微分方程的积分因子求解法

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全微分方程与积分因子法

已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分．但这种方法
要求熟记一些简单二元函数的全微分，如
ydx＋xdy＝d（x，y）
ydx－xdy y2
＝d（
x y
）
－ydx＋xdy x2
＝d（
x y
）
ydx－xdy ＝d（ιn｜ x ｜）
xy
y
ydx－xdy x2＋y2
＝d（arctg
x y
）
｜｜ ydx－xdy x2－y2
的通解为
μ（x，y）＝∫x0xP（x，y）dx＋∫y0xQ（x，y）dy＝C
（7）
其中点（x0，y0）可在与路径无关的单连通区域 G 内任意取
得．很多情况下都选（0，0）为（x0，y0），只有当点（0，0）不在上述
单连通区域 G 内，才考虑其他点作为曲线积分的始点．
坠p －坠Q 坠y 坠x
－P
这里 φ 仅为 y 的函数．从而求得方程（1）的一个积分因子 μ＝
e 。 ∫φ（y）dy
例 4 试用公式法解线性微分方程（8）
解：将（8）式改写成［Q（x）－P（X）Y］DX－DY＝0
（10）
这时由公式，μ（x）＝e∫p（x）dx．以 μ（x）＝e∫p（x）dx 乘上（10）式得到
或 y＝e－∫p（x）dx［∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C］
2．公式法
由同一个方程
ydx－xdy＝0
可以有不同的积分因子 1 y2
，
1 x2
，
1和 1 xy x2±y2
．可以证明，只要方程有解，则必有积分因子存在，
并且不是唯一的．因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因

微分方程的积分因子

在求解某些类型的微分方程时，可以使用积分因子（integrating factor）来简化方程的求解过程。

积分因子是一个乘法因子，可以乘以微分方程的两边，使其变为可积分的形式。

对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶线性常微分方程，其中P(x) 和Q(x) 是已知函数，可以使用积分因子来求解。

