微分方程的积分因子求解法

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全微分方程与积分因子法

已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分．但这种方法
要求熟记一些简单二元函数的全微分，如
ydx＋xdy＝d（x，y）
ydx－xdy y2
＝d（
x y
）
－ydx＋xdy x2
＝d（
x y
）
ydx－xdy ＝d（ιn｜ x ｜）
xy
y
ydx－xdy x2＋y2
＝d（arctg
x y
）
｜｜ ydx－xdy x2－y2
的通解为
μ（x，y）＝∫x0xP（x，y）dx＋∫y0xQ（x，y）dy＝C
（7）
其中点（x0，y0）可在与路径无关的单连通区域 G 内任意取
得．很多情况下都选（0，0）为（x0，y0），只有当点（0，0）不在上述
单连通区域 G 内，才考虑其他点作为曲线积分的始点．
坠p －坠Q 坠y 坠x
－P
这里 φ 仅为 y 的函数．从而求得方程（1）的一个积分因子 μ＝
e 。 ∫φ（y）dy
例 4 试用公式法解线性微分方程（8）
解：将（8）式改写成［Q（x）－P（X）Y］DX－DY＝0
（10）
这时由公式，μ（x）＝e∫p（x）dx．以 μ（x）＝e∫p（x）dx 乘上（10）式得到
或 y＝e－∫p（x）dx［∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C］
2．公式法
由同一个方程
ydx－xdy＝0
可以有不同的积分因子 1 y2
，
1 x2
，
1和 1 xy x2±y2
．可以证明，只要方程有解，则必有积分因子存在，
并且不是唯一的．因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因

一阶线性微分方程的积分因子解法

一阶线性微分方程的积分因子解法刘海浪;赵临龙【摘要】对于一阶线性常微分方程P(x+y)dx+Q(x,y)dy=0,给出2种只依赖和xayb和(xa+yb)形式的积分因子存在的充分必要条件,有助于积分因子的求解.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2010(030)002【总页数】3页(P53-54,65)【关键词】常微分方程;积分因子;通解【作者】刘海浪;赵临龙【作者单位】安康学院,数学系,陕西,安康725000;安康学院,数学系,陕西,安康725000【正文语种】中文【中图分类】教科文艺第30 卷2010 年第 2 期3 月高师理科学刊JournalofScienceof TeachersrCollegeandUniversity Vol.30No.2Mar.2010文章编号： 1007-9831(2010)02-0053-03一阶线性微分方程的积分因子解法刘海浪，赵临龙（安康学院数学系，陕西安康 725000 ）摘要：对于一阶线性常微分方程 P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 ，给出 2 种只依赖 Xayb 和（工o+ ），6 ，）形式的积分因子存在的充分必要条件，有助于积分因子的求解．关键词：常微分方程；积分因子；通解中图分类号： 0175.1文献标识码： A doi:10.3969/j.issn.1007-9831.2010.02.015 1引言及预备知识对于一阶微分方程P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 若存在连续可微的函数u(x,y) ≠ 0 ，使得 u(x，y)P(x, y)dx+u(x ， y)Q(x ， y)dy=0 ，恰当微分方程，即存在函数 v(x， y) ，使 u(x,y)P(x,y)dx+u(x,y)Q(x,y)dy=dv(x,y)且称不取零值 u(x， )， ) 为方程 (1) 的积分因子． (1)则称方程 (1) 为一阶 (2)一旦找到方程 (1) 的积分因子，就很容易求得式 (2) 的原函数 v （五） ' ），从而 v （工，），） =c 是方程 (1)的通解，引理‘ 11 设 P(x ，珐 Q( 工， y)， u(x， y) 在单连通区域 G 内连续且有连续一阶偏导数，且 u(x，y) ≠ 0 ，则函数 u(x， y) 为 (1) 的积分因子的充分必要条件是a “c3PaQ “ (3) Q尝一 P 考匆舐式(3)是一个以 u(x， )，）为未知数函数的一阶线性偏微分函数，通常情况下，要想通过具体求解方程 (3)而求得积分因子 u(x， y) 是比较困难的，但某些特殊情况下，不难求得 (3) 的一个特解 u(x， )， ) ，而作为积分因子，文献[1] 给出了结论：方程 (1) 有只与工有关的积分因子“（工）： e 』妒(J)出的充分必要条件是（茜一号） Q-1=cp(x) ，这里 cp(x) 仅为 x 的函数．方程 c ．，有只与 y 有关的积分因子u(y)=ei(p(y)dy 的充分必要条件是号一罢 ] （一P ）一 = 妒(y) ，这里 cp(y)仅为 y 的函数，当微分方程不存在只与工或 y 有关的积分因子，用此方法无法求解．本文给出 2 种只依赖 xoy6 和 xa+y6形式的积分因子存在的充分必要条件，这有助于积分因子的求解．收稿日期： 2009-10-11基金项目：安康学院大学生科技创新项 H(2008akxycLxs03; 2009AKXYDXS06)；安康学院重点扶持学科《基础数学》建设项目（ AZX20107 ）；安康学院重点项目( 2(X)8akxy029)作者简介：刘海浪（ 1989- ），男，陕西榆林人，安康学院数学系 2(X)7 级本科学生． E-rrlail: 通讯作者：赵临龙（ 1960- ），男，陕西西安人，教授，从事微分方程研究． F-mail:aktczU@第30卷 2010年第2期 3月高师理科学刊JournalofScienceof TeachersrCollegeandUniversity Vol.30 No.2 Mar.文章编号： 1007-9831(2010)02-0053-03摘要：对于一阶线性常微分方程 P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 ，给出 2 种只依赖 Xayb 和（工o+ ），6，）形式的积分因子存在的充分必要条件，有助于积分因子的求解．引言及预备知识对于一阶微分方程 P(x ，y)dx+ Q(x ，y)dy=0若存在连续可微的函数u(x,y) ≠ 0 ，使得 u(x， y)P(x, y)dx+u(x ， y)Q(x ， y)dy=0 ， u(x, y)P(x, y)dx+u(x,y)Q(x,y)dy=dv(x,y)的通解，引理‘11设P(x ，珐Q( 工，y)，u(x，y)在单连通区域 G 内连续且有连续一阶偏导数，且 u(x，y) ≠ 0 ，a“ c3PaQ Q尝一P考匆舐式茜号Q-1= cp(x) ，这里 cp(x) 仅为 x 的函数．方程 c ．，有只与 y 有关的积分因子 u(y)=ei(p(y)dy 的充分罢]一P=妒(y) ，这里 cp(y)仅为 y 的函数，基金项目：安康学院大学生科技创新项 H(2008akxycLxs03;作者简介：刘海浪（ 1989- ），男，陕西榆林人，安康学院数学系 2(X)7 级本科学生． E-rrlail:通讯作者：赵临龙（ 1960- ），男，陕西西安人，教授，从事微分方程研究． F-mail:aktczU@高师理科学刊第30 卷2主要结果及证明定理 1方程 (1) 有一个只依赖 xoy6 形式的积分因子的充分必要条件是若 _ （茜一 oaQ]（等一等 ] 。

