2017届浙江省绍兴一中高三上学期期中考试理科数学试题及答案

绍兴一中高三期中考试数学试卷(理)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集U=R ，A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=x x y x 212，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=112x y y ， 则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤2．a+b=0是a b=1-成立的 条件( )A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ． 既不充分也不必要3．已知函数()210,1lg ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，记()()x f x f =1，()()()x f f x f 12=，()()()x f f x f 23=， ，则()=102014f( )A ．10B ．lg110C ．0D ．14．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10:S 5＝1:2，则=-++51015105S S S S S ( )A. 27B. 27-C. 29D. 29-5．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则46--+x y x 的取值范围是( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡720,2 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡73,0D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡76,06．已知双曲线]2,2[)0,0(12222∈>>=-e b a by a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππB ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππD ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 7．下列命题中，真命题为（ ）A ．终边在y 轴上的角的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k a a ,2|π； B ．在同一直角坐标系中，函数x y sin =的图象和函数x y =的图象有三个公共点；C ．把函数)32sin(π+=x y 的图象向右平移6π个单位得到x y 2sin =的图象D ．函数)2sin(π-=x y 在],0[π上是减函数。

8.如图，PA 垂直于正方形ABCD 所在平面,则以下关系错误．．的是（ ） A ．平面PCD ⊥平面PAD B ．平面PCD ⊥平面PBCC ．平面PAB ⊥平面PBCD ．平面PAB ⊥平面PAD9.若方程3936x x +=，3log 2x x +=的根分别为1x ，2x ，则12x x += （ ） A.2 B.4 C.6 D.810．已知()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+βαα2sin sin ,1A ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,22sin sin βααB ， 且=⋅，sin ≠β,cos sin =-βαk ，则k=1411,24333,,4816( ).A ． 2B ．2-C ．2或2-D ．以上都不对二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．某几何体的三视图如下图所示，它的体积为12．若直线b x y +=被圆122=+y x 所截得的弦长不小于1，则b 的取值范围是13．已知x >0，y >0，且02=-+xy x y ，若x ＋2y m ->0恒成立，则实数m 的取值范围是14.若函数e x y =可表示成一个偶函数()f x 和一个奇函数()g x 之和，则()1ln 2ln 2f g⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ．15．右图给出了一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为()*,,ij a i j i j N ≥∈，则88a = .16．如图，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM ⊥MN ，若侧棱长SA=，则正三棱锥S —ABC 的外接球的体积为 .17.已知ABC ∆中，|AC |=|BC |=2，∠ACB =90°，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点，E 为直径AC 上的动点，则AM AE AM DE ⋅-⋅的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，共42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分8分）已知等差数列{n a }中，82=a ，18510=S .（1）求数列{n a }的通项公式a n ；（2）若从数列{n a }中依次取出第2，4，8，┄，2n，┄项，按原来的顺序排成一个新数列{t n }，试求{t n }的前n 项和A n ； 19．（本小题满分8分）在非等腰ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足 CBcb bc cos cos 22=--．（1）求角A 的大小；（2）若4,a ABC =∆求的面积的取值范围． 20．（本小题满分8分）已知四棱锥P —GBCD 中(如图)，PG⊥平面GBCD ，GD∥BC，GD=43BC ，且BG⊥GC，GB=GC=2，E 是BC 的中点，PG=4 （Ⅰ）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅱ）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥， :PF FC k =，求k 的值.21. （本小题满分8分）设二次函数2()f x ax bx c =++（a ，b ，c ∈R，0a ≠）满足：R x ∈时，(2)()f x f x -=-，且225()259x x f x x x ++≤≤++恒成立. （1）求函数()f x 的解析式；（2）已知函数()f x kx -的图像与x 轴交于A ，B 两点，O 为坐标原点，问是否存在实数k 满足2=?如果存在,求出k 的值，如果不存在，请说明理由.22．（本小题满分10分）已知椭圆C 的离心率为22，椭圆C 的右焦点2F 和抛物线x y 242=的焦点重合，椭圆C 与y 轴的一个交点为N ，且M 是椭圆C 的右顶点.（1）求M NF 2tan ∠的值；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足1122-+-=⋅-t t （R t ∈），求点Q 的轨迹方程.