第二章_复变函数的积分

l l
2、复函数积分的性质 、 条性质与实函数的积分相同 ★6条性质与实函数的积分相同 条性质与实函数的积分相同P23
例：计算积分
∫ Re zdz
l
数学物理方法
分别沿路径(1)和 ， 分别沿路径 和(2)，如图所示 解
Re z = x dz = dx + idy
y
C
i (1)
(2)
A
(1, i)
x
l
数学物理方法
★由格林公式
（曲线积分与曲面积分的关系） 曲线积分与曲面积分的关系）
∂Q ∂P ∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy l S
P = [u( x, y) + iv( x, y)], Q = [−v( x, y) + iu( x, y)
∂v ∂u ∂u ∂v ∫ f (z)dz = −∫∫ (∂x + ∂y )dxdy + i∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy l S S
n inϕ 2π iϕ 0
2π
= iR
n+1
∫
0
e
i (n+1)ϕ
dϕ
数学物理方法
I = iR
n+1
∫
2π
0
ei(n+1)ϕ dϕ
2π 0
= iR
n+1
1 i (n+1)ϕ e i(n +1)
C R
α
l
1 i ( n+1) 2π = iR (e −1) i(n +1) 1 n+1 i ( n+1)ϕ I = iR e n ≠ −1 i(n +1)
1、单通区域柯西定理：如果函数 、单通区域柯西定理： f ( z )在闭单连通区域 B上解析， 上解析， 在 上解析 则沿上任一分段光滑闭合曲线 l l（可以是边界），则有 （可以是边界），则有 ）， 证明
∫ f (z)dz = 0
∫
l
l
f (z)dz
= ∫ u(x, y)dx − v(x, y)dy + i[v(x, y)dx + u(x, y)]dy = ∫ [u(x, y) + iv(x, y)]dx +[−v(x, y) + iu(x, y)]dy
∫ Re zdz = ∫ xdx+ ixdy
l l
(1)路径 路径
l l1
O l1 ⇒ O →C → A
OC CA
B 1
∫ Re zdz = ∫ xdx + ixdy = ∫ xdx + ixdy + ∫ = ∫ 0 + i0dy + ∫ xdx + ix0 1 = ∫ i0dy + ∫ xdx = 2
l 是圆周
z = a, a > 2
数学物理方法
1 解： dz ★有两个 ∫l z2 −1 奇点
z = ±1
y
1 1 1 ∫l z2 −1dz = ∫l1 z2 −1dz + ∫l2 z2 −1dz
1 1 1 1 ∫l1 z2 −1dz = ∫l1 2 ( z −1 − z +1)dz
（1）因为l 1 不包围-1， 被积函数 ）因为 不包围 ，
∫ 所以： ★所以： ∫
★即 ：
l1
f (z)dz = ∫ f (z)dz
l2
l1
f (z)dz − ∫ f (z)dz = 0
l2
∫
l
f ( z )dz = 0
数学物理方法
二、复连通区域
1、复连通区域的含义 、 函数在区域上不可导，存在奇点； ★函数在区域上不可导，存在奇点； 将这些点挖掉所形成的带空区域； ★将这些点挖掉所形成的带空区域； 2、复通区域柯西定理：如果 ( z )在闭复连通区域 、复通区域柯西定理：如果f 在 上的单值解析函数， 上的单值解析函数，则有
1 z −1
解析， 解析，即
∫
l2
1 dz = 0 z −1
1 1 1 1 ∫l2 z2 −1dz = ∫l2 2 ( z −1 − z +1)dz
1 = (0 − 2π i ) = π i 2
y
l2
−1
l1
+1
x
数学物理方法
§2.4
柯西公式
1、柯西积分公式 、
在闭单通区域上解析， 是闭区域的境界线， 若：f(z) 在闭单通区域上解析，l 是闭区域的境界线， α是闭区域内的任一点，则有柯西积分公式 是闭区域内的任一点，则有柯西积分公式
F(z2 ) − F(z1) = ∫ f (ξ )dξ
z1
z2
数学物理方法
例：计算积分
I = ∫ (z −α) dz
n l
为整数） （n 为整数） 解：n ≥ 0 被积函数解析 （1）如果 不包围α，被积函数解析 ）如果l ★则有： 则有：
Rα l
C
(z −α)n dz = 0 ∫
l
但是n （2）如果 包围α，但是 ≥ 0，被积函数亦解析 ）如果l ， ★则亦有： (z −α) dz = 0 则亦有：