微分方程的积分因子

在求解某些类型的微分方程时，可以使用积分因子（integrating factor）来简化方程的求解过程。

积分因子是一个乘法因子，可以乘以微分方程的两边，使其变为可积分的形式。

对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶线性常微分方程，其中P(x) 和Q(x) 是已知函数，可以使用积分因子来求解。

积分因子的计算步骤如下：
1.将方程写成标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)。

2.计算积分因子μ(x) = exp(∫P(x)dx)。

3.将积分因子乘以原方程的两边，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。

4.左侧的第一项可以通过链式法则化简为d(μ(x)y)/dx。

5.整理得到d(μ(x)y)/dx = μ(x)Q(x)。

6.对上述等式两边同时积分，得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx。

7.最后，解出y = (1/μ(x)) ∫μ(x)Q(x)dx。

通过引入积分因子，原本的一阶线性常微分方程可以转化为可积分的形式。

积分因子的选择依赖于方程中的函数P(x) 和Q(x)，使得乘以积分因子后，方程的左侧可以写成导数的形式，从而方便求解。

需要注意的是，不是所有的一阶线性常微分方程都可以使用积分因子法求解，这种方法适用于特定类型的方程。

在具体求解时，还需要根据具体方程形式和条件进行判断和处理。

2.2-线性微分方程(积分因子法)

s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)
二伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)

1.5全微分方程及积分因子 .

2 y
(x,y)
(0,0)
u( x, y )

x 0 x

( x, y)
( 0, 0 )
M ( x, y )dx N ( x, y )dy
y 0
M ( x,0)dx N ( x, y)dy 2 xdx (sin x x e 2)dy
y 2 y
0
0
x y sin x x (e 1) 2 y y sin x x 2e y 2 y.
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0, (1)
(2).
4
为恰当方程的充要条件是
M ( x, y ) N ( x, y ) , y x
常微分方程
绵阳师范学院
u 证明 “必要性” 设(1)是恰当方程, 则有函数 ( x, y ), 使得
u u du( x, y ) dx dy M ( x , y )dx N ( x , y )dy x y
故有
u M ( x , y ), x
2 u M , yx y
u N ( x, y ) y
从而
2 u N . xy x
2u 2u , y x x y
2u 2u 由于和都是连续的从而有 , yx xy
12
常微分方程
绵阳师范学院
(3 x 2 6 xy2 )dx (6 x 2 y 4 y 3 )dy 0 的通解. 例2 求方程
解:
由于M ( x, y) 3 x 2 6 xy2 , N ( x, y) 6 x 2 y 4 y 3 ,
N ( x , y ) M ( x, y) , 12xy x y