积分因子的计算步骤如下：
1.将方程写成标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)。

2.计算积分因子μ(x) = exp(∫P(x)dx)。

3.将积分因子乘以原方程的两边，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。

4.左侧的第一项可以通过链式法则化简为d(μ(x)y)/dx。

5.整理得到d(μ(x)y)/dx = μ(x)Q(x)。

6.对上述等式两边同时积分，得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx。

7.最后，解出y = (1/μ(x)) ∫μ(x)Q(x)dx。

通过引入积分因子，原本的一阶线性常微分方程可以转化为可积分的形式。

积分因子的选择依赖于方程中的函数P(x) 和Q(x)，使得乘以积分因子后，方程的左侧可以写成导数的形式，从而方便求解。

需要注意的是，不是所有的一阶线性常微分方程都可以使用积分因子法求解，这种方法适用于特定类型的方程。

在具体求解时，还需要根据具体方程形式和条件进行判断和处理。

全微分积分因子

全微分积分因子全微分积分因子是微分方程中的一个重要概念，它在解决微分方程的问题时起到了至关重要的作用。

本文将从全微分的定义、积分因子的概念以及如何确定积分因子这三个方面进行阐述。

全微分是微分学的一个重要概念，它是指一个函数在某一点附近的微小变化。

在数学上，全微分可以通过求偏导数来表示。

对于函数f(x,y)，它的全微分可以表示为df=f_xdx+f_ydy，其中f_x和f_y 分别表示f对x和y的偏导数，dx和dy表示自变量x和y的微小变化量。

全微分的概念是微分方程求解中的关键，通过对方程进行全微分，可以将其化简为可积分的形式。

积分因子是指用于求解非恰当微分方程的一个乘法因子，通过乘以这个因子，可以将非恰当微分方程转化为恰当微分方程。

对于一个一阶微分方程Mdx+Ndy=0，如果存在一个函数μ(x, y)，使得μMdx+μNdy=0是恰当微分方程，那么μ就是这个微分方程的积分因子。

积分因子的作用在于将原方程乘以积分因子后，可以使得新方程满足恰当微分方程的条件，从而利用恰当微分方程的性质来求解。

确定积分因子的方法有很多，常用的方法包括查表法、分离变量法、恰当微分方程的判别法和常数变易法等。

其中查表法是一种快速确定积分因子的方法，通过查表可以找到常见的一些微分方程的积分因子。

分离变量法是一种常用的确定积分因子的方法，通过将方程进行变形，使得方程的两边可以分离变量，从而求得积分因子。

恰当微分方程的判别法是一种判断方程是否是恰当微分方程的方法，如果一个方程满足恰当微分方程的条件，则可以确定它的积分因子。

常数变易法是一种通过引入一个未知函数来确定积分因子的方法，通过求解这个未知函数，可以得到积分因子的表达式。

在实际应用中，确定积分因子是求解非恰当微分方程的关键一步。

通过确定积分因子，可以将非恰当微分方程转化为恰当微分方程，从而利用恰当微分方程的性质来求解。

积分因子的选择不仅要满足方程的形式要求，还要考虑计算的复杂度和求解的效果。

微分方程求解方法

微分方程求解方法微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

微分方程求解是通过已知条件找到满足方程的未知函数的过程。

根据方程的类型和性质，有多种解法可供选择。

一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形式为dy/dx = f(x)g(y)，可以通过变量的分离和积分的方法进行求解。

具体步骤如下：1. 将方程变形为dy/g(y) = f(x)dx。

2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。

3.求出积分的表达式，然后求解原方程。

二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过线性变换和积分的方法进行求解。

具体步骤如下：1. 通过线性变换将方程变为dy/dx + yP(x) = Q(x)P(x)。

2. 确定积分因子μ(x) = e∫P(x)dx。

3. 将原方程两边同时乘以μ(x)，并进行化简得到d(yμ(x))/dx = Q(x)μ(x)。

4. 对等式两边同时积分得到∫d(yμ(x))/dx dx = ∫Q(x)μ(x)dx。

5.求出积分的表达式，然后求解原方程。

三、二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0，可以通过特征根法求解。

具体步骤如下：1. 假设解的形式为y = e^(mx)。

2. 将形式代入原方程，得到特征方程m² + pm + q = 0。

3.求解特征方程得到特征根m₁和m₂。

4.根据特征根的情况，得到相应的通解。

四、二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = f(x)，可以通过常数变易法求解。

具体步骤如下：1.假设原方程的特解为y=u(x)，将其代入原方程，得到关于u和它的导数的代数方程。

2.根据原方程的非齐次项f(x)的形式，设定特解的形式。

2.2-线性微分方程(积分因子法)

s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)
二伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)

1.5全微分方程及积分因子 .

2 y
(x,y)
(0,0)
u( x, y )

x 0 x

( x, y)
( 0, 0 )
M ( x, y )dx N ( x, y )dy
y 0
M ( x,0)dx N ( x, y)dy 2 xdx (sin x x e 2)dy
y 2 y
0
0
x y sin x x (e 1) 2 y y sin x x 2e y 2 y.
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0, (1)
(2).
4
为恰当方程的充要条件是
M ( x, y ) N ( x, y ) , y x
常微分方程
绵阳师范学院
u 证明 “必要性” 设(1)是恰当方程, 则有函数 ( x, y ), 使得
u u du( x, y ) dx dy M ( x , y )dx N ( x , y )dy x y
故有
u M ( x , y ), x
2 u M , yx y
u N ( x, y ) y
从而
2 u N . xy x
2u 2u , y x x y
2u 2u 由于和都是连续的从而有 , yx xy
12
常微分方程
绵阳师范学院
(3 x 2 6 xy2 )dx (6 x 2 y 4 y 3 )dy 0 的通解. 例2 求方程
解:
由于M ( x, y) 3 x 2 6 xy2 , N ( x, y) 6 x 2 y 4 y 3 ,
N ( x , y ) M ( x, y) , 12xy x y

