1.5全微分方程及积分因子 .

故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得
cos x sin xdx ( xy 2dx x 2 ydy ) ydy 0,
即
1 2 1 2 2 1 2 d sin x d x y d y 0, 2 2 2
14
常微分方程
绵阳师范学院
1 2 1 2 2 1 2 d sin x d x y d y 0 2 2 2
20 求u( x, y )
0

M ( x, y )dx ( y )，
u 3 由 N ( x, y )求 ( y ). y
例1 验证方程
(e x y )dx ( x 2 sin y )dy 0
是恰当方程,并求它的通解.
9
常微分方程
绵阳师范学院
解:
由于M ( x, y) e x y, N ( x, y) x 2 sin y.
或写成
d (sin2 x x 2 y 2 y 2 ) 0, sin2 x x 2 y 2 y 2 c,
故通解为:
由初始条件(0) 2, 得 c 4, y
故所求的初值问题的解为:
sin x x y y 4.
Байду номын сангаас2 2 2 2
15
常微分方程
绵阳师范学院
3 线积分法 定理1充分性的证明也可用如下方法:
故
M ( x, y) N ( x, y) . y x
5
常微分方程
绵阳师范学院
“充分性”
M ( x, y) N ( x, y) 若 ， y x
则 需 构 造 函 数( x , y ), 满 足 u
du( x , y ) M ( x , y )dx N ( x , y )dy, ( 4)

10
常微分方程
绵阳师范学院
u( x, y) e x yx ( y).
对u( x, y )关 于y求偏导数, 得 ( y )应满足的方程为
d ( y) x x 2 sin y dy d ( y) 2 sin y 即 dy 积分后得: ( y ) 2 cos y ,
2 y
(x,y)
(0,0)
u( x, y )

x 0 x

( x, y)
( 0, 0 )
M ( x, y )dx N ( x, y )dy
y 0
M ( x,0)dx N ( x, y)dy 2 xdx (sin x x e 2)dy
y 2 y
0
0
x y sin x x (e 1) 2 y y sin x x 2e y 2 y.
d ( y ) N M ( x , y )dx dy y



注:若(1)为恰当方程,则其通解为

M ( x , y )dx [ N M ( x , y )dx]dy c, c为任常数 y


8
常微分方程
绵阳师范学院
恰当方程的求解 1 不定积分法
10 判 断M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0是 否 为 恰 当 方 程 , 若是进入下一步 .
故有
u M ( x , y ), x
2 u M , yx y
u N ( x, y ) y
从而
2 u N . xy x
2u 2u , y x x y
2u 2u 由于 和 都 是 连 续 的从 而 有 , yx xy
从而(1)为恰当方程 。
16
常微分方程
绵阳师范学院
x, y
这时, 取( x0 , y0 ) R, 则
x0 , y0


x
x0
M ( x, y0 )dx
从而(1)的通解为

x
x0
M ( x, y0 )dx

y
y0
N ( x, y )dy c, c为任常数 。
17
常微分方程
12
常微分方程
绵阳师范学院
(3 x 2 6 xy2 )dx (6 x 2 y 4 y 3 )dy 0 的通解. 例2 求方程
解:
由于M ( x, y) 3 x 2 6 xy2 , N ( x, y) 6 x 2 y 4 y 3 ,
N ( x , y ) M ( x, y) , 12xy x y
u M ( x, y ), x
u N ( x, y), y
即应满足
(5)
(6)
从(5)出 发, 把y看 作 参 数 解 这 个 方 程 得 ,
u( x , y )
M ( x, y)dx ( y).
6
常微分方程
绵阳师范学院
u( x, y )
M ( x, y)dx ( y).
是全微分方程（或恰当方程.） 此 时(1)的 通 解 为 ( x , y ) c . u 如
3
d (xy) xdy ydx 0
2
d ( x y xy ) (3 x 2 y y 2 )dx ( x 3 2 xy)dy 0
d ( f ( x )d x g( y )d y ) f ( x )dx g( y )dy 0
N ( x , y ) M ( x, y ) , 1 x y
故所给方程是恰当方程.
由 于 所 求 函 数( x , y )满 足 u
u e x y, x
u x 2 sin y, y
由偏导数的定义 , 只要将 看作常数将e x y对x积分得 y ,
u( x , y ) (e x y )dx ( y ) e x yx ( y ).
x d ( ), y2 y y ydx xdy d ( ), x x2
ydx xdy
x ydx xdy d (ln | |), y xy ydx xdy x d (arctan ), 2 2 x y y ydx xdy 1 x y d (ln ). 2 2 2 x y x y
就可以马上写出它的隐式解
u( x , y ) c .
2
常微分方程
绵阳师范学院
定义1
若 有 函 数 ( x , y ), 使 得 u
du( x , y ) M ( x , y )dx N ( x , y )dy 则称微分方程
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0, (1)
常微分方程
绵阳师范学院
例3 验证方程
(cos x sin x xy 2 )dx y(1 x 2 )dy 0,
是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.
这里M ( x, y) cos x sin x xy 2 , N ( x, y) y(1 x 2 ), 解:
M ( x , y ) N ( x, y ) 2 xy , y x
绵阳师范学院
例4 求解方程
( y cos x 2 xe y )dx (sin x x 2e y 2)dy 0.
解: 由于M ( x, y) y cos x 2 xe y , N ( x, y) sin x x 2e y 2,
M ( x , y ) cos x 2 xe y N ( x, y ) , y x
y
dy 下 面 证 明7)的 右 端 与 无 关, 即 对x的 偏 导 数 常 等 于 零 ( x
( 7)
事实上
N [N M ( x, y)dx] [ M ( x, y )dx] x y x x y 7