求解积分因子的方法整理

求解积分因子的方法整理积分因子是用于求解微分方程中的一种工具。

它是通过对微分方程进行一定的变换，使得变换后的微分方程可以方便地进行求解。

本文将介绍一些常用的求解积分因子的方法。

1. 修补法修补法是一种常用的求解一阶非线性微分方程积分因子的方法。

例如，考虑形如 y' + P(x)y = Q(x) 的微分方程。

我们可以将其变形成：y' + P(x)y - Q(x) = 0然后，我们找一个函数 f(x) 使得 f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] 是一个完全微分方程，即：f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)y]然后，我们令其等于 0，即可得到：这个方程的通解为：f(x)y = C，其中 C 为常数。

因此，我们可以将积分因子 f(x) 确定为：f(x) = e^{\int P(x)dx}2. 常数变易法然后，我们令其积分因子为 f(x)，即：考虑求出 f(x) 应满足的条件。

由于积分因子 f(x) 是一个乘积，因此其导数应该可以表示成一个和式，即：其中 A 和 B 是常数。

解这个常微分方程可以得到：其中 C 是常数。

因此，我们就得到了积分因子 f(x)。

3. 两类微分方程的积分因子对于形如 y' + P(x)y = Q(x) 和 y' - P(x)y = Q(x) 的微分方程，它们的积分因子分别为：其中，P(x) 和 Q(x) 是已知的函数。

对于形如 y'''+P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=S(x) 的三阶及以上的线性微分方程，我们可以通过求其特征方程来确定其积分因子。

特别地，当其特征根为实根时，其积分因子可以表示为：当其特征根为复根时，其积分因子可以表示为：f(x) = e^{\alpha x}[\cos(\beta x) + \alpha^{-1} \sin(\beta x)]其中，\alpha 和 \beta 是特征根的实部和虚部。

微分方程的积分因子求解法

微分方程的积分因子求解法常微分方程的积分因子求解法内容摘要:本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。

关键词：全微分方程，积分因子。

—、基本知识定义1、1对于形如M(x. y)dx + N(x. y)dy = 0 (l x 1)的微分方程，如果方程的左端恰就是X , y的一个可微函数(7(x,y)的全微分，即d U(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy 1 s 1)为全微分方程、易知上述全微分方程的通解为U^y) = C, (C为任意常数).定理k 1 (全微分方程的判别法)设M(x,y),N(x,y)在x*平面上的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数，则(1、1)就是全微分方程的充要条件为OM (x, y) = 6N(x, y) (1 2) dy dx证明见参考文献［1］、定义1、2对于微分方程(1、1),如果存在可微函数“(a),使得方程“(x, y) M (x, y)clx + “(x, y)N(x, y)dy = 0 (1、3)就是全微分方翟则称“(x, y)为微分方程(1、1)的积分因子、定理1、2 可微函数“(x,y)为微分方程(1.1)的积分因子的充要条件为Ng y ）別】"（"）_ M （X y ） 6 In “g ）二 6M （x, y ） _ 4V （x,y ）dx ， dy dy dx证明:由定理1.1得/心y ）为微分方程（1、1）的积分因子的充要条件为0（“ （俎刃N （x 』））ax展开即得:上证毕Ng 严小-M （3）沁也」竺』一空y （料）.dxdy I dy dx 丿式整理即得（1.4）注1、1 若“（3）工0,则（1、3）与（1、1）同解。

所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1. 3 ）的通解即可，而（1、3 ）就是全微分方程，故关键在于求积分因子“（X, y ）。

为了求解积分因子A （x,y ）z 必须求解方程（1、4）。

常微分方程常见形式及解法

常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。

简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。

接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。

一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。

齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。

一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。

2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。

当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。

常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。

二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。

对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。

例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。

2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。

原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。

全微分方程及积分因子

1.5 全微分方程及积分因子一、全微分方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(y x U U =dy yU dx x U dU ¶¶+¶¶=如果我们恰好碰见了方程0),(),(=¶¶+¶¶dy yy x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分.),(c y x U=定义1使得若有函数),,(y x U dyy x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分方程)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0=+ydx xdy 0)2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0)()(=+dy y g dx x f 是全微分方程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分方程的定义需考虑的问题(1) 方程(1)是否为全微分方程?(2) 若(1)是全微分方程,怎样求解?(3) 若(1)不是全微分方程,有无可能转化为全微分方程求解?2 方程为全微分方程的充要条件定理1则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M )1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分方程的充要条件是).2(,),(),(x y x N y y x M ¶¶=¶¶)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M证明“必要性”设(1)是全微分方程,使得则有函数),,(y x U dy yU dx x U y x dU ¶¶+¶¶=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M xU =¶¶),(y x N y U =¶¶从而从而有都是连续的和由于,22y x U x y U ¶¶¶¶¶¶,22y x U x y U ¶¶¶=¶¶¶故.),(),(xy x N y y x M ¶¶=¶¶yx U y N x y U y M ¶¶¶=¶¶¶¶¶=¶¶22,“充分性”，xy x N y y x M ¶¶=¶¶),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,,)5(y 满足则需构造函数),,(y x U )4(,),(),(),(dy y x N dx y x M y x dU +=即应满足)5(),,(y x M x U =¶¶)6(),,(y x N yU =¶¶ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j,)(的任意可微函数是这里y y j =¶¶y U 因此ò¶¶-=)7(),()(dx y x M y N dy y d j ,)7(无关的右端与下面证明x 的偏导数常等于零即对x 事实上]),([ò¶¶-¶¶dx y x M y N x ]),([ò¶¶¶¶-¶¶=dx y x M yx x N )6(),,(y x N y U =¶¶即同时满足使下面选择),6(),(U y j ò+¶¶dy y d dx y x M y )(),(j N =ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j]),([ò¶¶¶¶-¶¶=dx y x M x y x N yM x N ¶¶-¶¶=.0º积分之得右端的确只含有于是,)7(,y ,]),([)(dy dx y x M y N y òò¶¶-=j 故ò=dx y x M y x U ),(),(,]),([dy dx y x M yN òò¶¶-+(8)。

