空间射影几何

2.1三维射影空间
2.1.2空间平面 空间平面 在三维射影空间里，平面方程可写为： 在三维射影空间里，平面方程可写为：
π1x + π 2 y + π 3 z + π 4w = 0
X = ( x, y, z, w) 表示空间点的齐次坐标。 表示空间点的齐次坐标。 其中 T 为该平面的齐次坐标。 称四维向量 π = (π1, π 2 , π 3 , π 4 ) 为该平面的齐次坐标。 平面的齐次坐标可相差常数因子， 平面的齐次坐标可相差常数因子，所以有三个自由度 平面的齐次坐标仅依赖三个比值 ：π1 : π 2 : π 3 : π 4 写成更简洁的形式 π T X = 0
T
称平面
为无穷远平面， π = ( 0 , 0 , 0 ,1) T为无穷远平面，记作 π ∞
2.1三维射影空间
~ T 如果 π ≠ π ∞ , 则该平面上的有限点 X = ( X ,1) 满足方程 ~ n T X + d = 0, 其中 n = (π 1 , π 2 , π 3 )T d = π4 | d | / n 是坐标原点到该平面的 距离。 该平面的无穷远直线由 下面方程给出： ~ X T ~ n X =πT = 0 0 ax + by + cz = 0( a = π 1 , b = π 2 , c = π 3 ) 因此平面方向量 n是平面的无穷远直线表 示， 所以平面上的无穷远直 线代表了该平面的法向 。
如果三面不共线 ,则系数矩阵的秩为 3
2.1三维射影空间
3空间平面点的参数化 空间平面点的参数化
空间平面上的点只有两个自由度，如果将空间平面上的点 作 空间平面上的点只有两个自由度，如果将空间平面上的点X作 为射影平面上的点， 可以用三维向量来表示， 为射影平面上的点，则X可以用三维向量来表示，三维向量称为 可以用三维向量来表示 平面上X点的参数化表示 点的参数化表示。 平面上 点的参数化表示。
即将直线定义为两个平面的交。 即将直线定义为两个平面的交。
假设π 1 , π 2是空间中不重合的平面 ，定义 2 × 4矩阵 π 1T W* = T π 2 于是有以下结论： α απ 1 + βπ 2 = W * , α , β ∈ R 2 , 是以一条直线L为轴的平面束。 β
给定平面π上不共线三个点的齐次 坐标X 1 , X 2 , X 3 , 则平面π上 任一点可表示为 : α X = αX 1 + β X 2 + γX 3 = ( X 1 , X 2 , X 3 ) β γ x = (α , β , γ )为点X的参数化表示，也成为 平面点的齐次坐标。 (不唯一)
2.3变换群
2等距变换群 等距变换群
U t X' = T 0 1 X , U是三阶正交矩阵, s比例因子. 是三维相似变换群的子群.如果限制U为旋转矩阵，则 为欧式变换。欧氏变换的全体构成等距变换的子群。 不变量 : 除了相似不变群的不变量之外，还能 保持物体的形状和体积不变。
空间射影几何
数学基础知识
2.1三维射影空间
2.1.1空间点 空间点 假定在空间建立了欧式坐标系， 假定在空间建立了欧式坐标系，空间点的欧式坐标为
~ X = ( x, y, z)T
x3 x1 x2 = x, = y, = z, x4 ≠ 0 x4 x4 x4 T 定义空间点的齐次坐标为 X = ( x1, x2 , x3 , x4 ) 表示空间同一点的齐次坐标。 当 s ≠ 0 时，sX与X表示空间同一点的齐次坐标。 与 表示空间同一点的齐次坐标
T
2.2三维射影变换
三维射影变换是三维空间中可逆的齐次线性变换， 三维射影变换是三维空间中可逆的齐次线性变换，用4 *4的矩阵 来描述 的矩阵H来描述 的矩阵 F
X' = HX
H为射影变换，或单应矩阵。 为射影变换，或单应矩阵。 为射影变换 H G 个自由度。 个参数确定。 有15个自由度。可由 个参数确定。 个自由度 可由15个参数确定 三维射影变换将空间上的点(线 变换到点(线 三维射影变换将空间上的点 线、面)变换到点 线、 变换到点 面)，并保持点的共线共面性，线的共面性。 ，并保持点的共线共面性，线的共面性。 任何三维射影变换的逆变换也是三维射影变换。 任何三维射影变换的逆变换也是三维射影变换。 任意三维射影变换的合成也是三维射影变换。 任意三维射影变换的合成也是三维射影变换。 三维射影变换的全体构成三维射影空间上的变换群， 三维射影变换的全体构成三维射影空间上的变换群， 称为三维射影变换群。 称为三维射影变换群。