一类典型微分方程积分因子的求法

）Ｐ＋ｘＱ— Ｃ，＂ｆ）一２Ｃ
例求方程
２Ｐ一，（，＝２ｚ再由ｘＰ＋ＹＱ＝，）Ｚ’ ）ｚｘＰ，＇（两边关于戈求导可得Ｐ＝厂（一ｍＰ — ｘ）ｘ
ＹＱ， “ 于是
积分因子，并求其通解．
ＰｌｎｍｉｓｗｔｐｉａｏｓｔｏｙｏａｈＡｐｌｔｎｏＮｕｍｅｃｌＡｎｙｉ．ＪＩｓ．ｌｉｃｉｉｒａａ８８．ｎｔｌ
［］ＪＣｕｈｒＴｅＮｍｒａＡａｓｆｒｉｒＤｆｒｎａ１．．Ｂｔｅ，ｈｕｅｃｎｌｉｏＯｄａｉｅｔｌｃｉｌｙｓｎｙｅｉ
文章编号：０８—１０（０１０１０４２２１）２—０７ｏ２４一２
一
类典型微分方程积分因子的求法①
沈浮，王金山，王鹏
（放军炮兵学院数学教研室。安徽合肥２０３）解３０１
摘
一
要：讨论了一阶微分方程有形如＝（
＝ｙ
若方程Ｐ＋ｄｘ２Ｃ；ｙ＝ｏ）一 ’ 一 … ｙｙ — Ｊ—ｕ）Ｐ）＝（
满足ｙＰ一Ｑ＝，）和（
＝
＋ｙ的函数．定理２若方程（）满足条件：Ｐ＋ｒＱ＝１ｎ
推论２若方程（）满足条件＂＋ｙＱ：１－ＰＸ｜ｋ非零常数）和（ｊ为｝（ｋ＋ｃＰ）＝Ｃ＋则方程（）Ｑ，１有积分因子
，一ｙＶ一

微分方程的积分因子求解法

常微分方程的积分因子求解法内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。

关键词：全微分方程，积分因子。

一、基本知识定义1.1 对于形如0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1）的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+,则称（1。

1）为全微分方程.易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）.定理1。

1 （全微分方程的判别法)设),(y x M ，),(y x N 在x ,y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则(1.1）是全微分方程的充要条件为xy x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( （1。

2) 证明见参考文献[1].定义1。

2 对于微分方程(1。

1）,如果存在可微函数),(y x μ，使得方程),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3）是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程(1。

1）的积分因子。

定理1。

2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为x y x y x N ∂∂),(ln ),(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=xy x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( （1。

4）证明：由定理1。

1得，),(y x μ为微分方程(1。

1）的积分因子的充要条件为xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ，展开即得： x y x y x N ∂∂),(),(μ—y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y y x M μ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂。

上式整理即得（1。

求解积分因子的方法整理

求解积分因子的方法整理积分因子是用于求解微分方程中的一种工具。

它是通过对微分方程进行一定的变换，使得变换后的微分方程可以方便地进行求解。

本文将介绍一些常用的求解积分因子的方法。

1. 修补法修补法是一种常用的求解一阶非线性微分方程积分因子的方法。

例如，考虑形如 y' + P(x)y = Q(x) 的微分方程。

我们可以将其变形成：y' + P(x)y - Q(x) = 0然后，我们找一个函数 f(x) 使得 f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] 是一个完全微分方程，即：f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)y]然后，我们令其等于 0，即可得到：这个方程的通解为：f(x)y = C，其中 C 为常数。

因此，我们可以将积分因子 f(x) 确定为：f(x) = e^{\int P(x)dx}2. 常数变易法然后，我们令其积分因子为 f(x)，即：考虑求出 f(x) 应满足的条件。

由于积分因子 f(x) 是一个乘积，因此其导数应该可以表示成一个和式，即：其中 A 和 B 是常数。

解这个常微分方程可以得到：其中 C 是常数。

因此，我们就得到了积分因子 f(x)。

3. 两类微分方程的积分因子对于形如 y' + P(x)y = Q(x) 和 y' - P(x)y = Q(x) 的微分方程，它们的积分因子分别为：其中，P(x) 和 Q(x) 是已知的函数。

对于形如 y'''+P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=S(x) 的三阶及以上的线性微分方程，我们可以通过求其特征方程来确定其积分因子。

特别地，当其特征根为实根时，其积分因子可以表示为：当其特征根为复根时，其积分因子可以表示为：f(x) = e^{\alpha x}[\cos(\beta x) + \alpha^{-1} \sin(\beta x)]其中，\alpha 和 \beta 是特征根的实部和虚部。