全微分方程及积分因子

全微分⽅程及积分因⼦1.5 全微分⽅程及积分因⼦⼀、全微分⽅程的定义及条件则它的全微分为是⼀个连续可微的函数设,),(y x U U =dy yU dx x U dU ??+??=如果我们恰好碰见了⽅程0),(),(=??+??dy yy x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分.),(c y x U=定义1使得若有函数),,(y x U dyy x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分⽅程)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分⽅程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0=+ydx xdy 0)2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0)()(=+dy y g dx x f 是全微分⽅程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分⽅程的定义需考虑的问题(1) ⽅程(1)是否为全微分⽅程?(2) 若(1)是全微分⽅程,怎样求解?(3) 若(1)不是全微分⽅程,有⽆可能转化为全微分⽅程求解?2 ⽅程为全微分⽅程的充要条件定理1则⽅程偏导数中连续且有连续的⼀阶域在⼀个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M )1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分⽅程的充要条件是).2(,),(),(x y x N y y x M ??=??)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M证明“必要性”设(1)是全微分⽅程,使得则有函数),,(y x U dy yU dx x U y x dU ??+??=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M xU =??),(y x N y U =??从⽽从⽽有都是连续的和由于,22y x U x y U ,22y x U x y U ???=???故.),(),(xy x N y y x M ??=??yx U y N x y U y M =??=??22,“充分性”，xy x N y y x M ??=??),(),(若解这个⽅程得看作参数把出发从,,)5(y 满⾜则需构造函数),,(y x U )4(,),(),(),(dy y x N dx y x M y x dU +=即应满⾜)5(),,(y x M x U =??)6(),,(y x N yU =??ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j,)(的任意可微函数是这⾥y y j =??y U 因此ò??-=)7(),()(dx y x M y N dy y d j ,)7(⽆关的右端与下⾯证明x 的偏导数常等于零即对x 事实上]),([ò??-??dx y x M y N x ]),([ò-??=dx y x M yx x N )6(),,(y x N y U =??即同时满⾜使下⾯选择),6(),(U y j ò+??dy y d dx y x M y )(),(j N =ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j]),([ò-??=dx y x M x y x N yM x N ??-??=.0o积分之得右端的确只含有于是,)7(,y ,]),([)(dy dx y x M y N y òò??-=j 故ò=dx y x M y x U ),(),(,]),([dy dx y x M yN òò??-+(8)。

积分因子的分组求法

积分因子的分组求法
积分因子是解决常微分方程中非齐次线性方程的有力工具，但对于一些复杂的方程，求解积分因子可能会较为困难。

此时，我们可以尝试使用分组求法来求解积分因子。

具体来说，我们可以将方程中的项分为多个组，每个组中包含同一种类型的项。

然后，我们可以分别对每个组求积分因子，最后将所有的积分因子乘起来得到整个方程的积分因子。

例如，对于如下的非齐次线性方程：
$$y'' + 2xy' - 3y = 2x^2 e^x$$
我们可以将方程中的项分为两组：
$$y'' - 3y = 0$$
和
$$2xy' = 2x^2 e^x$$
对于第一组，我们可以直接使用常数变易法求出其积分因子为$e^{-sqrt{3}x}$。

对于第二组，我们可以使用变量分离法求出其积分因子为 $x^2$。

因此，整个方程的积分因子为：
$$e^{-sqrt{3}x} cdot x^2 = x^2 e^{-sqrt{3}x}$$ 通过分组求法，我们成功地求解了该方程的积分因子。

