难点9 指数函数、对数函数问题
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难点9 指数函数、对数函数问题
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要协助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
●难点磁场
(★★★★★)设f (x )=log 2
x
x -+11,F (x )=x -21+f (x ). (1)试判断函数f (x )的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； (2)若f (x )的反函数为f －1(x ),证明：对任意的自然数n (n ≥3),都有f －1(n )>
1+n n ; (3)若F (x )的反函数F －1(x ),证明：方程F －1(x )=0有惟一解.
●案例探究
［例1］已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.
(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一条直线上；
(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.
命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析水平和运算水平.属★★★★级题目.
知识依托：(1)证明三点共线的方法：k OC =k OD .
(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标. 错解分析：不易考虑使用方程思想去解决实际问题.
技巧与方法：本题第一问使用斜率相等去证明三点共线；第二问使用方程思想去求得点A 的坐标.
(1)证明：设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知：x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以2
28118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),因为log 2x 1=2log log 818x ===2
log log log ,log 38282218x x x 3log 8x 2,所以OC 的斜率：k 1=1
18212log 3log x x x x =, OD 的斜率：k 2=
228222log 3log x x x x =，由此可知：k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上. (2)解：由BC 平行于x 轴知：log 2x 1=log 8x 2 即：log 2x 1=3
1log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得：x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,因为x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1.又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3，log 83).
［例2］在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n
位于函数y =2000(10
a )x (0 (1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式； (2)若对于每个自然数n ,以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围； (3)设C n =lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n }前多少项的和最大？试说明理由. 命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和使用的水平.属★★★★★级 题目. 知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识. 错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口. 技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与理解，并会使用相关的知识点去解决问题. 解：(1)由题意知：a n =n +21,∴b n =2000(10 a )21 +n . (2)∵函数y =2000( 10 a )x (0 b n >b n +1>b n +2.则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ,即(10a )2+(10a )－1>0,解得a <－5(1+2)或a >5(5－1).∴5(5－1)