常微分方程常见形式及解法

常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。

简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。

接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。

一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。

齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。

一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。

2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。

当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。

常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。

二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。

对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。

例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。

2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。

原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。

全微分方程及积分因子

全微分⽅程及积分因⼦1.5 全微分⽅程及积分因⼦⼀、全微分⽅程的定义及条件则它的全微分为是⼀个连续可微的函数设,),(y x U U =dy yU dx x U dU ??+??=如果我们恰好碰见了⽅程0),(),(=??+??dy yy x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分.),(c y x U=定义1使得若有函数),,(y x U dyy x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分⽅程)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分⽅程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0=+ydx xdy 0)2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0)()(=+dy y g dx x f 是全微分⽅程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分⽅程的定义需考虑的问题(1) ⽅程(1)是否为全微分⽅程?(2) 若(1)是全微分⽅程,怎样求解?(3) 若(1)不是全微分⽅程,有⽆可能转化为全微分⽅程求解?2 ⽅程为全微分⽅程的充要条件定理1则⽅程偏导数中连续且有连续的⼀阶域在⼀个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M )1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分⽅程的充要条件是).2(,),(),(x y x N y y x M ??=??)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M证明“必要性”设(1)是全微分⽅程,使得则有函数),,(y x U dy yU dx x U y x dU ??+??=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M xU =??),(y x N y U =??从⽽从⽽有都是连续的和由于,22y x U x y U ,22y x U x y U ???=???故.),(),(xy x N y y x M ??=??yx U y N x y U y M =??=??22,“充分性”，xy x N y y x M ??=??),(),(若解这个⽅程得看作参数把出发从,,)5(y 满⾜则需构造函数),,(y x U )4(,),(),(),(dy y x N dx y x M y x dU +=即应满⾜)5(),,(y x M x U =??)6(),,(y x N yU =??ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j,)(的任意可微函数是这⾥y y j =??y U 因此ò??-=)7(),()(dx y x M y N dy y d j ,)7(⽆关的右端与下⾯证明x 的偏导数常等于零即对x 事实上]),([ò??-??dx y x M y N x ]),([ò-??=dx y x M yx x N )6(),,(y x N y U =??即同时满⾜使下⾯选择),6(),(U y j ò+??dy y d dx y x M y )(),(j N =ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j]),([ò-??=dx y x M x y x N yM x N ??-??=.0o积分之得右端的确只含有于是,)7(,y ,]),([)(dy dx y x M y N y òò??-=j 故ò=dx y x M y x U ),(),(,]),([dy dx y x M yN òò??-+(8)。

积分因子的分组求法

积分因子的分组求法
积分因子是解决常微分方程中非齐次线性方程的有力工具，但对于一些复杂的方程，求解积分因子可能会较为困难。

此时，我们可以尝试使用分组求法来求解积分因子。

具体来说，我们可以将方程中的项分为多个组，每个组中包含同一种类型的项。

然后，我们可以分别对每个组求积分因子，最后将所有的积分因子乘起来得到整个方程的积分因子。

例如，对于如下的非齐次线性方程：
$$y'' + 2xy' - 3y = 2x^2 e^x$$
我们可以将方程中的项分为两组：
$$y'' - 3y = 0$$
和
$$2xy' = 2x^2 e^x$$
对于第一组，我们可以直接使用常数变易法求出其积分因子为$e^{-sqrt{3}x}$。

对于第二组，我们可以使用变量分离法求出其积分因子为 $x^2$。

因此，整个方程的积分因子为：
$$e^{-sqrt{3}x} cdot x^2 = x^2 e^{-sqrt{3}x}$$ 通过分组求法，我们成功地求解了该方程的积分因子。

