0-1背包问题的多种解法

一、 问题描述

0/1背包问题:

现有n 种物品，对1<=i<=n ，已知第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数W ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W 且总价值尽量大。（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分）

二、 算法分析

根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：

)

2(max )1()1}(1,0{11

∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤n

i i i i

n

i i i x v n i x W

x w 于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件（1），并使目标函数式（2）达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =。

首先说明一下0-1背包问题拥有最优解。

假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的

一个最优解：∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤n

i i i i

n

i i i x v n i x x w W x w 22

1

1max )

2}(1,0{。如果不是的话，设),......,,(32n y y y 是这个问题的一个最优解，则

∑∑==>n i n

i i

i i

i x

v y v 2

2

，且∑=≤+

n

i i

i

W y

w x w 2

11。因此，

∑∑∑====+>+n

i i i n i n i i i i i x v x v x v y v x v 1

2

2

1111，这说明),........,,,(321n y y y x 是所给的0-1背包问

题比),........,,,(321n x x x x 更优的解，从而与假设矛盾。

穷举法：

用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包重量的子集），计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。由于程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。下面给出了4个物品和一个容量为10的背包，下图就是用穷举法求解0-1背包问题的过程。

背包

物品1

物品2

物品3物品4

（a ） 四个物品和一个容量为10的背包

（b ）用回溯法求解0-1背包问题的过程

递归法：

在利用递归法解决0-1背包问题时，我们可以先从第n 个物品看起。每次的递归调用都会判断两种情况：

（1） 背包可以放下第n 个物品，则x[n]=1，并继续递归调用物品重量为W-w[n],

物品数目为n-1的递归函数，并返回此递归函数值与v[n]的和作为背包问题的最优解；

（2） 背包放不下第n 个物品，则x[n]=0，并继续递归调用背包容量为W ，物品数

目为n-1的递归函数，并返回此递归函数值最为背包问题的最优解。

递归调用的终结条件是背包的容量为0或物品的数量为0.此时就得到了0-1背包问题的最优解。

用递归法解0-1背包问题可以归结为下函数：

⎩

⎨

⎧+---=][])[,1()

,1(),(n v n w m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack n n 选择了物品没有选择物品

第一个式子表示选择物品n 后得到价值][])[,1(n v n w m n KnapSack +--比不选择物品n 情况下得到的价值),1(m n KnapSack -小，所以最终还是不选择物品n;第二个式子刚好相反，选择物品n 后的价值][])[,1(n v n w m n KnapSack +--不小于不选择物品n 情况下得到了价值),1(m n KnapSack -，所以最终选择物品n 。

在递归调用的过程中可以顺便求出所选择的物品。下面是标记物品被选情况的数组x[n]求解的具体函数表示：

⎩

⎨⎧=10

][n x

][])[,1(),(),1(),(n v n w m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack +--=-=

在函数中，递归调用的主体函数为KnapSack ，m 表示背包的容量，n 表示物品的数量，x[n]表示是否选择了第n 个物品（1—选，0—不选）。每个物品的重量和价值信息分别存放在数组w[n]和v[n]中。具体的代码见《递归法》文件夹。

贪心法：

0-1背包问题与背包问题类似，所不同的是在选择物品)1(n i i ≤≤装入背包时，可以选择一部分，而不一定要全部装入背包。这两类问题都具有最优子结构性质，相当相似。但是背包问题可以用贪心法求解，而0-1背包问题却不能用贪心法求解。贪心法之所以得不到最优解，是由于物品不允许分割，因此，无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包容量使背包单位重量的价值降低了。事实上，在考虑0-1背包问题时，应比较选择物品和不选择物品所导致的方案，然后做出最优解。由此导出了许多相互重叠的子问题，所以，0-1背包问题可以用动态规划法得到最优解。在这里就不再用贪心法解0-1背包问题了。

动态规划法分析：

0-1背包问题可以看作是寻找一个序列),........,,,(321n x x x x ，对任一个变量i x 的判断是决定i x =1还是i x =0.在判断完1-i x 之后，已经确定了),........,,,(1321-i x x x x ，在判断i x 时，会有两种情况：

（1） 背包容量不足以装入物品i ，则i x =0，背包的价值不增加； （2） 背包的容量可以装下物品i ，则i x =1，背包的价值增加i v 。

这两种情况下背包的总价值的最大者应该是对i x 判断后的价值。令),(j i C 表示在前i )1(n i ≤≤个物品中能够装入容量为j )1(W j ≤≤的背包的物品的总价值，则可以得到如

下的动态规划函数：

)

2(}),1(),,1(max{),1(),()

1(0),0()0,(⎩⎨⎧>+---<-===i

i i i

w j v w j i C j i C w j j i C j i C j C i C 式（1）说明：把前面i 个物品装入容量为0的背包和把0个物品装入容量为j 的背包，