微分方程的积分因子求解法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
创作编号:BG7531400019813488897SX
创作者:别如克*
常微分方程的积分因子求解法
内容摘要:本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法,并推广到较一般的形式。
关键词:全微分方程,积分因子。
一、基本知识
定义1.1 对于形如
dx
y
N
M(1.1)
x
),(
),(=
+dy
x
y
的微分方程,如果方程的左端恰是x,y的一个可微函数),(y x
U的全微分,即d),(y
y
x
M),(
dx
),(+,则称(1.1)为全微分方程.
x
U= dy
y
N
x
易知,上述全微分方程的通解为),(y
U=C, (C为任意常数).
x
定理1.1 (全微分方程的判别法)设),(y
x
N在x,y平面上
M,),(y
x
的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数,则(1.1)是全微分方程的充要条件为
x
y x N y y x M ∂∂=∂∂)
,(),( (1.2) 证明见参考文献[1].
定义1.2 对于微分方程(1.1),如果存在可微函数),(y x μ,使得方程
),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ (1.3)
是全微分方程,则称),(y x μ为微分方程(1.1)的积分因子.
定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程(1.1)的积分因子的充要条件为
x
y x y x N ∂∂)
,(ln )
,(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( (1.4)
证明:由定理1.1得,),(y x μ为微分方程(1.1)的积分因子的充要条件为
x y x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ, 展开即得:
x y x y x N ∂∂)
,()
,(μ-y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y y x M μ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂. 上式整理即得(1.4). 证毕
注1.1 若),(y x μ0≠,则(1.3)和(1.1)同解。所以,欲求(1.1)的通解,只须求出(1.3)的通解即可,而(1.3)是全微分方程,故关键在于求积分因子),(y x μ。
为了求解积分因子),(y x μ,必须求解方程(1.4)。一般来说,偏微分方程(1.4)是不易求解的;但是,当),(y x μ具有某种特殊形式时还是较易求解的。
二、特殊形式的积分因子的求法
情况1 当),(y x μ具有形式)(x μ时,方程(1.4)化为
dx
x d y x N )(ln )
,(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂)
,(),(, 即 dx x d )(ln μ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 于是得到:
定理2.1 微分方程(1.1)具有形如)(x μ的积分因子的充要条件为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 只是x 的连续函数, 不含y . 此时易得, dx x y x N y y x M y x N e
x ⎰=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂-∂∂),(),(),(1
)(μ.
类似地
定理2.2 微分方程(1.1)具有形如)(y μ的积分因子的充要条件为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M ),(),(),(1 只是y 的连续函数, 不含x . 并且, dy x y x N y y x M y x M e
y ⎰=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂-∂∂-
),(),(),(1
)(μ.
例2.1 求0)]()([=+-dy dx x q y x p 的通解. 解: 因 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-
∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1=)(x p , 故 ⎰=dx x p e x )()(μ. 方
程
两
边
同
乘
以
⎰
=dx
x p e x )()(μ得
⎰dx x p e
)(0)]()([)(=⎰+-dy e dx x q y x p dx x p , 即
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎰-⎰⎰dx e x q ye d ds
s p dx
x p )()()(0=, 故通解为
⎰⎰
-⎰
dx e x q ye ds
s p dx
x p )()()(=C ,
即⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-dx e x q C e y ds s p dx x p )()()(,(C 为任意常数).
情况2 如果(1.1)具有形如)(y x ±μ的积分因子, 令y x z ±=, 则
)(y x ±μ =)(z μ. 由(1.4)得
dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1
, 于是得到:
定理2.3 微分方程(1.1)具有形如)(y x ±μ的积分因子的充要条件为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1
只是y x z ±=的连续函数, 此时积分因子为
dz x y x N y y x M y x M y x N Ce
y x z ⎰=±=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂-∂∂),(),(),(),(1
)()( μμ, (C 为任意非零常数).
例2.2 求 0)32()32(32233223=-+++-++dy x x xy y dx y y y x x 的积分因子.
解: 因
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1
=y x +-2 故方程具有形如)(y x +μ的积分因子, 取1=C 得,
)(y x +μ⎰=++-
)
(2
y x d y x e
=
2
)(1
y x +.
情况 3 如果(1.1)具有形如)(xy μ的积分因子, 令xy z =, 则
)(xy μ=)(z μ. 由(1.4)得
dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1
, 于是得到:
定理2.4 微分方程(1.1)具有形如)(xy μ的积分因子的充要条件为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1
只是xy z = 的连续函数, 此时积