时间序列整理资料

考试题型：1.判断题（10分）；2.计算题（5题，75分）；3.分析题（1题15分）。 郑重声明：此资料仅供参考（还有标注为考点，只是我个人的观点，仅供参考）。

第2章时间序列的预处理

1. 计算序列的样本自相关系数。（考点）

1

()()()n k

t t k t x x x x k n k

γ---

+∧

=--=-∑（1）基于全体观察样本计算出来的延迟K 自协方差函数的估计值。 2

1

()(0)1

n

t

t x x

n γ-

∧

=-=

-∑（2）总体方差的估计值。

()(0)

k k γργ∧

∧

∧

≅ 0k n ∀<< 延迟K 自相关系数的估计值。 当延迟阶数K 远远小于样本容量n 时，

1

2

1

()()

0()

n k

t

t k t k n

t

t x x x x

k n x x ρ--

-

+∧

=-

=--≅

∀<<-∑∑

2. 平稳性的检验。

对序列的平稳性有两种检验方法，一种是根据时序图和自相关图显示的特征做出判断的图检验方法；一种是构造检验统计量进行假设检验的方法。

图检验方法：（1）时序图检验： 如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势性或周

期性，那它通常不是平稳序列。

（2）自相关图检验：平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描

述就是随着延迟期数K 的增加，平稳序列的自相关系数k

ρ∧

会很快地衰减向零。反之，非平稳序列的自相关系数ρ衰减向零的速度通常比较慢，这就是我们利用自相关图进行平稳

性判断的标准。 3. 纯随机序列

首先并不是所有的平稳序列都值得建模，只有那些序列值之间具有密切的相关关系，历史数据对未来的发展有一定影响的序列，才值得我们花时间去挖掘历史数据中的有效信息，用来预测序列未来的发展。

纯随机序列：该序列值彼此之间没有任何相关性，也就是一个没有记忆的序列，过去的行为对将来的发展没有丝毫影响。我们称之为纯随机序列。也称为白躁声序列。 简记为：2

~(,)t WN x μσ。

4. 纯随机序列检验

（1）假设条件

由于序列值之间的变异是绝对的，而相关性是偶然的，所以假设条件如下： 原假设：延迟期数小于或等于m 期的序列值之间相互独立。 备择假设：延迟期数小于或等于m 期的序列值之间有相关性。

该假设条件用数学语言描述即为：

0,1012:m m p p p H ∀≥==⋅⋅⋅⋅== 0,1K m

1k :m p H ∀≥≤≠

，至少存在某个

（2）检验统计量

m

2

2

m k=1

Q=n ~k ρχ∧∑（）

在大样本场合（n 很大的场合）检验效果好，在小样本场合就不太精确。 2

2m 1

(2)(

)~m

k

k LB n n n k

ρχ∧==+-∑（）

（适合小样本场合） LB 统计量就是Q 统计量的修正，其中n 为序列观测期数；m 为指定延迟期数。

在各种检验场合普遍采用的Q 统计量通常指的都是LB 统计量。 当统计量大于m 2

χ（）1-a

分位点，或该统计量的p 值小于a 时，则可以拒绝原假设，认为该

序列为非白噪声序列；否则，接受原假设，认为该序列为纯随机序列。

2.3习题

1. 考虑序列{1,2,3,4,5， ,20}

（1）判断该序列是否平稳

（2）计算该序列的样本自相关系数k

ρ∧

（k=1,2. ，6）（考点） （3）绘制该样本自相关图，并解释该图形。

解：（1）因为序列具有明显的趋势，所以序列非平稳。 （2）样本自相关系数：

∑∑=-=+---≅=n

t t

k

n t k t t

k x x

x x x x

k 1

2

1

)()

)(()

0()

(ˆγγρ

111

(12320)10.520

n t t x x n -

===

+++⋅⋅⋅⋅+=∑ =-=∑=2

201)(201)0(x x t t γ35 =--=+=∑))((191)1(1191x x x x t t t γ29.75

=--=+=∑))((181)2(2181x x x x t t t γ25.9167 =--=+=∑))((171)3(317

1

x x x x t t t γ21.75

γ(4)=17.25 γ(5)=12.4167 γ(6)=7.25

1ρ=0.85（0.85） 2ρ=0.7405（0.702） 3ρ=0.6214（0.556） 4ρ=0.4929（0.415） 5ρ=0.3548（0.280） 6ρ=0.2071（0.153）

注：括号内的结果为近似公式所计算。

（3）样本自相关图(已省略图)：该图的自相关系数衰减为0的速度缓慢，可认为非平稳。

4. 若序列长度为100，前12个样本自相关系数如下：（考点）

1ρ=0.02 2ρ=0.05 3ρ=0.10 4ρ=-0.02 5ρ=0.05 6ρ=0.01

6ρ=0.01

0.127p =

0.068

ρ

=-

0.089

ρ= 0.0510

ρ

=- 0.0211

ρ

=

0.0512

ρ

=-

该序列能否视为纯随机序列？

解：∑=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+=m

k k k

n n n LB 12

ˆ)2(ρ

LB(6)=1.6747，LB(12)=4.9895 205.0χ(6)=12.59 205.0χ(12)=21.0 （此时的分位值是从右边看的）

显然，LB 统计量小于对应的临界值，接受原假设，认为该序列为纯随机序列。

第3章平稳时间序列分析

1. 一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关

信息的平稳序列。ARMA 模型是目前最常用的平稳序列拟合模型。

2.

了解P 阶差分、K 步差分、延迟算子、还有用延迟算子表示差分运算。（42页） 用延迟算子表示差分运算：

（1）p 阶差分：0

(1)(1)p

p

p

i i

t t p t i i x B x C x -=∇

=-=

-∑ （2）K 步差分：(1)k k

t t t k t

x x x B x -∇=-=-

3. ARMA 模型的全称是自回归移动平均模型，它是目前最常用的拟合平稳序列的模型。

它又可以细分为AR （自回归）模型、MA （移动平均）模型、ARMA 模型。

4.

具有如下结构的模型称为P 阶自回归模型，简记为AR （P ）：（45页）

01122t t t p t p t x x x x φφφφε---=+++⋅⋅⋅⋅++ （3.5）

当0φ=0时，自回归模型又称为中心化AR （p ）模型。

非中心化AR （p ）序列都可以通过下面的变换转化为中心化AR （p ）系列。 令：0

121p

φφφφμ=

---⋅⋅⋅- t t y x =-μ 则{}t y 为{}t x 的中心化序列。

引进延迟算子，中心化AR （p ）模型又可以简记为：()t t B x εΦ=式中，

212()1p p B B B B φφφΦ=---⋅⋅⋅⋅-，称为P 阶自回归系数多项式。

还有模型的均值与方差（49页）

5. AR 模型平稳性判别：AR 模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR 模