常微分方程
绵阳师范学院
N N M [ M ( x, y )dx] 0. x y x x y
故
u( x, y ) e x yx 2 cos y.
从而方程的通解为
e x yx 2 cos y c.
11
常微分方程
绵阳师范学院
2 分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的 项分出来,再把余的项凑成全微分. ---应熟记一些简单二元函数的全微分. 如:
ydx xdy d ( xy),
M ( x , y ) N ( x , y ) 由于 , y x
由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:
M ( x, y)dx N ( x, y)dy为某函数 ( x, y)的全微分 u ，
即有函数 ( x, y ), 使 u
du( x , y ) M ( x , y )dx N ( x , y )dy,
2
2
y
故通解为:
y sin x x 2e y 2 y c, c为任常数 .
19
常微分方程
绵阳师范学院
1.5.2 积分因子 非恰当方程如何求解?
对变量分离方程:
dy f ( x ) ( y )dx 0,
1 方程两边同乘以 ,得 ( y)
不是恰当方程.
1 dy f ( x )dx 0, ( y) 1 ( f ( x )) ( y) 0 y x
是恰当方程.
3


常微分方程
绵阳师范学院
需考虑的问题
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0,
(1)
(1) 方程(1)是否为恰当方程? (2) 若(1)是恰当方程,怎样求解? (3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方 程 求解? 方程为恰当方程的充要条件 设 函 数 ( x , y )和N ( x , y )在 一 个 矩 形 区 M 定理1 域R中 连 续 且 有 连 续 的 一 偏 导 数, 则 方 程 阶
是恰当方程.
20
常微分方程
绵阳师范学院
对一阶线性方程:
dy ( P ( x ) y Q( x ))dx 0,
方程两边同乘以 e
故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得
3 x 2dx 4 y 3dy (6 xy2dx 6 x 2 ydy) 0
即
dx3 dy4 (3 y 2dx2 3 x 2dy2 ) 0
d( x3 y4 3x2 y2 ) 0
13
或写成
。 故通解为: x 3 y 4 3 x 2 y 2 c, c为任常数
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0, (1)
(2).
4
为恰当方程的充要条件是
M ( x, y ) N ( x, y ) , y x
常微分方程
绵阳师范学院
u 证明 “必要性” 设(1)是恰当方程, 则有函数 ( x, y ), 使得
u u du( x, y ) dx dy M ( x , y )dx N ( x , y )dy x y
常微分方程
绵阳师范学院
1.5 全微分方程及积分因子
1
常微分方程
绵阳师范学院
1.5.1全微分方程 设u u( x, y )是一 个连续可 微的函 , 则它 的全微分 为 数
u u du dx dy x y
如果我们恰好碰见了方程
u( x, y ) u( x, y ) dx dy 0 x y

于 是, (7)右 端 的 确 只 含 有 积 分 之 得 y,
( y)

[N y
M ( x, y)dx]dy,

(7)
故
u( x , y ) M ( x , y )dx [ N M ( x, y)dx]dy, (8) y 即u( x , y )存 在, 从 而(1)为 恰 当 方 程 。

u N ( x , y ), (6) y
这 里 ( y )是y的 任 意可 微 函 数 ,
下 面选 择 ( y ), 使u同 时满 足6), 即 ( u d ( y ) M ( x, y )dx N y dy y d ( y) N M ( x, y )dx 因此
故所给方程是恰当方程.
由 于M ( x , y ), N ( x , y )在 全平面上连续 ,
(x,y)
(0,0)
故取( x0 , y0 ) (0,0), 则
18
常微分方程
绵阳师范学院
M ( x , y ) y cos x 2 xe y N ( x , y ) sin x x e 2,