n+1
2π 0
=0
n = −1
I = iR
n+1
∫
2π
0
e
i (n+1)ϕ
dϕ = 2π i
数学物理方法
结论： 结论：
1 1 dz = 2π i ∫l z −α
0
( l不包围α) 不包围α 不包围 ( l包围α) 包围α 包围
1
1 n ∫l (z −α) dz = 0 2π i
n ≠ −1
y x
1 例：计算积分 I = ∫l z2 −1 dz
0 0
1
1
y
C
i (1)
(2)
A
(1, i)
x
1 = +i 2
O
B 1
由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关！ 由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关！
数学物理方法
例：计算积分
wk.baidu.com
∫ z dz
2 l
分别沿路径(1)和 ， 分别沿路径 和(2)，如图 解
z = x − y + i2xy
2 2 2
y Ci
A
(1)
(2, i)
z2dz = ∫ ∫
l
l1
x (2) O (x2 − y2 )dx − 2xydy + i[2xydx + (x2 − y2 )dy]
B 2
(1)路径 路径
2
1
OA → x = 2 y ⇒ dx = 2dy
2 2 2 2 0
y : 0 →1
2 2
∫ z dz =∫ (4y − y )d(2y) − 4y dy +i[4y d(2y) + (4y − y )dy]
f ( z )dz
∫
CD
f ( z )dz = −
∫
D 'C '
f ( z )dz
数学物理方法
★内、外境界线逆时针积分相等
∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz = 0
l l1 l2
l AB A’ l1 B’ D’ l2 C’ DC
∫ f (z)dz + ∑∫
l i
li
∫ f (z)dz + ∑∫
l i
li
f (z)dz = 0
A’
l AB B’ l1
为区域外境界线； ★ l 为区域外境界线； D’ l2 C’ 为区域内境界线； ★ li为区域内境界线； DC 积分沿境界线正方向进行； ★积分沿境界线正方向进行； 正方向：沿该方向前进，区域在其左边； ★正方向：沿该方向前进，区域在其左边；
数学物理方法
证明复通区域柯西定理 证明复通区域柯西定理 证： 将复连通区域:l+ ★将复连通区域 l1 + l2进行切割变成 单连通区域: l + AB+l1 +B’A’+CD+ l2+D’C’ 单连通区域 对单连通区域 ★对单连通区域: l + AB+l1 +B’A’+CD+ l2+D’C’ 应用单通区域柯西定理， 应用单通区域柯西定理，可得
1、复函数积分的定义 、
f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
★对复变 函数作和 函数作和 ★记
y
zk −1
B
zn
∑ f (ζ
k
ζk
A
zk
k
)( zk − zk −1)
z0
x
∫ f (z)dz = ∑ f (ζ
l k
k
)( zk − zk −1)
dz = dx + idy
★其中
f (z)dz = [u(x, y) + iv(x, y)](dx + idy)
∫
l
n
数学物理方法
而且n （3）如果 包围α， 而且 < 0 , ）如果l 奇点， z=α 为z-α )n 奇点， 则作小圆C在 上 则作小圆 在l上
z −α = R e
l
iϕ
Rα
n
C
I = ∫ (z −α) dz = ∫ R e d(α + R e )
n inϕ iϕ l
l
= ∫ R e R e idϕ
1 f (z) f (α) = dz l 2π i ∫ z −α
2、柯西积分公式的证明 、
★由
1 2π i
∫
l
包 α dz 0,(l不 围 ) z −α ,(l包 α) 围 1
数学物理方法
§2.3
不定积分
1、单连通区域的不定积分 、 ★单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路经 无关， 固定，终点z 为变点， 无关，令z0固定，终点 为变点，有单值函数
F(z) = ∫
★且 ：
z2
z1
f (ξ )dξ
证略
l2 A
B l1
F' (z) = f (z)
★即，F(z) 是f(z)的原函数 的原函数 2、路积分等于原函数 、 F(z)的改变量 的改变量
