高中数学典型例题解析第四章_数列--学案

第四章 数列
§4.1 等差数列的通项与求和 一、知识导学
1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这 个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示， 则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出 a1,a2,然后用递推关系 逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．
ab
ab
8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝
．我们把Ａ＝
叫做ａ和ｂ的等差中项．
2
2
二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是
不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2， 3，…，n｝)的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
3.数列｛an｝的前 n 项的和 Sn 与 an 之间的关系：an SS1n Sn1
(n 1), (n 2). 若 a1 适合 an(n>2),则 an 不用分段形式
表示，切不可不求 a1 而直接求 an. 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于 n 的一次式；从图像上看，表示
等差数列的各点（n, an ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差
数列.
5、对等差数列的前 n
项之和公式的理解：等差数列的前
n 项之和公式可变形为 Sn
d 2
n2
(a1
d )n ，若令 2
A
＝
d 2
，B＝a1－
d 2
，则
Sn
＝An2+Bn.
6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d， S n ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲 [例 1]已知数列 1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大 3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出 1+4+… +（3n－5）是该数列的前几项之和.
[例 2] 已知数列 an的前 n 项之和为① Sn 2n2 n ② Sn n 2 n 1 求数列 an的通项公式。

[例 3] 已知等差数列 an 的前 n 项之和记为 Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40 等于
。
[例
4]等差数列
an
、
bn
的前
n
项和为
Sn、Tn.若
Sn Tn
7n 1 4n 27
(n
N
),
求
a7 b7
；
[例 5]已知一个等差数列 an的通项公式 an=25－5n，求数列| an |的前 n 项和；
[例 6]已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，由此可以确定求其前 n 项和的公式吗？
[例 7]已知： an 1024 lg 21n （ lg 2 0.3010 ） n N （1） 问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的
绝对值最小？
[例 8]项数是 2n 的等差数列，中间两项为 an和an1 是方程 x 2 px q 0 的两根，求证此数列的和 S2n 是方程 lg 2 x (lg n2 lg p 2 ) lg x (lg n lg p)2 0 的根。 （ S2n 0 ）

四、典型习题导练
1．已知 a1 3且an Sn1 2n ，求 an 及 S n 。
2．设 an
1 2
23
34
n(n 1)
，求证：
n(n 1) 2
an
(n
1)2 2
。
3.求和:
1
1 1
2
1
1 2
3
1
2
1 3
n
4.求和： (100 2 99 2 ) (98 2 97 2 ) (42 32 ) (22 12 )
5.已知 a, b, c 依次成等差数列，求证： a 2 bc,b2 ac, c2 ab 依次成等差数列.
6.在等差数列 an 中， a5 a13 40 ，则 a8 a9 a10 （
）。
A．72 B．60 C．48 D．36
7. 已知 an 是等差数列，且满足 am n, an m(m n) ，则 amn 等于________。
8.已知数列

a
n
1
2

成等差数列，且
a3
11 6
,
a5
13 7
，求
a
8
的值。
§4.2 等比数列的通项与求和 一、知识导学
1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．
2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．
3.等比数列的前 n
项和公式： Sn
n a1
a1 (1
q
n
)

1 q
a1an q 1 q
(q 1) (q 1)
二、疑难知识导析 1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为 0，因此 q 也不为 0.
2.对于公比 q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 4
项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第 2 项或第 3 项起是一个 等比数列.
4.在已知等比数列的 a1 和 q 的前提下，利用通项公式 an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项. 5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用 an=amqn-m 可求等比数列中任意一项.
6.等比数列｛an｝的通项公式 an=a1qn-1 可改写为 an
a1 q
q n .当 q>0，且 q
1 时，y=qx 是一个指数函数，而 y
a1 q
qx
是一个不为 0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝的图象是函数 y a1 q x 的图象上的一群孤立的点. q
7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d， S n ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