江苏省苏大附中2014届高考数学2考前指导卷苏教版

苏州大学 2014 届高考考前指导卷（2）参考答案
一、填空题
1．{ x | x ≤ 1} 8． 8 9． 1
2．
1 5
3．27
4． y 11． 7
1 2
5．1 π 12． 2
6．5 13． [1，
7．48 14． {1, }
3π，3π 10． 4 2
2
3 ] 2
2 9
二、解答题
15．解（1）∵ cos 2 2 cos 1 16．证明 (1)AC 与 BD 交于 O 点，连接 EO．正方形 ABCD 中， 2BO＝AB，又因 为 AB＝ 2EF，∴BO＝EF，又因为 EF∥BD，∴EFBO 是平行四边形，∴BF∥EO， 又∵BF⊄平面 ACE，EO⊂平面 ACE，∴BF∥平面 ACE． (2)正方形 ABCD 中，AC⊥BD，又因为正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相 垂直，BD⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 ACE＝AC，∴BD⊥平面 ACE，∵EO⊂ 平面 ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD． 17．解（1）如图，作 OM 垂直 AB，垂足为 M，则 OM=10， 由题意 AOB 135 ， (0, 45) ， OBA 45 ． 在
2 6. 已知函数 y f ( x) 是奇函数，当 x 0 时， f ( x) x ax( a R ) ，且 f (2) 6 ，
则a=
．
7．一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧 面，以它们的公共顶点 P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当 x＝6 cm 时，该容器的容 积为________cm3．
7 ． 25
A
C
D
B
16．如图，正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝ 2EF． （1）求证：BF∥平面 ACE； （2）求证：BF⊥BD．
17．如图，某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心 O 后转向东北方 OB，现要修筑一条铁路 L，L 在 OA 上设一站 A，在 OB 上设一站 B，铁路在 AB 部分为直线段，为了市民出行方便与城市环境问题，现要求市中
（2） AB
2 10 2 sin (sin 45 cos cos 45 sin ) 10 20 20 ． 2 sin cos sin sin 2 cos 2 1 2 sin(2 45) 1 因为 (0, 45) ，所以当 22.5 时有 AB 的最小值 20( 2 1) ． 10 10 4 4 2 ． 此时， OA OB sin 22.5
8．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－7n，且满足 16＜ak＋ak＋1＜22，ห้องสมุดไป่ตู้正整数 k＝________．
2 x y 1, * 9．若 x，y 满足约束条件 x y 2, 目标函数 z kx 2 y(k N ) 仅在点(1,1)处取得最小值，则 k 的值为 y x 2,
19．已知函数 f(x)＝x3－2x＋1，g(x)＝ln x． （1）求函数 F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间和极值； （2） 是否存在实常数 k 和 m， 使得 x>0 时， f(x)≥kx＋m 且 g(x)≤kx＋m？若存在， 分别求出 k 和 m 的值； 若不存在，说明理由．
20．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a2＝6，3Sn＝(n＋1)an＋n(n＋1)． （1）求 a1，a3； （2）求数列{an}的通项公式； （3）已知数列{bn}的通项公式是 bn＝ an，cn＝bn+1－bn，试判断数列{cn}是否是单调数列，并证明对任 意的正整数 n，都有 1＜cn≤ 6－ 2．
形的面积为________． 13．设曲线 y ax 1 e x 在点 A( x0，y1 ) 处的切线为 l1 ，曲线 y 在 x0 0, ，使得 l1 l2 ，则实数 a 的取值范围是 2 14．若关于 x 的不等式（组） 0 ≤ x
2
1 x 在点 B( x0，y2 ) 处的切线为 l2 ．若存 ex
心 O 到 AB 的距离为 10 km，设 OAB ． （1）试求 AB 关于角 的函数关系式； （2）问把 A、B 分别设在公路上离市中心 O 多远处，才能使 AB 最短，并求其最短距离．