- 1 -。

关于一阶常微分方程积分因子的求法

关于一阶常微分方程积分因子的求法摘要目前关于一阶常微分方程积分因子的求解方法介绍比较零散，一般的教科书中大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x或y的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间.一阶常微分方程灵活多变，有多种不同的方程类型，因而可针对不同类型的方程，研究与其适应的求解方法. 本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地总结出一些较为规律的求解方法：观察法、公式法和分组法，给出这些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，通过对这三种方法的研究，解决了某些一阶常微分方程的求解问题.关键词一阶，积分因子，全微分方程，观察，公式，分组，通解The Solution about First Order DifferentialEquation of Intergral FactorABSTRACTAt present about first order differential equations solving method of integral factor is introduced, the comparison scattered in general mostly confined to a textbook, such as some simple formula general give only contain x or y unary function of integral factor of the situation, rarely involve the condition of dual integral factor of sapce and no system, so overall summary of integral factor of sapce has broad research space. A flexible and order ordinary differential equations, and there are many different types of the equation, thus the equation of different types, with the solving method to study. This topic will be based on the definition and properties of integral factor, through different classification method andway of integrating factors in original for the foundation, on the various sapce for deepening and expanded, systematically summarizes some relatively regular solution: observation, formula and grouping law, given these methods using conditions, and feasibility of the method is proved that combined with concrete problems are discussed, based on the three methods to study and resolve some of the first order differential equation problem solving.KEYWORDS first-order,Integral factor, observation,formula,grouping,general solution.目录1 引言 (1)2 几种变系数齐次线性方程的求解方法 (1)2.1 降阶法 (1)2.2 常系数化法 (8)2.3 幂级数法 (17)2.4 恰当方程法 (20)3 结束语 (23)4 致谢语 (23)参考文献 (24)1 引言常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一。

伯努利微分方程的积分因子

伯努利微分方程的积分因子伯努利微分方程是一类常见的非线性微分方程，它的形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，其中n不等于0和1，P(x)和Q(x)是已知函数。

解伯努利微分方程的一个重要方法是使用积分因子。

积分因子是将伯努利微分方程转化为恰当微分方程的一个乘数。

通过选择合适的积分因子，我们可以将原方程改写成恰当微分方程，从而更容易求解。

我们考虑伯努利微分方程的一般形式dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n。

假设我们找到了一个函数μ(x)，使得μ(x)乘以原方程的两边后变为一个恰当微分方程。

即，我们希望存在一个函数μ(x)，使得μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)y^n可以写成d(u(x)y)/dx = d(v(x))/dx的形式，其中u(x)和v(x)是某些函数。

为了找到这个积分因子μ(x)，我们可以通过对原方程两边乘以μ(x)的方法进行求解。

具体而言，我们将原方程乘以μ(x)后，希望得到一个关于u(x)y的恰当微分方程。

通过合理的选择μ(x)，我们可以消去原方程中的非恰当部分，从而将方程转化为恰当微分方程。

例如，对于形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n的伯努利微分方程，我们可以选择积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx)。

