全微分方程

§13.4 全微分方程
一、全微分方程
1.定义: 若一阶微分方程
P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = 0
的左端是某函数的全微分
du( x, y) = P( x, y)dx + Q( x, y)dy
全微分方程 或恰当方程
2 ∴ du( x , y ) = xdx + ydy , 所以是全微分方程.
可选用的积分因子有 1 1 1 1 x y , 2, 2 2, 2 2, 2, 2 等. x+ y x x y x + y y x 例 4 求微分方程
1 ∂P ∂Q ( − ) Q ∂ y ∂x
( 3 xy + y 2 )dx + ( x 2 + xy )dy = 0的通解.
解 观察知 µ( x ) = x 则原方程为
g ( y ) dy d ln µ 1 ∂Q ∂P ∫ ∴ = ( − ) = g( y ) ∴ µ ( y) = e . dy P ∂x ∂y
例5 求微分方程 2 xy ln ydx + ( x 2 + y 2 1 + y 2 )dy = 0的通解. 解 将方程左端重新组合,有
（2 xy ln ydx + x 2dy ) + y 2 1 + y 2 dy = 0, 1 ∂Q ∂P ( − ) 1 P ∂x ∂y 易知 µ ( x , y ) = , y2 x 则 ( 2 x ln ydx + dy ) + y 1 + y 2 dy = 0, y 3 可积组合法 1 2 2 2 即 d ( x ln y ) + d (1 + y ) = 0. 3 3 1 2 原方程的通解为 x ln y + (1 + y 2 ) 2 = C . 3
例1 求方程( x 3 − 3 xy 2 )dx + ( y 3 − 3 x 2 y )dy = 0 的通解. 解
∂P ∂Q = −6 xy = , 是全微分方程, ∂y ∂x
u( x , y ) = ∫0 ( x − 3 xy )d x + ∫0 y 3 dy
3 2
x
y
x 3 2 2 y = ( − x y + ), 4 2 4
1 dx 1+ x
dx + C ],
x x 通解为 y + xy + + = C. 3 4
dy x2 + x3 + y 求微分方程 = − 的通解. dx 1+ x
2 3 ( x + x + y )dx + (1 + x )dy = 0, 解2 整理得 ∂P ∂Q Q =1= , ∴ 是全微分方程 . ∂y ∂x
x
1 x 1 x ⇒ (e ydx + xe ydx + e xdy ) + e ydx + e dy = 0 2 2 1 x x ⇒ d (e xy ) + d ( e y ) = 0 2 1 x x ∴ e xy + e y = c为方程的解。 2
x x x
5、已知 f n′( x ) = f n ( x ) + x
2 2 4 L
求 f ( x ).
解：P = 2 xyf ( x 2 ), Q = f ( x 2 ) − x 4
∂ Q ∂P Q = ∂x ∂y
u
2 xf ′( x 2 ) − 4 x 3 = 2 xf ( x 2 )
∴ f ′( x 2 ) − f ( x 2 ) − 2 x 2 = 0 ∴ f ′( u ) − f ( u ) − 2 u = 0 f ( u ) = ce − 2u − 2 ⇒ f ( x ) = ce
2 1 x 1 x = d ( − ) + d ( 3 ) = d ( − + 3 ), y y y y 2 1 x 原方程的通解为 − + 3 = C . y y
2
2x y2 − 3 x2 例2 求方程 3 dx + dy = 0的通解. 4 y y
解
∂P 6 x ∂Q =− 4 = , y ∂x ∂y
1.观察法: 凭观察凑微分得到 µ ( x , y ) 常见的全微分表达式
x2 + y2 xdx + ydy = d 2
xdy − ydx y d arctan = x x2 + y2
xdy − ydx y = d 2 x x xdy + ydx = d (ln xy ) xy
3 3 2 2
x4 y4 3 2 2 = d( + − x y ), 4 4 2
x4 3 2 2 y4 − x y + = C. 原方程的通解为 4 2 4
2x y2 − 3 x2 例2 求方程 3 dx + dy = 0的通解. 4 y y
∂P 6 x ∂Q =− 4 = , 是全微分方程, 解 y ∂x ∂y 1 2x 3x2 将左端重新组合 2 dy + ( 3 dx − 4 dy ) y y y
2 3
∂u 2 3 = x + x + y, D 不定积分法: Q ∂x 3 4 x x 2 3 ∴ ∫ ( x + x + y )dx = + + xy + C ( y ), 3 4 ∂u ∂u ∴ = x + C ′( y ), 又 = 1 + x, ∂y ∂y
∴ x + C ′( y ) = 1 + x , C ′( y ) = 1,
∂Q ∂P ∴ = ∂x ∂y
x
Q = f ( x)
[c + ∫ e ⋅ e
∫ −1dx
x x −x = e [ c + e ⋅ e dx ] dx ] ∫
1 = e [c + x ] = e [ + x ] 2 x e x x x 1 微分方程变为 : (e + + xe ) ydx + e ( + x )dy = 0 2 2 1 x 1 x x x x ⇒ (e ydx + xe ydx + e xdy ) + e ydx + e dy = 0 2 2
xdx + ydy 1 2 2 = + d ln( x y ) 2 2 x + y 2 xdy − ydx x + y 1 = d ln 2 2 x − y 2 x− y
例 3 利用观察法求出下列各 方程积分因子，并求通 解 .