绍兴一中2017上学期高三期中考试数学试卷(理)18. 解析：(Ⅰ)设{a n }首项为a 1,公差为d , 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1852)92(10811d a d a ,解得⎩⎨⎧==351d a ∴a n =5+3(n -1),即a n =3n +2 ---------3分（Ⅱ）设t 1=a 2,t 2=a 4,t 3=a 8, 则2232+⨯==nn na t---------5分∴A n =(3×2+2)+(3×22+2)+…+(3×2n+2)=3×(2+22+ (2))+2n=3×12)12(2--n +2n=6×2n -6+2n---------8分19．（1）解法一：由余弦定理可知：2222222222a c b c b aca b c b c ab+--=+--，去分母可得：222222(2)[()](2)[()]c c b a b c b b c a b c -+-=---即：22222222()]()(222)a b c c b bc b c -=---因为三角形为非等腰三角形，故22()0b c -≠， 故222a b c bc =+-，即1cos 2A =，60A = 解法二：因为(2)cos (2)cos c b C b cB -=-， 所以(2sin sin )cos (2sin sin )cosC B C B C B -=-， 则sin 2sin 2sin()C B B C -=-，………………（2分） 所以sin[()()]sin[()()]sin()B C B C B C B C B C +---++-=-2cos()sin()sin()C B C B B C +-=-.因为ABC ∆不是等腰三角形，所以sin()0B C -≠， 则1cos()2C B +=-，所以120C B += ，因此60A = .………………（4分）（2）根据余弦定理2222cos a b c bc A=+-，有2216b c bc =+-………………（5分）因为222b c bc +≥（当且仅当2b c ==时不等式取等号） 所以22162,b c bc bc bc bc =+-≥-=即16bc ≤，………………（6分）所以ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==≤ 且当4a b c ===时等号取到，又因为ABC ∆不是等腰三角形，所以S < 又显然S >，所以ABC∆的面积的取值范围是.………………（8分）20．[解析] 解法一：（I ）如图所示，以G 点为原点建立空间直角坐标系o —x yz ，则B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，4）故E （1，1，0）10102022,cos )4,2,0(),0,1,1(=⋅=>=<-==PC GE 故异面直线GE 与PC 所成角的余弦值为1010.………（4分）（Ⅱ）设F （0，y , z ）23)23(2)0,2,0()0,23,23(0)0,2,0(,),23,23()0,23,23(),,0(=∴=-=⋅-∴=⋅=-=--=-=y y y z y z y 则在平面PGC 内过F 点作FM ⊥GC ，M 为垂足，则21,23==MC GM3==∴MCGMFC PF ，∴3K =………………（8分）解法二：（Ⅰ）在平面ABCD 内，过C 点作CH//EG 交AD 于H ，连结PH ，则∠PCH （或其补角）就是异面直线GE 与PC 所成的角. 在△PCH 中，18,20,2===PH PC CH由余弦定理得，cos ∠PCH=1010∴异面直线GE 与PC 所成角的余弦值为1010.………………（4分）（Ⅱ）在平面GBCD 内，过D 作DM ⊥GC ，M 为垂足，连结MF ，又因为DF ⊥GC∴GC ⊥平面MFD ， ∴GC ⊥FM由平面PGC ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥平面ABCD ∴FM//PG由0=⋅得GM ⊥MD ，∴GM=GD ·cos45°=2332123===MC GM FC PF ，∴3k =………………（8分）21解：（1）令x =-2,则7(2)7f ≤-≤，所以(2)7f -=（2分）又R x ∈时，(2)()f x f x -=-，从而(0)(2)7f f =-= 故可设二次函数()(2)7f x ax x =++（3分）对于R x ∈，22527x x ax ax ++≤++，即2(1)(21)20a x a x -+-+≥ 则2(21)8(1)0a a ---≤且1a >，化简得3(23)0a -≤，解得32a =所以函数()f x 的解析式为23()372f x x x =++；（4分）（2）设()()g x f x kx =-，23()(3)72g x x k x =+-+因为(0)70g =>，所以A ，B 一定在y 轴的同侧，设A (α,0)，B (β,0) （5分）由2=有3βα=，（6分）又可知,αβ是方程23(3)702x k x +-+=的两实数根，由韦达定理可得，263k βα-+=，143αβ=（7分） 解得，3k =±，经检验，符合∆>.（8分）22.解析：（Ⅰ）由题意解得224,2a b ==，所求椭圆方程为22142x y +=．()0,2,(),22F ，MNF 2tan ∠=1------2分（Ⅱ）由1122-+-=-⋅t t （R t ∈）可得=⋅------3分 方法一设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y ．由题可设AP AQPB QBλ==,则0λ>且1λ≠．又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-= ．于是 1241x x λλ-=-， 1211y y λλ-=- 121x x x λλ+=+， 121y y y λλ+=+-----5分从而 22212241x x x λλ-=-， （1） 2221221y y y λλ-=-， （2） 又点A 、B 在椭圆C 上，即221124,(3)x y += 222224,(4)x y +=（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424=+y x ， 即点Q 的轨迹是直线在椭圆内的部分，方程为220x y +-=． -----10分方法二 设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设 PA PB AQ QB= =λ． 又 ,,,P A Q B 四点共线，可得,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠± ,于是 1141,11x y x y λλλλ--==-- （1） 2241,11x y x y λλλλ++==++ （2） -----5分由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y +=整理得222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-=， 0,220x y λ≠+-=∵∴，即点Q 的轨迹是直线在椭圆内的部分，方程为220x y +-=． -----10分。