2011高考数学总复习 计数原理与排列组合课件

一。复习回顾 1、知识结构
排列
基 本 原 理
排列数公式
组合
组合数公式
应 用 问 题
2。分类记数原理，分步记数原理
分类记数原理
完成一件事可以有n类 办法，在第一类中有m1种不 同的方法，在第二类中有m2 种不同的方法，„„，在第 n类办法中有mn种不同的方 法，那么完成这件事共N= m1+m2+„„+mn有种不同的方 法。 分类记数原理针对的是 “分类”问题，其中各种方 法相互独立，用其中任何一 种方法都可完成这件事。
方法总结 （1）若某些元素必须相邻，常用捆绑法，即先把这 几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排 列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。 （2）若某些元素不相邻，常用插空法，即先将普通 元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出 若干个空挡插入这些特殊元素。 (3)前后排问题，直排法.
（2）（树图法） 位置
1
2
乙
甲 丁 丙 甲
丙
丁 甲
丁
丙
3
4
丁 甲 丁
丙 丙 甲
丁
乙
乙 甲
甲 乙
乙
丙Leabharlann Baidu
乙 甲
甲 乙
由树图可知有9种不同排法. （3）可先排丙、丁有 种排法，则甲、乙只有一种排 法，由分步计数原理满足条件的排列共有 · 1＝ 12(种)．或看作定序问题 ＝12.
方法总结 (1).元素分析法,在解有限定元素的排列问题时，首先 考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。 (2).位置分析法,在解有限定位置的排列问题时，首先 考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。 (3).间接法又叫排除法，在解有限定条件的排列问 题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合 条件的排列数。 (4)树图法又称框图法，用树图或框图列出所有排列 （或组合），从而求出排列数。是解决多个限定条件的排 列组合问题的常用法. (5)消序法，定序问题、部分相同元素排列问题、平 均分组问题常用此法，先将所有元素全排列，再将特殊元 素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列
解答：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共 有 种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排 好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素 的全排列，应有A5种排法，由分步计数的原理,有 ＝720 5 种不同排法． (2)先将男生排好，共有 种排法，再在这4个男生的中间 及两头的5个空档中插入3个女生有 种方案，故符合条 件的排法共有 ＝1 440种不同排法． (3)甲、乙2人先排好，有 种排法，再从余下5人中选3人 排在甲、乙2人中间，有 种排法，这时把已排好的5人视 为一整体，与最后剩下的2人再排，又有 种排法，这样 总共有 ＝720种不同排法．
解答：(1)（捆绑法）先将a1，a2，a3，a4四个元素看成一 A 5 种排法，再排a1， 个元素与a5，a6，a7，a8排列一排，有 5 A 4 不同排法，根据分步计数原理知满足条件 a2，a3，a4有 4 4 5 的排列数为 A 5 A 4 ＝2 880. (2)(插空法）先排a5 ，a6 ，a7 ，a8 四个元素排成一排， A 4种排法；再将元素a1，a2，a3，a4插入由a5，a6，a7， 有 4 4 A 5种排法，根据分 a8间隔及两端的五个位置中的四个，有 4 步计数原理知：满足条件的排列数为 A 4 A 5 ＝2 880. 4 A 4 种排 (3)先排a5，a6，a7，a8，× × × ×；共有 4 法 ； 然 后 排 a1 ， a2 ， a3 ， a4 排 在 ×□×□×□×□ 或 A 4 种排法；；根据分步计 □×□×□×□×中的□共有2 4 A 4 ×2 A 4 ＝1 152种排法． 数原理共有 4 4 4 A8 种排法，后排有A 4 种排法，由分步计数原 (4)前排有 4 4 理知共有 A8 A 4 ＝8！种排法． 4
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
! ( nnm)!
C

m n
nm !m!
n( n1)( n2)( nm1) m! n!
4。解排列组合问题基本思路
有序 排 列 组 合 问 题
排列 分类或分步 直接法
不易解
间接法 无序 组合 分类或分步 不易解 直接法
分步记数原理
完成一件事需要分成n个 步骤，第一步有m1种不同的 方法，第二步有m2种不同的 方法，……，第n步有mn种 不同的方法，那么完成这件 事共N=m1×m2×……×mn 有种不同的方法。 分步记数原理针对的是 “分步”问题，各步方法相 互依存，只有各步都完成才 能完成这件事。
原理
区别
3。排列与组合 排列 组合 从n个不同元素中，任取 从n个不同的元素中， 定义 m(m≤n)个不同元素按照 任取m（m≤n）个不 一定顺序排成一列，叫 同的元素并成一组， 做从n个不同元素中取出 叫做从n个不同的元素 m个不同元素的一个排列。 中取出m个不同的元 素的一个组合。 区别 与顺序有关 与顺序无关 判定 公式 看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
对涂色问题，有两种解法，法1是逐区图示法，注意不 相邻可同色.
法2根据用色多少分类法.