x2 y2 18．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)上任一点 P 到两个焦点的距离的和为 2 3，P 与椭圆长轴两顶点连线的 a b 2 斜率之积为－ ．设直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，交椭圆 C 于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 3 4 → → （1）若OA· OB＝ (O 为坐标原点)，求|y1－y2|的值； tan∠AOB （2） 当直线 l 与两坐标轴都不垂直时， 在 x 轴上是否总存在点 Q， 使得直线 QA， QB 的倾斜角互为补角？ 若存在，求出点 Q 坐标；若不存在，请说明理由．
9 3 4 7 2 ，∴ cos ，∵ (0, ) ，∴ cos ， sin ， 25 2 5 5 25 7 2 2 CAD 45 ，∴ cos CAD cos 45 ． cos sin 10 2 2 （2）由（1）得，∴ sin CAD sin( ) sin cos cos sin ， 4 4 4 10 CD AD 在 ACD 中，由正弦定理得： ， sin CAD sin C 2 1 CD sin C 2 5 ， 则高 h AD sin ADB 5 4 4 ． ∴ AD 5 sin CAD 2 10
苏州大学 2014 届高考考前指导卷（2）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡 ．．． 相应位置上 ． ．．．．． 1．设全集 U＝R，集合 A＝ { x | x > 1}，则集合∁UA＝________． 2．设复数 z 满足 z(4－3i)＝1，则 z 的模为________． 3．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是______． 4．抛物线 x 2 2 y 的准线方程为________． 5．将参加夏令营的 500 名学生编号为 001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个 容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003，这 500 名学生分住在三个营区，编号 从 001 到 200 在第一营区，从 201 到 355 在第二营区，从 356 到 500 在第三营区，则 第三个营区被抽中的人数为________．
_______． 10．已知函数 f(x)＝sin x＋cos x 的定义域为[a，b]，值域为[－1， 2]，则 b－a 的取值范围是________． tanA → → → →2 11．已知△ABC 中，3( CA ＋ CB )· AB ＝4 AB ，则 ＝ tanB

.
2 2 1 12．设平面点集 A＝x，y y－xy－x ≥0 ，B＝{(x，y)|(x－1) ＋(y－1) ≤1}，则 A∩B 所表示的平面图
AOB 中，由正弦定理得
AB OB 2 OB ，即 AB ． sin135 sin 2 sin 10 在 MOB 中， OB ， 所以 sin(45 )
AB
2 OB 2 10 1 ． 5 2 2 sin 2 sin sin(45 ) sin sin(45 )
y＝kx－1， 2 2 直线 l 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，由x y 消去 y 得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0， 3 ＋ 2 ＝1 3k2－6 6k2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 2 ，x1· x2＝ 2 ．∵直线 QA，QB 的倾斜角互为补角，∴kQA 3k ＋2 3k ＋2 y1 y2 ＋kQB＝0，即 ＋ ＝0，又 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入上式可得 2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2) x1－m x2－m 3k2－6 6k2 ＝0，∴2× 2 ＋2m－(m＋1)× 2 ＝0，即 2m－6＝0，∴m＝3， 3k ＋2 3k ＋2 ∴存在 Q(3,0)使得直线 QA，QB 的倾斜角互为补角． 3x3－2x－1 19．