- 1 -。

微分方程积分因子法及其应用

Ｏ）ｃ＋（￣ＮＮ
）ｌ（－ｆ＿ｘ
注此类型中ｃ１的确定亩用待定法。，３，丁
以上所讨论的微分方程具有特殊因子，而有些方程具有特殊结构，我们可根据其结构求出其积分因子，得到以下结论：结论ｌ方程Ｍ（Ｎ（ｄ＋（Ｑ（ｄｘｙｘＰｘｙｙ０有积分因子：））））显然，
类型４方程Ｍｄ＋ｙ０具有特殊积分因子＝ｘ± 的充要条件：ｘＮｄ＝（。为：
定义若微分方程Ｍｄ＋ｙ０（）Ｎｄ＝１不满足
＝
≠
条件，能找而
（一）Ｍ）２宴（Ｓｙ：ｘＮ一＋
类型５方程Ｍｄ＋ｄ＝ｘＮｙ０具有形状：ｘ的积分因子的充要条（
科技信息
高校理科研究
微分方程积分因子法及其应用
黑河学院数学系邵丽梅
［摘要］文研究如何直接地、效地求出其积分因子的方法，本有并且给出与求解积分因子有关的几个结论，而扩大了利用解恰当从方程的方法求解常微分方程的解的范围。文章给出了几种特殊类型的积分因子的求法及其在微分方程中的应用，提供了一种新的解决中学数学问题的途径。［键词］分因子的求法全微分方程积分因子关积微分方程作为数学的重要组成部分，的应用已日益渗透到许多领它为：
ｖ）１（１为上式的积分因子。ｌ

关于一阶常微分方程积分因子的求法

关于一阶常微分方程积分因子的求法摘要目前关于一阶常微分方程积分因子的求解方法介绍比较零散，一般的教科书中大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x或y的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间.一阶常微分方程灵活多变，有多种不同的方程类型，因而可针对不同类型的方程，研究与其适应的求解方法. 本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地总结出一些较为规律的求解方法：观察法、公式法和分组法，给出这些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，通过对这三种方法的研究，解决了某些一阶常微分方程的求解问题.关键词一阶，积分因子，全微分方程，观察，公式，分组，通解The Solution about First Order DifferentialEquation of Intergral FactorABSTRACTAt present about first order differential equations solving method of integral factor is introduced, the comparison scattered in general mostly confined to a textbook, such as some simple formula general give only contain x or y unary function of integral factor of the situation, rarely involve the condition of dual integral factor of sapce and no system, so overall summary of integral factor of sapce has broad research space. A flexible and order ordinary differential equations, and there are many different types of the equation, thus the equation of different types, with the solving method to study. This topic will be based on the definition and properties of integral factor, through different classification method andway of integrating factors in original for the foundation, on the various sapce for deepening and expanded, systematically summarizes some relatively regular solution: observation, formula and grouping law, given these methods using conditions, and feasibility of the method is proved that combined with concrete problems are discussed, based on the three methods to study and resolve some of the first order differential equation problem solving.KEYWORDS first-order,Integral factor, observation,formula,grouping,general solution.目录1 引言 (1)2 几种变系数齐次线性方程的求解方法 (1)2.1 降阶法 (1)2.2 常系数化法 (8)2.3 幂级数法 (17)2.4 恰当方程法 (20)3 结束语 (23)4 致谢语 (23)参考文献 (24)1 引言常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一。

伯努利微分方程的积分因子

伯努利微分方程的积分因子伯努利微分方程是一类常见的非线性微分方程，它的形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，其中n不等于0和1，P(x)和Q(x)是已知函数。

解伯努利微分方程的一个重要方法是使用积分因子。

积分因子是将伯努利微分方程转化为恰当微分方程的一个乘数。

通过选择合适的积分因子，我们可以将原方程改写成恰当微分方程，从而更容易求解。

我们考虑伯努利微分方程的一般形式dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n。

假设我们找到了一个函数μ(x)，使得μ(x)乘以原方程的两边后变为一个恰当微分方程。

即，我们希望存在一个函数μ(x)，使得μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)y^n可以写成d(u(x)y)/dx = d(v(x))/dx的形式，其中u(x)和v(x)是某些函数。

为了找到这个积分因子μ(x)，我们可以通过对原方程两边乘以μ(x)的方法进行求解。

具体而言，我们将原方程乘以μ(x)后，希望得到一个关于u(x)y的恰当微分方程。

通过合理的选择μ(x)，我们可以消去原方程中的非恰当部分，从而将方程转化为恰当微分方程。

例如，对于形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n的伯努利微分方程，我们可以选择积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx)。

这样，我们将原方程乘以μ(x)后得到e^(∫P(x)dx)dy/dx + P(x)e^(∫P(x)dx)y =Q(x)e^(∫P(x)dx)y^n。

可以发现，这个方程可以写成d(e^(∫P(x)dx)y)/dx = Q(x)e^(∫P(x)dx)y^n的形式，即关于u(x)y的恰当微分方程。

通过这种方法，我们将原伯努利微分方程转化为了恰当微分方程，从而可以更容易地求解。

接下来，我们可以使用常见的求解恰当微分方程的方法，如分离变量、积分等，来求得伯努利微分方程的解。

需要注意的是，选择合适的积分因子是解伯努利微分方程的关键步骤。

线性微分方程求解公式

线性微分方程求解公式
线性微分方程（LDE）是数学中一类非常重要的概念，它可以用来描述物理系统中动态变化的过程。

它是一种把时间变量和函数变量之间的关系表达为一个微分方程的方法。

线性微分方程（LDE）可以用来解释许多实际应用中的问题，如机械系统的动力学分析、气体流动的传热分析、电磁学分析和电路分析等，并且它们在理论物理学、数学物理学和其他重要的科学领域中也有着重要的应用。