这样，我们将原方程乘以μ(x)后得到e^(∫P(x)dx)dy/dx + P(x)e^(∫P(x)dx)y =Q(x)e^(∫P(x)dx)y^n。

可以发现，这个方程可以写成d(e^(∫P(x)dx)y)/dx = Q(x)e^(∫P(x)dx)y^n的形式，即关于u(x)y的恰当微分方程。

通过这种方法，我们将原伯努利微分方程转化为了恰当微分方程，从而可以更容易地求解。

接下来，我们可以使用常见的求解恰当微分方程的方法，如分离变量、积分等，来求得伯努利微分方程的解。

需要注意的是，选择合适的积分因子是解伯努利微分方程的关键步骤。

一阶微分方程三类积分因子的计算

（令“＝２，ｂ＝１）
一（２ｘ十ｙ）３（ｚ一２ｙ）十：ｃｙ（ｙ２—４ｘ２）
５—（２ｘ辈ｙ蔫［－（２并ｘ焘券ｙ器‰ｘｙ一一（２ｘ＋ｙ）［（２ｚ＋ｙ）２（２ｙ—ｚ）＋ｘｙ（２ｘ—ｙ）］
ａＮａＭ
熹ｂＭ一要ａＮ一＋）
一志２ｘ＋ｙ刈２ｚ州＋ｖ）２（２一ｚ）＋（２ｚ—ｖ）］一——一一Ｊ¨ｚ１＿ｙ７
１．卢（ｚ，ｙ）＝Ｆ（ｎｚ十６ｙ），２．Ｐ（ｚ，ｙ）＝Ｇ（ｚｙ）．３．户（ｚ，ｙ）＝ｅｘｐＦｆｆ（ｚ）如＋Ｊ’ｇ（ｙ）出］三种形式的积分因子的
充要条件．
关键词恰当方程；积分因子
中图分类号：０１７５
文献标识码：Ａ
文章编号：１００２－－０７３Ｘ（２００２）０３一００５２一０４
一阶微分方程Ｍ（ｚ，ｙ）ｄｚ＋Ｎ（ｚ，ｙ）ｄｙ：Ｏ（１）当百ａＭ一百ａＮ时，称方程（１）为恰当方程。对于恰当方
Ｇ（ｘｙ）Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｇ（ｘｙ）Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０
即
ｚｚ－，！ｖ－－（ｘｙ２一ｙ）ｄｘ＋击‘ｚ≯，３，一３ｘ）ｄｙ２ｏ
（ｙ－－Ｚ去）出＋（Ｐ３Ｖｙ）ｄｙ２。舛ｚ＋斑ｙ－土。ｄｚ一专ｄｙ＝ｏ
得全微分方程ｄ（ｘｙ—ｌｎｘｙ３）＝０所以．得方稗的诵锶．ｚｖ—ｌｎｘｖ３＝Ｃ
３．具有形为ｐ（ｘ。ｙ）＝ｅｘＰｉｌｌ（ｘＩ出＋ｆｇ（ｙ）ｄｙ］积分因子的条件命题３一阶微分方程Ｍ（ｚ，ｙ）如＋Ｎ（ｚ，３，）出一ｏ，具有形为Ｐ（ｚ，ｊ，）一ｅｘｐ［ｆｆ（ｚ）出＋Ｊ－ｇ（ｙ）出］积
第２３卷第３期２００２年６月
衡阳师范学院学报（自然科学）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｎｇｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
ＮＯ．３Ｖ０１．２３ＪＵＢ．２００２

微分方程积分因子的求法

微分方程积分因子的求法罗伟东【摘要】利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。

因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。

但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。

但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。

通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。

所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式相近的积分因子。

如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。

如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。

同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。

【关键字】微分方程，积分因子，求解方法【目录】引言 (1)目录 (2)一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子§ 1、与()x y αβμ有关的积分因子 (3)§ 2、与()m n ax by μ+有关的积分因子 (4)二、微分方程积分因子求法的推广§ 1、满足条件()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 (7)§ 2、方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (10)§ 3、方程13()30m m m x m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦积分因子 (12)§ 4、方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (13)参考文献 (15)一、()x y αβμ和()m n axby μ+两类积分因子引言：微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。

1.5 全微分方程及积分因子

哈尔滨工程大学
1. ydx ( y 2 x )dy 0 2. xy 3dx ( x 2 y 2 1)dy 0
高等数学
[例4] 解方程 ydx ( y x )dy 0
2
哈尔滨工程大学
1 2 [解] ( 2 ) [ ydx xdy y dy] 0 y 2 2 y y
1) 方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0存在仅与x有关的积分因子 ( x , y ) ( x )的充要条件为
高等数学
1 M N ( ) N y x
仅与x有关,这时该方程的积分因子为
1 M N ( x ) dx ) ( x) e , 这里 ( x ) ( N y x
积分因子的确定
高等数学
( x , y )是方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0的积分因子的
充要条件是 : ( x , y ) M ( x , y ) ( x , y ) N ( x , y ) y x
即
哈尔滨工程大学
M N N M ( ) x y y x
2）微分方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0有一个仅依赖
哈尔滨工程大学
于y的积分因子的充要条件是
1 M N ( ) M y x
仅与y有关,这时该方程的积分因子为
高等数学
( y ) dy ( y) e ,
1 M N 这里 ( y ) ( ). M y x
高等数学
1 2 (2xydx x dy ) de d ( y ) 0 2 1 2 2 d(x y y ex ) 0 2 1 2 2 x 所以 x y y e c 2