f (z)dz = [u(x, y) + iv(x, y)](dx + idy)
= u(x, y)dx − v(x, y)dy + i[v(x, y)dx + u(x, y)dy]
★将复变函数的实部和虚部分开 复变函数的实部和虚部分开 的实部
∫ f (z)dz = ∫ u(x, y)dx − v(x, y)dy + i [v(x, y)dx + u(x, y)dy]
∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz
l AB l1 B' A'
l A’ AB B’ l2 D’ DC C’ l1
+ ∫ f (z)dz +∫ f (z)dz +
CD l2
∫ f (z)dz = 0
D'C'
∫
AB
f ( z )dz = −
∫
B ' A'
l l2 OB BA
− y )dy]
∫ z dz = ∫ x dx + ∫ (−4y)dy + i∫ (4 − y
2
2
2
1
1
2
l
0
0
0
(2 +11i) )dy = 3
由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径无关！ 由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径无关！
数学物理方法
§2.2 柯西定理 一、单连通区域
l1
= (2 +11i) / 3
数学物理方法
(2)路径 路径
O → B → A: y = 0 → x :0 → 2 BA : x = 2 y : 0 →1
z = x − y + i2xy
2 2 2
2 2 2
y i
O
A
(1) (2)
(2, i)
x
2
B 2
2
∫ z dz = ∫ (x − y )dx − 2xydy + i[2xydx + (x = ∫ +∫
OC CA
xdx + ixdy
1
1
0
0
数学物理方法
(2)路径 路径
l2 ⇒ O → B → A
l2
∫ Re zdz = ∫ =∫
l
xdx + ixdy = ∫ xdx + ixdy + ∫ xdx + ixdy
OB BA
OB
xdx + ix0 + ∫ x0 + i1dy
BA
= ∫ xdx + ∫ i 1 dy
l2
−1
l1
+1
x
1 1 解析， 解析，即 = z +1 z − (−1)
1 ∫l1 z +1dz = 0
1 1 1 1 1 ∫l1 z2 −1dz = ∫l1 2 ( z −1 − z +1)dz = 2 (2π i − 0) = π i
数学物理方法
（2）因为 2 不包围 ， 被积函数 ）因为l 不包围+1，
∂u ∂v = ★由C.R.条件 条件 ∂x ∂y
★得 ：
∂u ∂v =− ∂y ∂x
证毕
∫ f (z)dz = 0
l
数学物理方法
★推论：单连通区域中解析函数 f ( z ) 推论： 的积分值与路经无关。 的积分值与路经无关。 证明： 证明：
∫ f (z)dz = 0
l
l2 A
B l1
★因为：解析函数 f ( z ) 的 因为： 积分值与路经无关： 积分值与路经无关： ★即 ：
数学物理方法
(第四版) 第四版)
物 学 上 理 数 海 系 理 范 学 师 院 大
梁昆淼编
高等教育出版社
主讲： 主讲：冯 杰
数学物理方法
第一篇 复变函数论
第二章 复变函数的积分
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 复变函数积分 柯西定理 不定积分 柯西公式
数学物理方法 第二章 复变函数的积分 §2.1 复变函数积分 一、复数积分的基本概念
f (z)dz = 0
逆时针→ 逆时针→ f (z)dz = −
l
l
∫
∑∫
i
i
li
f (z)dz ←顺时针
逆时针→ 逆时针→ ∫ f (z)dz = ∑∫ f (z)dz 逆时针 ←
li
★内、外境界线逆时针积分相等
数学物理方法
3、柯西定理的数学意义： 、柯西定理的数学意义： ★闭复连通区域上的解析函数沿境界线积分为零； 闭复连通区域上的解析函数沿境界线积分为零； ★闭复连通区域上的解析函数沿所有内外境界线 正方向积分之和为零； 正方向积分之和为零； ★闭复连通区域上的解析函数沿外境界线逆时针 方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和； 方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和；