变式1 如下图，一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要 求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择， 则不同的着色方法共有________ 种．(以数字作答) 答案：72
题型2 可重复元素排列问题 【例2】若A＝{a1 ，a2，a3 ，a4}，B＝{b1，b2，b3}．试 问从A到B可建立多少种 不同的映射？ 解答：（住店法）完成建立一个从A到B的映射需要分成 四步，第一步：a1与B中唯一的元素对应有3种方法；第 二步：a2与B中唯一的元素对应有3种方法； 第三步：a3 与B中唯一的元素对应有3种方法； 第四步：a4与B中唯 一的元素对应有3种方法．由分步计数原理，可建立从A 到B的映射共有34＝81(个)． 方法小节： 解决“允许重复排列问题”常用“住店法”，要 注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不 能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的 元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。
变式2. 1.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报 名方法的种数为多 少？五名学生争夺四项比赛的冠军 (冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少种？ 解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)． 获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种). 2.将3种作物种植在如下图的5块试验田里，每块 种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物， 不同的种植方法共有______种．(以数字作答)
(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有 种排法；由 于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有 种排法；最 后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人 的空档中有 种排法．这样，总共有 ＝960种不 同排法． (5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有 种排 法．然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按 身体高矮排列，故仅有一种排法．这样总共有 ＝840 种不同排法.
变式4 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排 法？ (3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不 同的排法？ (4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不 同的排法？ (5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排 法？(3个女生身高互不相等)
计数原理与排列组合
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考纲解读 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．会 用两个原理分析和解决一些简单的实际问题． 2.理解排列、组合的概念． 3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 4.能解决简单的实际问题．
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命题探究
1.计数原理内容考查比较稳定，试题难度起伏不大； 排列组合题目一般为选择、填空题，考查排列组合的基 础知识、思维能力，多数试题与教材习题的难度相当， 但也有个别题难度较大。 2．考查热点为排列组合与两个计数原理结合命题。
解法三（分类法）：完成涂色的方法分为两类，第一类： 2011高考导航 四个区域涂四种不同的颜色共有 ＝120种涂法； 第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不 相邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区 域，共 ＝60种涂法． 由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)．
方法总结：
解析：3×2×2×2×2－ 答案：42
×2＝42.
题型3 在与不在的排序问题 常见的排列问题有三种：(1)排队；(2)排数；(3)排课程 表．对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要 是：(1)位置优先法；(2)元素优先法；(3)间接计算法． 【例3】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计 算满足下列条件的排法种数． (1)甲不在排头、乙不在排尾； (2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、 丁不在第四位； (3)甲一定在乙的右端(可以不邻)． 解答：(1)（①直接法）分为两类，第一类甲排在排尾共 有 ＝6种排法，第二类，若甲在排尾共有 ＝8种排法，由分类计数原理知共有： ＋ ＝ 14(种)． ②也可间接计算： ＝14(种)．
5。解排列组合问题的常见方法
二、题型与方法 基础知识梳理
题型1 涂色问题 【例1】如图，用5种不同的颜色给图中A、 B、C、D四个区域涂色，规定每个区 域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 求有多少种不同的涂色方法？ 解法一（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件 事需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4 种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还 可以使用涂A的颜色)，根据分步计数原理共有 5×4×3×3＝180种涂色方法． 解法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色 互不相同，共有 ＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D 有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法．
题型5 组合问题 【例5】7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试 问：(1)每个盒子都不空的放法共有多少种？ (2)某些盒子可空的放法共有多少种？ 解析（1）将7个相同小球，放入4个不同盒子，每个盒子 不空，即相当于把7个相同小球分成4组，每组都有小球， 一种分法对应一种放法，先将7个小球排成一排有1种排法， 在小球的中间的6个空挡中选3个放入隔板，有 放法， C3 6 3 C 故满足条件放法共有 种. 6 (2)将7个相同小球，放入4个不同盒子，某些盒子可空， 即相当于把7个相同小球分成4组，某些小组可以没小球， 需要3个隔板，一种分法对应一种放法，先将7个小球与3 个隔板所在位置排成一排有1种排法，再在这10个位置中 3 C10 选3个放入隔板其余放小球，有 放法，故满足条件放 3 法共有 种.C10
题型4 排列中的“相邻”、“不相邻问题” 【例4】 a1，a2，„，a8共八个元素，分别计算满足下列 条件的排列数． (1)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素排在一 起； (2)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻； (3)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻，并且a5，a6，a7，a8也互不相邻； (4)排成前后两排每排四个元素．
（1）特殊元素（位置）优先安排。 （2）多个限定条件或含“至多”、“至少”问题， 合理分类合理分步。 （3）排列组合混合问题一般要先组合后排列，先整体 后局部。 （4）正难则反，等价转化。 （5）相邻问题，捆绑法。 （6）不相邻问题，插空法。 （7）定序问题、平均分组问题用除法。 （8）相同物品分配问题、名额分配问题用隔板法。 （9）数的大小排列问题，查字典法。 （10）可重复元素排列问题，住店法.
变式3. (1)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科 四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览 一个城市，且这6个人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不 同的选择方案共有( ) A．300种 B．240种 C．144种 D．96种 (2)安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一 个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数 是________．(用数字作答) 解析：(1) ＝240. (2) 答案：(1)B (2)78