中位数

《中位数与众数》
北师大版五年级下册第七章第三节内容
一、教材分析
数据能够帮助我们认识世界，作出决策和预测。

在统计中，对数据的分析以及作出科学的推断的能力是非常重要的。

平均数，中位数，众数都是描述一组数据的集中趋势的３个数据代表，是帮助学生学会用数据说话的基本概念，平均数学生在三年级下学期已经初步学习，而且在日常生活中应用的非常广泛；但现实生活的事物是多方面的，针对数据中出现“异常值”时该如何评价呢？中位数和众数应运而生。

从知识的掌握看，这一部分内容是对描述一组数据的：集中趋势“的进一步完善，提高数据分析能力。

从数学的应用价值看：从“单一”的“平均数”评价逐步过渡到“多元”的综合评价，起到了承上启下的作用，有利于逐步形成统计观念。

这一部分的教材在编排时注重体现统计内容与学生现实生活的密切联系，教材力求通过选择现实情景中的数据，使学生理解概念的实际意义；着重于对学生日常生活中问题的探索，解决一些实际问题。

二、学情分析
学生的特质是充满了求知欲和好奇心，当这份求知欲和好奇心被激起时，思维会变得更加活跃，他们喜欢通过动手实践来探索解决问题的方法。

而且已初步养成良好的学习习惯，基础知识扎实，具有一定的自主学习、合作探究及解决问题的意识和能力。

学生在前几年已学过用平均数来反映一组数据的集中趋势，本节课是在学生已有的这
些知识及学习经验基础上继续学习表示数据不同特征的统计量——中位数和众数。

三、教学目标
（一）知识与技能目标：
1、在情境中，体会平均数的局限性，认识中位数和众数产生的价值。

2、理解中位数和众数的意义，会求一组数据的中位数和众数，并能在实际生活中加以解释和应用。

3、知道平均数、中位数、众数之间的区别与联系，能根据具体问题选择适当的统计量。

（二）过程与方法目标：
培养学生对统计数据从多角度进行全面分析的能力，从而避免机械的、片面的解释。

（三）情感态度与价值观目标：
统计作为处理现实世界数据信息的一个重要数学分支，必然要求素材本身的真实性，以培养学生求真的科学态度；将知识的学习放在解决实际生活问题的情境中，使学生体会数学与现实的联系。

四、教学重难点
教学重点：掌握中位数与众数的含义，在实际生活中灵活运用，会根据具体问题选择合适的统计量。

教学难点：引导学生体会到中位数和众数的产生价值。

区分平均数、中位数和众数三者的差别，并能在具体情境中选择恰当的数据代
表，对数据做出自己的评判。

五、教法与学法：
数学教学是数学活动的教学，是师生交往、互动、共同发展的过程。

教是为更有效的自主学习服务的。

因此，本节课我采用的教法——讨论发现法。

出示问题情境，通过学生与学生（或教师）之间相互讨论，学习，在问题解决过程中发现概念的形成过程及思想方法的概括过程，进而建立认知结构。

采用以上的教法目的是为了“不教”，是为了让学生学会学习。

因此本节课在学生合作学习的同时，始终坚持对学生进行“学疑结合”、“学思结合”、“学用结合”的学法指导，对学生的自主探究能力加以培养。

这样的教法和学法的选择，是力图通过学生的自主学习体现其主体地位，教师是通过参与学生活动中以启发、调整、激励而体现主导地位。

六、教学环节
一、问题情境中，产生认知冲突
上课伊始，教师先播放一段录像，内容是五年级同学举行的1分钟跳绳比赛情景，其中的参赛选手分为两组，每组7人。

录像播放完后播放一学生的问题：哪个组的跳绳水平好一些呢
[设计意图：素材的选择来源于学生熟知的生活，让数学的学习融于丰富的生活之中，激发兴趣，为探索新知奠定了良好的情感和知识基础。

]
教师接着问学生，想一想用什么数可以比较两组同学跳绳的一般水平呢?学生根据已有的知识经验，一定会想到用平均数。

接着教师出示如下的表格：
师追问：比一比：哪个组同学跳绳的一般水平好一些?
（从直观数据上来，预测学生很自然的会通过平均成绩的高低来判断，都会认为第一组的一般水平更好些）
教师出示这两组同学的跳绳成绩。

(出示数据，学生观察。

)
引导学生说说看到以上每组同学的成绩后的想法？
(在教师的引导、学生自主对数据的分析以及相互之间的讨论中，预测他们会有这样的发现：第一组两名同学的成绩特别好，抬高了平均成绩。

