2-2复合函数的微商与反函数的微商

定理2
设y f x 在 a, b 内连续且严格单调
且其值域为 A, B ,又设其反函数x=g y 在
A, B 内y0处有导数且不为零,则 y f x 在对应点x0 =g y0 处有导数,且
1 f x0 g y0 或 f x0 g f x0
证
1
.
例、 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 则
y (
1

2
,

2
),
cos y 0 , 则
1 (sin y ) cos y
1 sin 2 y
利用 arccos x arcsin x 2 类似可求得
x y a (a 0 , a 1) , 则 x log a y , y ( 0 , ) 2) 设
(C u ) C u ( C为常数 ) u u v u v (v 0) 2 v v
说明: 最基本的公式 (C ) 0
3. 复合函数求导法则
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
1. 常数和基本初等函数的导数
(C ) 0 (sin x) cos x (tan x) sec 2 x
(a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a 1
( x ) x (cos x) sin x (cot x) csc 2 x ( e x ) e x
1 (log a y )
1
1 y ln a
y ln a
特别当 a e 时, ( e x ) e x 小结:
( arcsin x) ( arctan x)
x (a ) a ln a x
( arccos x) ( arc cot x)
( e x ) e x
2-2 复合函数的微商与反函数的微商 设y f x 在 a, b 上有定义,若其值域包含在
1. ,又设z=g y 在 A, B 上有定义,若 B 之中 A,定理 y f x 在一点x0 a, b 处可导, 且z=g y 在相应的点 y0 f x0 处可导, 则复合函数g f x 在x0处可导, 且有 dg f x g y0 f x0 ,
(ln x )
2
源自文库
1
1 x 1 (arctan x) 1 x2
(arcsin x)
1 x2 1 (arc cot x) 1 x2
(arccos x)
1 x
x0
1
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (u v) uv u v
4. 若初等函数在其定义域 内可导,则其导函数仍为 初等函数 例
(sin x) cos x
(ln x)
1 x
由定义证 , 其它公式
用求导法则推出.
dx
x x0
或写作
dz dz dx x x0 dy
dy dx y y0
,
x x0
如果y f x 及z=g y 在各自的定义域内 可导,则对于任意一点x a, b ,有 dg f x dx 或 g f x f x ,
dz dz dz dz dy dy ,, dx dx dy dy dx dx
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形
例如,
d y d y d u dv d x d u dv d x
f (u ) (v) ( x)
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.