线性微分方程的求解公式是：先把线性微分方程化为一阶线性微分方程，然后将其标准化，即解出其一阶线性微分方程的积分因子。

其求解公式可以表示为：设y=f(x)是方程
dy/dx+Py=Q的一般解，则f(x)的一般解为：f(x)=e^（∫Pdx）∫Qe^(-∫Pdx)dx+C其中C为任意的常数，而∫Pdx表示P的积分因子。

由此可以看出，线性微分方程的求解公式是由一阶线性微分方程的积分因子得出的，而积分因子又是由方程参数（P、Q）得出的。

因此，线性微分方程的求解公式需要先求解出一阶线性微分方程的积分因子，然后再将其带入上面的求解公式中即可得出方程的解。

线性微分方程（LDE）的求解公式是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解复杂的物理系统，从而更好地进行分析和设计。

它的应用非常广泛，在医学、经济学、工
程学等领域都有重要的作用，因此，理解并熟练掌握这一求解公式对于我们来说非常重要。

一阶微分方程三类积分因子的计算

（令“＝２，ｂ＝１）
一（２ｘ十ｙ）３（ｚ一２ｙ）十：ｃｙ（ｙ２—４ｘ２）
５—（２ｘ辈ｙ蔫［－（２并ｘ焘券ｙ器‰ｘｙ一一（２ｘ＋ｙ）［（２ｚ＋ｙ）２（２ｙ—ｚ）＋ｘｙ（２ｘ—ｙ）］
ａＮａＭ
熹ｂＭ一要ａＮ一＋）
一志２ｘ＋ｙ刈２ｚ州＋ｖ）２（２一ｚ）＋（２ｚ—ｖ）］一——一一Ｊ¨ｚ１＿ｙ７
１．卢（ｚ，ｙ）＝Ｆ（ｎｚ十６ｙ），２．Ｐ（ｚ，ｙ）＝Ｇ（ｚｙ）．３．户（ｚ，ｙ）＝ｅｘｐＦｆｆ（ｚ）如＋Ｊ’ｇ（ｙ）出］三种形式的积分因子的
充要条件．
关键词恰当方程；积分因子
中图分类号：０１７５
文献标识码：Ａ
文章编号：１００２－－０７３Ｘ（２００２）０３一００５２一０４
一阶微分方程Ｍ（ｚ，ｙ）ｄｚ＋Ｎ（ｚ，ｙ）ｄｙ：Ｏ（１）当百ａＭ一百ａＮ时，称方程（１）为恰当方程。对于恰当方
Ｇ（ｘｙ）Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｇ（ｘｙ）Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０
即
ｚｚ－，！ｖ－－（ｘｙ２一ｙ）ｄｘ＋击‘ｚ≯，３，一３ｘ）ｄｙ２ｏ
（ｙ－－Ｚ去）出＋（Ｐ３Ｖｙ）ｄｙ２。舛ｚ＋斑ｙ－土。ｄｚ一专ｄｙ＝ｏ
得全微分方程ｄ（ｘｙ—ｌｎｘｙ３）＝０所以．得方稗的诵锶．ｚｖ—ｌｎｘｖ３＝Ｃ
３．具有形为ｐ（ｘ。ｙ）＝ｅｘＰｉｌｌ（ｘＩ出＋ｆｇ（ｙ）ｄｙ］积分因子的条件命题３一阶微分方程Ｍ（ｚ，ｙ）如＋Ｎ（ｚ，３，）出一ｏ，具有形为Ｐ（ｚ，ｊ，）一ｅｘｐ［ｆｆ（ｚ）出＋Ｊ－ｇ（ｙ）出］积
第２３卷第３期２００２年６月
衡阳师范学院学报（自然科学）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｎｇｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
ＮＯ．３Ｖ０１．２３ＪＵＢ．２００２

微分方程积分因子的求法

微分方程积分因子的求法罗伟东【摘要】利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。

因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。

但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。

但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。

通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。

所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式相近的积分因子。

如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。

如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。

同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。

【关键字】微分方程，积分因子，求解方法【目录】引言 (1)目录 (2)一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子§ 1、与()x y αβμ有关的积分因子 (3)§ 2、与()m n ax by μ+有关的积分因子 (4)二、微分方程积分因子求法的推广§ 1、满足条件()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 (7)§ 2、方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (10)§ 3、方程13()30m m m x m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦积分因子 (12)§ 4、方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (13)参考文献 (15)一、()x y αβμ和()m n axby μ+两类积分因子引言：微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。

