幂函数知识点练习

幂函数练习

例、函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

分析解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.

解根据幂函数定义得

m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，

当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；

当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3.

点评幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，

其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．

对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．

例3、如图是幂函数y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象，则()

A．-11 D．n<－1，m>1

解析在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

例4、已知x 2

>x 1

3，求x 的取值范围．

错解 由于x 2

≥0，x 1

3∈R ，则由x 2>x 1

3，可得x ∈R .

错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征， 尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布． 正解

作出函数y=x2和y=3

1x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.

分析：底数分别不同而指数相同，可以看作是和。

两个幂函数，利用幂函数的单调性质去理解。

解：(1)(0,+∞)是递增的

又∵1.1<1.4 ∴

利用幂函数的性质比较数的大小。

例3．比较的大小。

分析：三个量比较大小，先考虑取值的符号。

启示：当直接比较大小难以进行时，可以考虑借助一些中间量特殊值，如0，1或其他数来解决。

例6、比较下列各组中两个数的大小： （1）535.1，5

37.1；（2）0.7

1.5

，0.6

1.5

；（3）3

2

)

2.1(－

－，3

2

)

25.1(－－．

解析：（1）考查幂函数y ＝5

3

x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴5

35.1＜5

37.1，

（2）考查幂函数y ＝2

3x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵3

2

)

2.1(－－＝3

22.1－，3

2

)

25.1(－－＝3

225

.1－

，又3

22

.1－

＞3

225

.1－

， ∴3

2

)

2.1(－

－＞3

225

.1－

．

将下列各组数用小于号从小到大排列： （1）2223

3

3

2.5,( 1.4),(3)-- （2）3338

4

2

0.16,0.5,6.25--

（3）1112

13333

2

2253(),(),(),3,()3532

--

解：（1）2

223

3

3

( 1.4) 2.5(3)-<<- （2）3

338

2

4

6.250.5

0.16,--

<<

（3）1121

1333

32

2523()()()()35332

--<<<<

【例1】(1)已知)1()(),1()(>=>=b b x g a a x f x x ,当2)()(21==x g x f 时,有21x x >,则b a ,的大小关系是

A.b a >

B.b a ≥

C.b a <

D.b a ≤ 【捕捉题情】(1)在同一坐标系中画出两个递增的指数函图象； (2)由2)()(21==x g x f 添画一条直线2y =,出现两个交点；

(3)由21x x >确认1x 与2x 的位置,并确认()f x 与()g x 的图象,判断b a ,的大小.

x

y

y=2

O x2x1

f(x)

g(x)

(1)解:在同一坐标系中画出两个递增的指数函图象,

画上直线2

y=,由2

)

(

)

(

2

1

=

=x

g

x

f与2

1

x

x>知在右边的

图象为()

f x的图象,于是由()

g x的图象在y轴右边的增加速

度较快,得b a

>,选C.

(2)函数()x b

f x a-

=的图象如图,其中,a b为常数,则下列结论正确的是

A.01,0

a b

<<< B.1,0

a b

>>

C.01,0

a b

<<> D.1,0

a b

><

(2)解:()

f x的图象由x

y a

=的图象向左平移b个单位得到,可知01

a

<<,

()

f x的图象与y轴的交点(0,)b a-在(0,1)的下方,有1

b

a-<,即0

1

b

a a

>=,当01

a

<<时,函数x

y a

=递减,于是0

b<,选A.

例1已知函数223

()()

m m

f x x m

-++

=∈Z为偶函数，且(3)(5)

f f

<，求m的值，

并确定()f x 的解析式．

分析：函数2

23()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，

(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式．

解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．

又∵(3)(5)f f <，即2

2

2323

35m m m

m -++-++<，整理，得223

315m m -++??< ?

??

，

∴2230m m -++>，∴312

m -<<．

又∵m ∈Z ，∴0m =或1．

当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．

故m 的值为1，2()f x x =．

评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息， 做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．

例2 已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，

问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，

∞是减函数， 且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断， 但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间． 解：∵2()f x x =，则42()(21)1g x qx q x =-+-+．

假设存在实数(0)q q <，使得()g x 满足题设条件，

设12x x <，则4242

121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x -=-+-+--

22

122112

()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--． 若(]124x x ∈--，，

∞，易知120x x +<，210x x ->，要使()g x 在(]4--，∞上是减函数，

则应有2212()(21)0q x x q +--<恒成立． ∵14x <-，24x -≤，∴221232x x +>．而0q <， ∴2212()32q x x q +<.．

从而要使2212()21q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即1

30

q -

≤． 若12(40)x x ∈-，，，易知1221()()0x x x x +-<，要使()f x 在(40)-，上是增函数， 则应有2212()(21)0q x x q +-->恒成立． ∵140x -<<，240x -<<，

∴221232x x +<，而0q <，∴2212()32q x x q +>．

要使2212()21q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即1

30

q -≥． 综上可知，存在实数1

30

q =-

，使得()g x 在(]4--，∞上是减函数，且在(40)-，上是增函数．

评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用

判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断， 但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．