第二组的最后一名于国庆同学比第一组的第三名成绩还要好，第二组大部分同学的跳绳水平比第一组同学好一些。

) 师小结并提出问题：当一组数据中出现个别偏大的数时。

平均数会受到影响，变得比较大。

在这种情况下，用平均数代表第一组选手跳绳的一般水平合适吗?（根据学生已经获得的认知，学生会认为不太合适。

）
[在比较两组同学跳绳水平高低的活动中，我设计了两个环节：先是根据平均成绩比较发现第一组同学的跳绳水平好一些，接着在具体数据的分析中却发现第二组大部分同学的跳绳成绩比第一组的好，学生在这样的情境中产生了认知冲突，发现有时用平均数代表一组数据的一般水平不太合适，这时就需要认识一个新的统计量．这样中位数的引入就水到渠成。

]
[设计意图：提出一个真实的问题，力求创设一种问题情境；疑问是发现之母，通过现实和学生认知上的矛盾激发同学的探索欲望。

在问题的情境中发现，有利于建立新的认知结构。

]
二、合作探究，形成新知
（一）认识中位数
1、教师只出示第一组的跳绳成绩，并问学生在这里用什么数代表第一组同学跳绳的一般水平更合适呢?请同学们在表中找一找，比一比，看谁找到的更合适?
学生思考，小组交流。

汇报结果。

在讨论交流过程中，可能会出现如下几种解决问题的方案：1、去掉成绩最好的和最差的两名同学的成绩，求其他同学成绩的平均数。

2、找到处在最中间位置的同学的成绩来代表他们都一般水平。

[设计意图：学生之间各自发表自己的见解，相互评价，相互完善，在自主探索中发现概念的形成过程，在合作学习中提高学生的整体认知水平。

同时，教师作为参与者，应主动地加入到学生的讨论中，对学生的认识不断地起到促进和调节作用，在讨论的过程中了解学生的认知特点看，不断调整自己的教学。

]
教师对方案解答的要点：（1）为什么去掉最好的和最差的？其实就是要去掉一组数据中的偏大和偏小数据，避免平均数受他们的影响。

体现统计是一门客观公正的科学。

（2）为什么可以用中间的同学来反映这组成绩的一般水平？因为这样的评价更符合实际情况，以此为契机，对学生进行客观公正的科学价值观的培养，同时引出新知——中位数的概念。

教师小结，在这组数据中，大部分同学认为用117代表这组数据的一般水平更合适。

的确，在这组数据中我们也可以用117代表它们的一般水平．在统计中，我们把117叫作这一组数据的中位数。

今天我们就来研究中位数。

(板书——中位数)
2、教师要引导学生根据自己的理解说说什么是中位数。

并体会用中位数来表示这组同学跳绳的一般水平为什么比平均数更合适？
（把一组数据按大小顺序排列，最中间的数就是中位数。

中位数不受偏大或偏小数据的影响。

）
[设计意图：这一环节，由浅入深设置问题串，使学生思维分层递进，目的是突出本节重点，分解了难点；通过追问层层引导，启发学生运用类比、归纳、猜想等思维方法探究问题，揭示概念的实质，不断完善知识结构。

]
3、如果又有一位同学加入了比赛，这时数据发生了变化（出示：175，164，120，117，113，112，109，122）那么这时这组数据的中位数是多少呢，你是怎样想的？
（数据的增加是为了让学生体会数据个数的变化对中位数的影响，同时探究出数据个数为奇数个时，中位数为最中间的数。

个数为偶数时，中位数是中间的两数的平均数）
3．多媒体出示上述表格．学生观察回答下面的问题。

你能找到第二组数据的中位数吗?
教师引导学生思考：这两组同学跳绳的一般情况用中位数和平均数分别来表示。

谁更合适?为什么?
教师小结：中位数和平均数都是描述一组数据“集中趋势“的统计量，平均数比较稳定，它与这一组数据中每一个数都有关系，对这一组数据中所包含的信息最为充分，最为广泛，在统计中有重要作用，但容易受极端数据的影响。