1.5 全微分方程及积分因子

哈尔滨工程大学
1. ydx ( y 2 x )dy 0 2. xy 3dx ( x 2 y 2 1)dy 0
高等数学
[例4] 解方程 ydx ( y x )dy 0
2
哈尔滨工程大学
1 2 [解] ( 2 ) [ ydx xdy y dy] 0 y 2 2 y y
1) 方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0存在仅与x有关的积分因子 ( x , y ) ( x )的充要条件为
高等数学
1 M N ( ) N y x
仅与x有关,这时该方程的积分因子为
1 M N ( x ) dx ) ( x) e , 这里 ( x ) ( N y x
积分因子的确定
高等数学
( x , y )是方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0的积分因子的
充要条件是 : ( x , y ) M ( x , y ) ( x , y ) N ( x , y ) y x
即
哈尔滨工程大学
M N N M ( ) x y y x
2）微分方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0有一个仅依赖
哈尔滨工程大学
于y的积分因子的充要条件是
1 M N ( ) M y x
仅与y有关,这时该方程的积分因子为
高等数学
( y ) dy ( y) e ,
1 M N 这里 ( y ) ( ). M y x
高等数学
1 2 (2xydx x dy ) de d ( y ) 0 2 1 2 2 d(x y y ex ) 0 2 1 2 2 x 所以 x y y e c 2

常微分方程的经典求解方法

常微分方程的经典求解方法常微分方程是研究函数$y=y(x)$及其导数与自变量$x$之间的关系的方程。

它在应用数学中有着广泛的应用，例如物理学、工程学、生物学等领域。

解微分方程的目标是找到函数$y$的表达式，使得方程成立。

经典的求解常微分方程的方法可以分为分离变量法、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程和常系数线性微分方程等几种方法。

一、分离变量法：对于形如$y'=f(x)g(y)$的微分方程，其中$f(x)$和$g(y)$是已知的函数，我们可以采用以下步骤求解。

1.将方程写成\[g(y)dy = f(x)dx\]的形式。

2.对方程两边同时积分，得到\[ \int g(y)dy = \int f(x)dx\]。

3.解释上述积分并恢复未知函数$y$即可。

二、一阶线性微分方程：形如$y'+p(x)y=q(x)$的微分方程称为一阶线性微分方程。

1.将方程写成标准形式，即\[ \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)\]。

2.利用积分因子法求解。

a.计算积分因子$\mu(x)$，即$\mu(x) = e^{\int p(x)dx}$。

b.将方程两边同时乘以积分因子$\mu(x)$，得到\[\mu(x)y' +\mu(x)p(x)y = \mu(x)q(x)\]。

c.左边可以写成\[\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)q(x)\]。

d.将上式两边同时积分，并解释上述积分求得未知函数$y$即可。

三、二阶线性微分方程：形如$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$的微分方程称为二阶线性微分方程。

1.将方程写成标准形式。

2.设方程有特解$y_1(x)$和齐次线性方程$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$的通解为$y_2(x)$。

3.利用叠加原理，方程的通解为$y(x)=y_1(x)+y_2(x)$。

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常微分方程的积分因子求解法内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。

关键词：全微分方程，积分因子。

一、基本知识定义1.1 对于形如0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1）的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+，则称（1.1）为全微分方程.易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）. 定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x M ，),(y x N 在x ，y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为xy x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( （1.2）证明见参考文献[1].定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3）是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子.定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为xy x y x N ∂∂),(ln ),(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( （1.4）证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ，展开即得：x y x y x N ∂∂),(),(μ-y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N yy x M μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂. 上式整理即得（1.4）. 证毕注1.1 若),(y x μ0≠，则（1.3）和（1.1）同解。