解 (1)由 F(x)＝x3－2x＋1－ln x(x>0)，得 F′(x)＝ (x>0)，令 F′(x)＝0 得 x＝1，易知 F(x) 分 x 别在 (0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而 F(x)的极小值为 F(1)＝0． (2)易知 f(x)与 g(x)有一个公共点(1,0)，而函数 g(x)在点(1,0)处的切线方程为 y＝x－1，下面只需验证 fx≥x－1 都成立即可．设 h(x)＝x3－2x＋1－(x－1)(x>0)，则 h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)(x>0)． gx≤x－1 易知 h(x) 分别在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以 h(x)的最小值为 h(1)＝0， 所以 f(x)≥x－1 恒成立． 1－x 设 k(x)＝ln x－(x－1)，则 k′(x)＝ (x>0)．易知 k(x) 分别在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， x 所以 k(x)的最大值为 k(1)＝0，所以 g(x)≤x－1 恒成立． 故存在这样的实常数 k＝1 和 m＝－1，使得 x>0 时，f(x)≥kx＋m 且 g(x)≤kx＋m． 20．解 （1）令 n＝1 得 3a1＝2a1＋2，解得 a1＝2；令 n＝3 得 3(8＋a3)＝4a2＋12，解得 a3＝12． （2）由已知 3Sn＝(n＋1)an＋n(n＋1)， ① 3Sn+1＝(n＋2)an+1＋(n＋1)(n＋2)， ② ②－①得 3an+1＝(n＋2)an+1－(n＋1)an＋2(n＋1)， 即(n－1)an+1－(n＋1)an＋2(n＋1)＝0， ③ 所以 nan+2－(n＋2)an+1＋2(n＋2)＝0， ④ ④－③得 nan+2－(2n＋1)an+1＋(n＋1)an＋2＝0， 即 n(an+2－an+1)－(n＋1)(an+1－an)＋2＝0， ⑤ 从而(n＋1)(an+3－an+2)－(n＋2)(an+2－an+1)＋2＝0， ⑥ ⑥－⑤得(n＋1)(an+3－an+2)－2(n＋1)(an+2－an+1)＋(n＋1)(an+1－an)＝0， 即(an+3－an+2)－2(an+2－an+1)＋(an+1－an)＝0， 即(an+3－an+2)－(an+2－an+1)＝(an+2－an+1)－(an+1－an)， ⑦ 所以数列{an+1－an}是等差数列，首项为 a2－a1＝4，公差为(a3－a2)－(a2－a1)＝2， 所以 an+1－an＝4＋2(n－1)＝2n＋2，即 an－an-1＝2n，an-1－an-2＝2(n－1)，…a3－a2＝6，a2－a1＝4，a1 ＝2，相加得 an＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＋2n＝n(n＋1)． 2 n＋1 （3）数列{cn}是单调递减数列，证明如下：因为 cn＝bn+1－bn＝ (n＋1)(n＋2)－ n(n＋1)＝ ， n＋2＋ n 所 以 cn+1 ＝ 2 n＋2 n＋3＋ n＋1 ， 要 证 明 cn+1 ＜ cn ， 等 价 于 证 明 n＋1 n＋2＋ n ＜ n＋2 n＋3＋ n＋1 2n＋3 n ＋ 1 ＋
答：A，B 都设在公路上离市中心 10 4 4 2 km 处，才能使 AB 最短，其最短距离是 20( 2 1) km． y y 2 y2 2 18．解 (1)由椭圆的定义知 a＝ 3，设 P(x，y)，则有 · ＝－ ，则 2 ＝－ ， 3 3 x －3 x＋ 3 x－ 3 2 2 x y 4 4 → → → → → → ∴化简得椭圆 C 的方程是 ＋ ＝1． ∵OA· OB＝ ， ∴|OA|· |OB|cos∠AOB＝ ， ∴|OA|· |OB 3 2 tan∠AOB tan∠AOB 1→ → 1 |sin∠AOB＝4，∴S△AOB＝ |OA|· |OB|sin∠AOB＝2，又 S△AOB＝ |y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4． 2 2 (2)假设存在一点 Q(m,0)，使得直线 QA，QB 的倾斜角互为补角，依题意可知直线 l 斜率存在且不为零，
3
．
7 2n 2 x 对任意n N* 恒成立，则所有这样的解 x 构成的 2 9 2n 1 9
集合是
．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出必要的文字说明、 ．．．．．．．．
证明过程或演算步骤． 15．如图，在△ ABC 中， C 45 ， D 为 BC 中点， BC 2 ． 记锐角 ADB ．且满足 cos 2 （1）求 cos CAD ； （2）求 BC 边上高的值．