的 方法，第二步有m2种不同的 方法，……，第n步有mn种 不同的方法，那么完成这件 事共N=m1×m2×……×mn 有种不同的方法。 分步记数原理针对的是 “分步”问题，各步方法相 互依存，只有各步都完成才 能完成这件事。
原理
区别
3。排列与组合 排列 组合 从n个不同元素中，任取 从n个不同的元素中， 定义 m(m≤n)个不同元素按照 任取m（m≤n）个不 一定顺序排成一列，叫 同的元素并成一组， 做从n个不同元素中取出 叫做从n个不同的元素 m个不同元素的一个排列。 中取出m个不同的元 素的一个组合。 区别 与顺序有关 与顺序无关 判定 公式 看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。