所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子),(y x μ。

为了求解积分因子),(y x μ，必须求解方程（1.4）。

一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当),(y x μ具有某种特殊形式时还是较易求解的。

二、特殊形式的积分因子的求法情况1 当),(y x μ具有形式)(x μ时，方程（1.4）化为dxx d y x N )(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),(，即dx x d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 于是得到：定理2.1 微分方程（1.1）具有形如)(x μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 只是x 的连续函数, 不含y . 此时易得, dx x y x N y y x M y x N ex ⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂),(),(),(1)(μ.类似地定理2.2 微分方程（1.1）具有形如)(y μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M ),(),(),(1 只是y 的连续函数, 不含x . 并且, dy x y x N y y x M y x M ey ⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-),(),(),(1)(μ.例2.1 求0)]()([=+-dy dx x q y x p 的通解. 解: 因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1=)(x p , 故 ⎰=dx x p e x )()(μ. 方程两边同乘以⎰=dxx p e x )()(μ得 ⎰dxx p e )(0)]()([)(=⎰+-dy e dx x q y x p dxx p ,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-⎰⎰dx e x q ye d ds s p dx x p )()()(0=, 故通解为⎰⎰-⎰dx e x q ye ds s p dx x p )()()(=C , 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-dx e x q C e y ds s p dx x p )()()(，（C 为任意常数）. 情况 2 如果(1.1)具有形如)(y x ±μ的积分因子, 令y x z ±=, 则)(y x ±μ =)(z μ. 由(1.4)得dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1, 于是得到:定理 2.3 微分方程（1.1）具有形如)(y x ±μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1只是y x z ±=的连续函数, 此时积分因子为dz x y x N y y x M y x M y x N Ce y x z ⎰=±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂),(),(),(),(1)()( μμ, (C 为任意非零常数).例 2.2 求 0)32()32(32233223=-+++-++dy x x xy y dx y y y x x 的积分因子.解: 因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1=y x +-2 故方程具有形如)(y x +μ的积分因子, 取1=C 得，)(y x +μ⎰=++-)(2y x d y x e=2)(1y x +. 情况 3 如果(1.1)具有形如)(xy μ的积分因子, 令xy z =, 则)(xy μ=)(z μ. 由(1.4)得dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1, 于是得到:定理 2.4 微分方程（1.1）具有形如)(xy μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1只是xy z = 的连续函数, 此时积分因子为dz x y x N y y x M y x xM y x yN Ce xy z ⎰==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-),(),(),(),(1)()(μμ, (C 为任意非零常数).例2.3 求0)3(23=-+dy y x x ydx 的积分因子. 解: 因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1=xy 3-，故方程具有形如)(xy μ的积分因子, 取1=C 得 )(xy μ⎰=-)(3xy d xy e=3)(1xy -. 情况 4 一般地, 如果方程(1.1)具有形如)(n m y x ±μ的积分因子, 令n m y x z ±=, 则)(n m y x ±μ)(z μ=. 由(1.4)得dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂--x y x N y y x M y x M ny y x N mx n m ),(),(),(),(111 , 于是得到定理 2.5 微分方程（1.1）具有形如)(n m y x ±μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂--x y x N y y x M y x M ny y x N mx n m ),(),(),(),(111 只是n m y x z ±=的连续函数, 此时积分因子为 dz x y x N y y x M y x M ny y x N mx n m n m Ce y x z ⎰=±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂--),(),(),(),(111)()( μμ, (C 为任意非零常数).类似地, 我们有定理 2.6 微分方程（1.1）具有形如)(l k y x μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---x y x N y y x M y x M y lx y x N y kx l k l k ),(),(),(),(111只是lk y x z =的连续函数, 此时积分因子为 dz x y x N y y x M y x M y lx y x N y kx l k l k l k Ce y x z ⎰==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂---),(),(),(),(111)()(μμ, (C 为任意非零常数).例2.4 求 0)(2223=-+dy xy x dx y 的积分因子. 解: 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---x y x N yy x M y x M y lx y x N y kx l k l k ),(),(),(),(111， =])2(2[4522y l k kx y x xy l k +--, 易知, 欲使上式仅是lky x z =的函数, 只须22)2(245y l k kx xy +--等于常数即可.为此, 令 42=k , 52=+l k , 得 2=k , 1=l . 此时 22)2(245y l k kx xy +--=-1. 取1=C 得yx ey x y xd y x 2)(1121)(22=⎰=-μ.三、一般理论定理 3.1 如果),(y x μ是微分方程(1.1)的积分因子, (1.1)乘以),(y x μ后得到(1.3). 设(1.3)的左端为),(y x dU , 则)),((),(y x U y x Φμ仍是(1.1)的积分因子. 其中, )(•Φ是任何可微函数.定理 3.2 在(1.1)中, 若),(y x M 和),(y x N 在长方形区域Q 上连续,且),(y x N 在Q 上处处不为零. 对于(1.1)的任何两个在Q 上处处连续且恒不为零的积分因子),(1y x μ, ),(2y x μ(从而),(1y x μ, ),(2y x μ在Q 上不变号), 设]),(),()[,(),(11dy y x N dx y x M y x y x dU +=μ]),(),()[,(),(22dy y x N dx y x M y x y x dU +=μ.则在Q 内任一点),(y x , 可定出一邻域, 在此邻域内, ),(),(12y x y x μμ只是),(1y x U 的函数.上述两定理的证明可参见参考文献[3].注 3.1 由定理3.1和定理3.2 即知, 设),(y x μ是(1.1)的积分因子, (1.3)的左端为),(y x dU , 则(1.1)的积分因子通式为)),((),(y x U y x Φμ. 其中, )(•Φ是任何可微函数.例3.1 求 0)73()35(223=-+-dy xy x dx y xy 的积分因子及通解. 解: 重新组合: )35(2dy x xydx +0)73(23=+-dy xy dx y , 对于前一个括号内可求得一个积分因子yx 211=μ, 乘之得dy ydx x 35+ ][ln 35y x d =. 故前一个括号内可取积分因子通式为yx 21)(351y x Φ.同样可得后一个括号内的积分因子通式为31xy)(732y x Φ. 下面求出1Φ, 2Φ, 使得yx 21)(351y x Φ=31xy)(732y x Φ. 设 αs s =Φ)(1, βs s =Φ)(2, 即有yx 21α)(35y x =31xy β)(73y x , 于是得 ⎩⎨⎧-=--=-37131325βαβα, 解得21=α, 21=β. 从而即得原微分方程的一个积分因子为2121y x , 用2121y x 乘以方程的两边可求得通积分为 C y x y x =-27232325, (C 为任意常数).。