中位数作为一组数的代表，计算容易，不易受极端数据的影响。

[设计意图：这里设计了四个环节：先让学生自主找一个数来代表这组数据的一般水平，因为学生的认识不尽相同，这样他们就可以在比较辨析中初步感知中住数的特点：接着让学生用自己的语言尝试说一说对中位数的理解，既训练了学生的数学表达，又使学生的思维不断清晰起来：再用中位数代表一组数据的一般水平来进行比较，又一次感受有时用中位数分析问题比平均数更合适些；最后在找几组数据中位数和解读有关中位数信息的活动中总结整理找中位数的方法
并理解中位数的统计意义。

这样设计环环相扣、步步深入，符合学生从感性到理性，从具体到抽象的认知规律。

]
（二）众数
1、教师再次出示表格，这次是另外一个小组同学的跳绳成绩的统计。

让学生观察，并想想用哪个数据来表示他们的一般水平合适。

像学生介绍这样的数据叫众数，让学生说说什么是众数（一组数据中，出现次数最多的数据）。

2、出示练习，让学生寻找数据中的众数，目的是让学生体会到一组数据中众数可以有一个，多个，也可以没有众数。

（1）44、44、46、48、48、48、50、50、50、51、53、56
（2）42、44、43、46、48、49、52、50、51、53、54、56 （三）小结
通过刚才的学习，我们又学习了两种新的统计量——中位数和众数，它们之间到底有怎样的区别和联系呢？（中位数和众数都可以描述数据的集中趋势，在一组数据中，中位数只有一个，众数可以有一个、多个、也可以没有；中位数只和数据的位置有关系，众数只和数据出现的次数有关。

）
[设计意图：使学生更深层地意识到：要学会用数据说话，科学地分析身边的事例。

]
三、指导应用，巩固练习
1、老师想做一个现场调查，大家今年的年龄是多大呢？11岁的同学把手举起来，12岁的呢，13岁的呢？我想知道我们班大多数同
学的年龄应该用哪个数来表示呢？为什么？能否用今天学到的知识解释呢?
2、学校要在11名舞蹈能力出众的同学中选出7人表演节目，他们的身高分别为：128、130、14
3、143、14
4、14
5、14
6、14
7、147、160、165（单位：厘米）你来猜猜舞蹈老师会选择哪7人去表演呢？说说你的理由。

刚我们是用生活经验来解释的，那你能否从数学的角度来解释呢？
[设计意图：这一组练习，目的是让学生在具体问题的分析中体会不同情况用不同的统计量来代表一组数据的一般水平。

当有特别偏大的数或有特别偏小数时中住数比平均数更能代表该组数据的一般水平，而在数据比较均衡分布的情况下平均数和中位数都能代表该组数据的一般水平，两者没有优劣之分。

通过这组练习能让学生更加深刻地认识到中位数不受偏大偏小数影响的特点，认识到中位数在怎样的情况下使用更合适，提高学生分析问题和解决问题的能力。

]
3、某鞋店一天内各种型号的鞋卖出的情况如下表所示：（出示统计表）
读懂了吗？
（1）通过统计表，我们能获得哪些信息？
（2）如果你是这家鞋店的经理，针对这组数据提供的信息，会对
你有什么帮助？
（3）如果你是制鞋的生产商，这组数据对你又有什么帮助呢？4、网友创作了这样的打油诗：“张村有个张千万，隔壁九个穷光蛋，平均起来算一算，人人都是张百万”。

对于上面这段话你有何看法？如果人数增多，一万个穷光蛋，十万个穷光蛋，甚至更多，平均数受极端数据的影响是否还是这样大呢？5、看来平均数虽然受到极端数据的影响，但当数据比较多时平均数受极端数据的影响会比较小一些，所以在日常生活中还是被广泛应用，例如考试时学校会计算每个班级的平均分来比较班级的成绩，这是为什么呢？（数据比较多时，平均数受到极端数据的影响会比较小一些）
[评析：紧密联系生活是统计教学的主要特色，在具体的应用联系中，更要挖掘生活中的相关素材，联系生活，趣味横生，不但会让学生感受到学习数学的乐趣，巩固新知，加深理解，更有利于学生明确学习数学的价值，从而主动的去探究。

这样的几道练习题，让学生在经历统计实践活动和对统计数据的分析中进一步感悟中位数、众数，平均数的统计意义。

发展学生的统计意识和统计观念。

渗透辨证全面地分析问题的思想方法。

七、板书设计
中位数与众数
中位数：一组数据从小到大（或从大到小）排列，中间的数称为这组数据的中位数。

（奇数个，最中间的数。

偶数个，中间
两数的平均数）
众数：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。

（一个、多个、没有）。