(1) ( x + y )( dx − dy ) = dx + dy
( 3 x y + xy )dx + ( x + x y )dy = 0,
2 2 3 2
3 x 2 ydx + x 3 dy + xy( ydx + xdy )
1 2 原方程的通解为 yx + ( xy ) = C . 2
3
1 = d ( yx + ( xy ) 2 ) = 0, 2
3
可积组合法
2.公式法:
4
4
4
x 3 2 2 y − x y + = C. 原方程的通解为 4 2 4
4
例1 求方程( x 3 − 3 xy 2 )dx + ( y 3 − 3 x 2 y )dy = 0 的通解. 解
∂P ∂Q = −6 xy = , 是全微分方程, ∂y ∂x
( x 3 − 3 xy 2 )dx + ( y 3 − 3 x 2 y )dy = x dx + y dy − 3 xy dx − 3 x ydy
∞ 1
n −1 x
e e ( n为整数 ).且f n (1) = , n
三、一阶微分方程小结
一阶微分方程
分离变量法 常数变易法 全微分方程
dy x2 + x3 + y 练习1. 求微分方程 = − 的通解. dx 1+ x 解1
dy 1 2 y x + = − , 整理得 dx 1 + x
− 1 dx 1+ x 3
∫ A 公式法:y = e
∫ [∫ − x e
2 4
∂P ∂Q 全微分方程 ⇔ = . ∂y ∂x
1 xdx + ydy = 0 , 例如 Q u( x , y ) = ( x 2 + y 2 ),
2.解法:
∂Q ∂ P Q du( x , y ) = P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy ⇔ = ∂x ∂y P ( x , y )dx + Q( x , y )dy = 0 全微分方程
( 2) ( xdy + ydx )( y + 1) + x y dy = 0
1 1 解： (1) ⋅ ( x + y )(dx − dy ) = ⋅ (dx + dy ) x+ y x+ y
2 2
1 d ( x − y) − d ( x + y) = 0 x+ y
1 x 2 y 2 ( y + 1)
B 用曲线积分法:
u( x , y ) = ∫0 ( x + x )dx + ∫0 (1 + x )dy ,
2 3
x
y
C 凑微分法:
dy + ( xdy + ydx ) + x dx + x dx = 0, x3 x4 dy + d ( xy ) + d +d = 0， 3 4 x3 x4 d ( y + xy + + ) = 0. 3 4
d [ x − y − ln( x + y )] = 0 ⇒ x − y − ln( x + y ) = c
( 2) ⋅ [( xdy + ydx )( y + 1) + x 2 y 2 dy ] = 0
1 xdy + ydx 1 + dy = 0 ⇒ d ( − ) + d ln( y + 1) = 0 2 2 xy y+1 x y
u( wk.baidu.com , y ) = ∫
y
是全微分方程,
x
1 y
1
dy + ∫ 2
2x y
0
dx 3
1 x2 = 1− + 3 y y
1 x 原方程的通解为 − + 3 = C . y y
2
xdy − ydx = 0
P = −y Q= x 1 ( xdy − ydx ) = 0 2 x
∂Q ∂ P ≠ ∂x ∂y
将方程左端重新组合,有
d ( x ) + x − yd ( x − y ) = 0,
2 2 2
2 2 原方程的通解为 x + ( x − y ) = C . 3
2
3 2
3. 设 f ( x )在( −∞ ,+∞ )内可微， f (0 ) = 0, L为 xoy 面内 任意闭曲线， ∫ 2 xyf ( x )dx + [ f ( x ) − x ]dy = 0成立，
∂ ( µP ) ∂ ( µQ ) Q = , ∂y ∂x ∂P ∂µ ∂Q ∂µ 两边同除 µ， µ +P =µ +Q ∂y ∂y ∂x ∂x
∂ ln µ ∂ ln µ ∂P ∂Q Q −P = − ∂x ∂y ∂ y ∂x
特殊地:
偏微分方程求解不容易
∂µ ∂ µ d µ = , a . 当µ只与x有关时; ∂y = 0, ∂x dx d ln µ 1 ∂P ∂Q f ( x ) dx ∴ = ( − ) = f ( x) ∴ µ ( x) = e ∫ . dx Q ∂y ∂x ∂µ dµ ∂µ = , = 0, b. 当µ只与y有关时; ∂y dy ∂x
2 x2
− 2( x 2 + 1)
4、已知 f(0)=1/2,试确定 f ( x ) , 使 [e x + f ( x )] ydx + f ( x )dy = 0 为全微分方程, 并求此全微分方程的通解.
解：P = [e + f ( x )] y
x
Q 是全微分方程
f ( x) = e
∫ dx
x
x ′ ⇒ f ( x) = f ( x) + e
1 y ( xdy − ydx ) = d ( ) = 0 2 x x
二、积分因子法
定义: µ ( x , y ) ≠ 0 连续可微函数，使方程
µ( x , y ) P ( x , y )dx + µ( x , y )Q ( x , y )dy = 0 成为全
微分方程.则称 µ ( x , y ) 为方程的积分因子. 问题: 如何求方程的积分因子?
C ( y ) = y,
x3 x4 + = C. 原方程的通解为 y + xy + 3 4
2. 求微分方程 2 x(1 + x 2 − y )dx − x 2 − ydy = 0的通解. 解
2 xdx + 2 x x 2 − ydx − x 2 − ydy = 0, d ( x 2 ) + x 2 − yd ( x 2 ) − x 2 − ydy = 0,
À应用曲线积分与路径无关. Q ∂P = ∂Q
∂y ∂x
通解为 u( x , y ) = P ( x , y )d x + Q( x , y )dy 0 ∫x ∫y
0 0
x
y
= ∫y Q( x , y )dy + ∫x P ( x , y0 )d x , u( x , y ) = C ;
0 0
y
x
Á 用直接凑全微分的方法.