分类讨论的思想

例1 已知函数2

23n n y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，

求n 的值，并画出函数的图象．

解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤， 又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，

由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，． 当0n =时，2233n n --=-不是偶数； 当1n =时，2234n n --=-为偶数； 当1n =-时，2230n n --=为偶数； 当2n =时，2233n n --=-不是偶数； 当3n =时，2230n n --=为偶数； 所以n 为1-，1或3．

此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．

例3已知幂函数2

23m m y x --=（m Z ∈）的图象无交点，且关于原点对称，求

与x 轴、y 轴都

m 的值．

分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值．

解：∵幂函数2

23m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；

∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．

数形结合的思想 例2 已知点

在幂函数()f x 的图象上，点124?

?- ??

?，，在幂函数()g x 的图象上．

问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <． 分析：由幂函数的定义，先求出()f x 与()g x 的解析式，再利用图象判断即可． 解：设

()m f x x =，则由题意，得2m =，

∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1(2)4

n =-，

∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出

()f x 与()g x 的图象，如图

2所示．由图象可知：

（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； （2）当1x =±时，()()f x g x =；

（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．

小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中()g x 的隐含条件0x ≠．

转化的数学思想 例3 函数1

2

24

(42)

(1)y mx x m m mx -

=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是

（ ）． Ａ．

12)， Ｂ．

1)+，∞

Ｃ．(22)-，

Ｄ．(1515)---+，

解析：要使函数1

2

24

(42)

(1)y mx

x m m mx -

=++++-+的定义域是全体实数，

可转化为2

420mx

x m +++>对一切实数都成立，即0m >且

2

44(2)0m m ?=-+<． 解得51m >-． 故选（Ｂ）

例：已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，

且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－3m

＜(3－2a )－3m

的a 的范围．

类型一：求参数的取值范围

例1 已知函数2

23()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，

求m 的值，并确定()f x 的解析式．

分析：函数2

23()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，

只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式． 解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．

又∵(3)(5)f f <，即2

2

2323

35m m m

m -++-++<，整理，得223

315m m -++??< ?

??

，

∴2230m m -++>，∴312

m -<<．

又∵m ∈Z ，∴0m =或1．

当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数． 故m 的值为1，2()f x x =．

评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，

做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．

类型二：求解存在性问题

例2 已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，

使得()g x 在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？

若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，

但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间． 解：∵2()f x x =，则42()(21)1g x qx q x =-+-+．

假设存在实数(0)q q <，使得()g x 满足题设条件，

设12x x <，则4242

121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x -=-+-+--

22

122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--．

若(]124x x ∈--，，

∞，易知120x x +<，210x x ->， 要使()g x 在(]4--，

∞上是减函数，则应有2212()(21)0q x x q +--<恒成立． ∵14x <-，24x -≤，∴221232x x +>．而0q <， ∴2212()32q x x q +<.．

从而要使2212()21q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即1

30

q -

≤．

若12(40)x x ∈-，，，易知1221()()0x x x x +-<，要使()f x 在(40)-，上是增函数， 则应有2212()(21)0q x x q +-->恒成立． ∵140x -<<，240x -<<，

∴221232x x +<，而0q <，∴2212()32q x x q +>．

要使2212()21q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即1

30

q -

≥． 综上可知，存在实数1

30

q =-，使得()g x 在(]4--，

∞上是减函数， 且在(40)-，上是增函数．

评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．

判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断， 但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．

类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况

例3 讨论函数2

221()k k y k k x --=+在0x >时随着x 的增大其函数值的变化情况．

分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论． 解：（1）当20k k +=，即0k =或1k =-时，0y =为常函数； （2）当

2210k k --=时，1k =1k =

（3）2

20210k k k k ?+>??--

，

即01k <

（4）当2

20210k k k k ?+>?

?-->??

，，即1k <-或1k >x 的增大而增大；

（5）当2

20210k k k k ?+

，

即10k <<时，函数为增函数，函数值随

x 的增大而增大；

（6）当220210k k k k ?+??，

，

，即112k -<<-时，函数为减函数，函数值随

x 的增大而减小．

评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，

是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．

幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，

实质上则不然．它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想， 是培养同学们数学思维能力的良好载体． 下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用． 例1 若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围．

错解（数形结合）：由图１可知10320132m m m m +≠??-≠??+>-?

，

，，

解得

2

3m >

，且32

m ≠． 剖析：函数1(0)y x x -=≠虽然在区间(0)-，∞和(0)+，∞上分别具有单调性， 但在区间(0)(0)-+U ，，∞∞上不具有单调性，因而运用单调性解答是错误的． 正解（分类讨论）：

（1）10320132m m m m +>??->??+>-?

，

，，

解得233

2

dm <<；

（2）10320132m m m m +-?

，

，，此时无解；

（3）10320m m +

->?

，

，，

解得1m <-．