（整理）几种特殊类型积分因子的求法

（整理）⼏种特殊类型积分因⼦的求法运⽤积分因⼦⽅法求解⼏种特殊类型微分⽅程⽅⼩，数学与计算机科学学院摘要:针对满⾜某些条件的微分⽅程,着重研究如何直接地、有效地求出其积分因⼦的⽅法,从⽽⽅便快捷地求出其通解.引⾔：⽅程取形式0y ),(),(=+d y x N dx y x M 时的求解问题教材中主要介绍了五种类型的初等解法，实际上作为基础的还是恰当微分⽅程，其他类型均可借助积分因⼦化为这种类型，掌握⼀些特殊类型的积分因⼦求法及部分特殊结构微分⽅程的积分因⼦的求法，从⽽⼤提⾼解微分⽅程的效率和可操作性.⼀.⼏种特殊类型结构的微分⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因⼦的求法1．常见⼀阶微分⽅程⼏种运⽤积分因⼦转化成恰当微分⽅程 1.1可分离变量⽅程)()(y x f dxdyφ=很容易求得积分因⼦为)(1y ?µ=例求0)1()(=--++-dy y x xy dx x xy 的积分因⼦解：变形为0)1)(1()1(=+-+-dy y x dx y x积分因⼦为)1)(1(1)()(1),(12--==y x y q x p y x µ⽅程两边乘以上积分因⼦得：0111=-++-dy y y dx x x 两边积分得原⽅程的通解为C y x y x =--++2)1)(1ln(1．2 线性微分⽅程设),(y x f 及yf连续，试证⽅程0),(=-dx y x f dy 为线性微分⽅程它有仅依赖于x 的积分因⼦.证明：设⽅程0),(=-dx y x f dy 是线性微分⽅程.即存在)(),(x h x g 使得)()(),(x h x yg y x f +=)(,1),()(),(M x g x g N x Ny M N x h x yg y x f -=-=??-=--=-= 所以，⽅程具有积分因⼦=-dxx g e )(µ这即证明了⽅程有仅依赖于x 的积分因⼦.例2 :解⽅程: 0)cos sin ()sin cos (=++-dy x x x y dx x y x y 解: ∵x x x y N x x x y M cos sin ,sin cos +=-= y M yMx N =??-??于是积分因⼦为:y ydy e e u =?=∴通解为:C x x y x x e y =-+)sin sin cos (.1.3 伯努利微分⽅程⽅程的积分因⼦是))((y ?=---dx x p n neµ证明：设伯努利⽅程为n y x q y x p dx dy)()(+=，)1,0(≠n改写为,0)()(=--dx y x q ydx x p dy n乘以得ny - 0)()(y 1=----dx x q dx y x p dy n n即,0)()1()()1()(11=------dx x q n dx y x p n y d n n再乘以?)()1(得--dxx p n e )()1(,0)()1(])()1()([)()1(11=-?-------dx x q n edx y x p n y d dxx p n n n即.0])()1([][)()1()(1(1=?--??-----dx e x q n d ey d dx x p n dx s p nn这是全微分⽅程，因此所求积分因⼦是))((y ?=---dx x p n n eµ例求2y sinx)(cosx -=+y dxdy的积分因⼦及通解解：积分因⼦x dxx p n e y e y y x ---=?=2)(),(µ原⽅程两边同乘以xey --2，并化为对称式为dx e x x dx e y dy e y x x x -----=+)sin (cos 12凑微分为：)sin ()(1x e d y e d x x ---=-两边同时求积分得：C y e x e x x =+---1sin证明由于,),(),(,),(),(yN xM y x N y x N yN xM y x M y x M +=+=µµ则有2)()()()(yN xM yN y N y N x M yN xM y M y M +++??-+??=??µ2)(yN xM y NyM MN y M yN +--=,同理，2)()(yN xM x MxN MN x N xM xN +--=??µ，由于⽅程是齐次的，我们不妨设),(),(y x N y x M 和是m 次齐次函数，则有N m y y Nx x M m y y M x x M ?=+?=+N 与由上⾯两个式⼦可推出xMxN x xM y N yM y M yN -=+N ，从⽽得到xN y M ??=??)例 02)3(22=+-x y d xdy x y解此为齐次⽅程，故有积分因⼦)(1)32(1)(123232y x y y x y y x Qy Px -=-+=+=µ乘以积分因⼦，原⽅程化为0)]()3[()](2[232222=--+-dy y x y x y dx x y x这是⼀个全微分⽅程，它的通解为C dx y y dx x y xy xln 00213222=--+-??C y x y y =+--ln )ln(ln 222其中C 为常数2、具有特殊结构的⼀阶微分⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因⼦的求法 2.1⽅程0)()()()(=+y Q x P dx y N x M 有积分因⼦:)()(1x P y N =µ显然,直接验证可得µ=)()(1x P y N为上式的积分因⼦.