2.1三维射影空间
2.1.3空间直线 空间直线
三维空间中的直线不像点或平面那样可以用非常简单的四维向 a 齐次坐标来表示) 量(齐次坐标来表示 。 齐次坐标来表示 1.点表示 点表示 即将直线作为两个点的连线。 即将直线作为两个点的连线。
假设X 1 , X 2是空间中不重合的点， 令W是这两个点的齐次坐标 作为 X 1T x1 行所形成的2 × 4矩阵W = T = X x 2 2
T
y1 y2
z1 1 , 于是有以下结论： z 2 1
α 点束L = {X = W } | (α , β ) ∈ R 2 }是连接两个空间点 X 1 , X 2的直线。 β 因此空间直线可以由它 上面的两个点所构成的 矩阵W来表示。
2.1三维射影空间
2.面表示 面表示
T
这三个点确定的平面上任意一点，则X是X1 , X 2 , X 3的 线形组合，即det ( X , X1 , X 2 , X 3 ) = 0, 而det ( X , X1 , X 2 , X 3 ) = xd 234 − yd134 + zd124 − wd123 d i jk 是矩阵(X1 , X 2 , X 3 )的第i, j , k行构成的行列式。 所以三点确定的平面坐标为：
2.1三维射影空间
结论： 结论： （1）两平面平行的充要条件是，他们的交线为无穷远直线，或 ）两平面平行的充要条件是，他们的交线为无穷远直线， 他们有相同的方向。 他们有相同的方向。 平面)平行的充要条件是他们相交于无穷远点 （2）直线与直线 平面 平行的充要条件是他们相交于无穷远点。 ）直线与直线(平面 平行的充要条件是他们相交于无穷远点。
设 X j , j = 1,2,3是平面上的三个点 X 1T T 则必有 : X 2 π = 0 XT 3 如果三点不共线 , 则系数矩阵的秩为 3,
2.1三维射影空间
三点确定平面计算： 三点ห้องสมุดไป่ตู้定平面计算：
假设三点X1 , X 2 , X 3处于一般位置，X = ( x, y, z , w) 是
2.2三维射影变换
5对点对应确定一个三维射影变换。 对点对应确定一个三维射影变换。 对点对应确定一个三维射影变换
h11 h12 h13 h14 h21 h22 h23 h24 H = h31 h32 h33 h34 h h42 h43 h44 41 ( x' , y ' , z ' ,1) ↔ ( x, y, z ,1)
一个点对应确定三个方程， 对 则有15个方程 个方程， 一个点对应确定三个方程，5对，则有 个方程，解15个未 个未 知数。 知数。
2.3变换群
1仿射变换群 仿射变换群
A t X' = H a X = T 0 1 X , A是三阶可逆矩阵,12个自由度. 仿射不变量 : (1)保持无穷远平面不变，即无穷远点变换为无穷 远点。 (2)保持直线与直线，直线与平面以及平面与平面 之间的平行性。 (3)保持物体的体积比， (同一平面)平行图形的面积 比，平行线段的长度比不变。
π = (d 234 ,−d134 , d124 ,−d123 )T
2.1三维射影空间
2.三平面确定一点 三平面确定一点 空间中的点和平面式对偶的，直线是自对偶的。 空间中的点和平面式对偶的，直线是自对偶的。
X X X
T 1 T 2 T 3
π = 0
π 1T T π 2 X = 0 π T 3
定义齐次坐标第四个分量
的点为无穷远点。 x4 = 0 的点为无穷远点。
X = ( x1, x2 , x3 ,0)T
这样有穷远点和无穷远点组成的空间为三维射影空间。 这样有穷远点和无穷远点组成的空间为三维射影空间。 x1 , x 2 , x 3 , x 4 不能同时为零。 不能同时为零。 点在三维射影空间没有定义， (0,0,0,0)T 点在三维射影空间没有定义，不能作为三维射影空间中任何 点的齐次坐标。 点的齐次坐标。