若)()()()())(y P x Qf x Q y P ?-=??-??，则?=+dyy dx x f e )()(?µ是⽅程的积分因⼦)(3()1)(6(222yxy y x xy x -+--+-==)2()1(yP x Q --- 故有积分因⼦2211xy edyy dx x ==---µ 于是原⽅程化为0)6)()13(2=+-+dy y x dx y x即0])()1[(6)3(2=-+-dy y x dx y dy dx x这是⼀个全微分⽅程，积分得出通解为C y x y x =+-6ln 3或cy x y x y =+-26ln 32.2 设函数)(),(u g u f 连续、可微且,则⽅程0)()(=+dy xy xg dx xy yf 有积分因⼦: )]()([1xy g xy f xy -证明:令µ=xy ,则原⽅程可化为0)()]()([=+-µµµd g dx xg u f u (1)(1)式两边同乘以)]()([1()([)(=--du g f g x dx µµµµ 显然(2) 为恰当⽅程,故(1) 有积分因⼦)]()([1µµµg f -,,因⽽原⽅程有积分因⼦)]()([(1xy g xy f xy -,但对于⼀个较复杂的⽅程,往往不容易直接求得它的积分因⼦.例 0)(12332=-+-dy y x y x dx y x 解原⽅程化为0)1()1(2222=-++dy y x x dx y x y因为 02)1()1(2222≠=--+y x y x ,故有积分因⼦xyy x y x xy 21)]}1()1[({12222=--+=µ乘上xy21=µ得 021********=-++dy x ydy x dx x dx xy 即0)(2)(222=-++ydyx dx ydy x dx xy ⼆．针对满⾜某些条件的微分⽅程，运⽤积分因⼦⽅法求出通解.但是如果把它的左端分成⼏组,⽐如分成两组:0)()(2211=+++dy N dx M dy N dx M (3)后,可分别求得各组的积分因⼦21µµ和,也就是如果有21,µµ 使+11M µ111µµd dy N = +22M µ222µµd dy N =于是借助于21,µµ常可求得0=+NdY Mdx 的积分因⼦.为了说明这⼀点,先注意下⼀事实.如果µ是0=+NdY Mdx 的⼀个积分因⼦,且+M µµµd Ndy =,则)(µµφ也是0=+NdY Mdx 的积分因⼦.此处)(µφ是µ的任⼀连续函数. 事实上µµ?µµµφµµφµµφd Ndy Mdx Ndy dx )())(()(M=+=+）（其中Ф表⽰φ的⼀个原函数.据此知,对于任意的函数)(µφ及)(11µφµ、)(22µ?µ 都分别是(3) 的第⼀组和第⼆组的积分因⼦.函数?φ,有着⼴泛选择的可能性.是0=+NdY Mdx 的积分因⼦.例:解⽅程: 0)1()3(32=+++dy yx dx x x y解:原⽅程改写为0)3()(32=+++dy yx x dy dx x y 显然y x y xy x 32211,,,====µµµµ为使),()(3y x y xy x ?φ=只须取2)(µµφ=,µµ?=)( 于是求得原⽅程的⼀个积分因⼦: 233)()(y x y x y xy x ===?φµ⽽以之乘⽅程的两端,便得0)()36232522=+++dy y x y x dx y x y x于是dx y x y x y x x)3(),(25032+=?µ=)0(2)(3)(233=+c y x xy 取∴通解为:c 2)(3)(233=+y x xy结论1：设),(y x u 是⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因⼦，从⽽求得可微⽅程),(y x U 使)(Ndy Mdx dU +=µ时)(),(1U y x µ?µ=.),(1y x µ也是⽅程的积分因⼦，其中）（t ?是t 的可微函数.结论2：设),(1y x u ，),(2y x u 是⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的两个积分因⼦，且≠211=µµ（任意常数）是⽅程的通解. 结论3：假设当⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 为齐次⽅程时，且为恰当⽅程，则它的通解可表⽰为c d y x yN dx y x xM =+y ),(),(（c 为任意常数）. 参考⽂献（顶格、宋体、⼩四号加粗）：[1] 刘⼴珠.⾼中⽣考试焦虑成因分析[J].陕西师⼤学报（哲社版），1995，24（1）：161-164.（参考⽂献序号在⽂中采⽤右上标注的⽅式，⽤数字加⽅括号表⽰，如[1]，[2]，…，序号应连续。