Lanchester战争模型

y0 b rx p x x ar p , 0 y y
2
(5)
这说明:初始兵力之比以平方关系影响战争的结果. 因此此模型叫做平方律模型.
例1.
如若x(0) 100, y(0) 50, a 1(即装备性能等相同), b 问结局如何 ?
解:由(4)式得
y x k/a
2 2

y( t ) x( t ) 7500.
2 2
当y( t ) 0时,乙方败, 此时x( t ) 2 7500, 则
x(t ) 87.
即最后甲方伤亡13人, 还剩87人;乙方50人全伤亡.
3.游击战争模型: (双方都用游击部队作战)
甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为Sx的隐 蔽区域内活动,乙方士兵不是向甲方士兵开火,而是向 这个隐蔽区域射击.这是甲方战斗减员率不仅与乙方 兵力有关,而且随着甲方士兵的增加而增加.则可设
从而,模型为:
dx dt cxy x u (t ) dy dxy y v (t ) dt x ( 0) x , y ( 0) y 0 0
(6)
忽略 x, y, u , v, 解之得 : cy dx m cy 0 dx0 .
dA dt aJ ( t ) u( t ), dJ bA( t ), dt A(0) 0, J (0) 21500 ,
(8)
其中
54000, 6000, u (t ) 13000, 0,
0 t 1 2t 3 5t 6 其它
当m>0时乙方胜;当m=0时战平;当m<0时甲方胜. 乙方胜的条件可表为:
y0 d rx S rx S x , x0 c ry S ry S y
即双方兵力比以线性关系影响战争结局.称此模型为 线性律模型.
4.混合战争模型
(甲方为游击部队,乙方为正规部队)
模型为
dx dt cxy , dy bx, dt x ( 0 ) x , y ( 0) y 0 0
2 2
(7)
其轨线族为 : cy 2bx n cy0 2bx0来自百度文库.
当n>0时乙方胜; 当n<0时甲方胜; 当n=0时双方平.
乙方胜的条件为:
y0 2 rx Px S x x r S x . 0 y ry 0
2
例2.
设x0 100 , Px 0.1, ry 2rx ,甲方活动面积S x 0.1k m2 , 乙方有效射击面积S ry 1m 2 , 则 y0 2 0.1 0.110 6 100 , x 2 1100 0
36
为估计 b, 我们在(9)式中令 t 36,由资料得到 A(i ) 2037000,
i 1
21500 0 于是 b 0.0106, 再回代(9)式, 得到J (t ). 2037000 再 由(9)的 第 一 式 我 们 可 估 计 得 到 a,
a
u (i ) A(36) u (i) 20265 i 1 i 1 J (i ) i 1
进行轨线分析: 两边积分得:
( 3)
dy bx aydy bxdx dx ay
ay bx ay 0 bx k
2 2 2 2 0
(4)
若k 0, 则ay 2 bx 2 ,乙方胜; 若k 0, 则双方平局; 若k 0, 则甲方胜.
轨线族:
2 ay 2 bx 2 ay 2 bx0 k 0
Lanchester战争模型
背景:早在第一次世界大战期间,F.W.Lanchester就提出了几 个预测战争结局的模型.后来人们对这些模型作了改进和进 一步解释,用以分析历史上一些著名的战争,而且曾对说服 美国1975年结束越南战争起了重要的作用.
1.一般战争模型
用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的 兵力,不妨就假设为双方的士兵数.假设 1.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,甲乙双方 的战斗减员率分别用f(x,y)和g(x,y)表示. 2.每方的非战斗减员率(由疾病,逃跑等因素引起的)只与本方的 兵力成正比,分别用αx和βy表示. 3.甲乙双方的增援率是给定的函数,分别用u(t)和v(t)表示. 模型为
5.硫磺岛战役
•背景:二战末期,美军与日军在日本本国附近进行 着激烈的战斗.硫黄岛位于东京以南660英里的海面 上,是日军的重要空军基地.美军在1945年2月19日 开始进攻,激烈的战斗持续了约一个月,双方伤亡惨 重,日方守军21500人全部阵亡或被俘,美方共投入 73000人,伤亡20265人.战争进行到第28天美军宣布 占领该岛,实际战斗进行到第36天才停止.美军有按 天的详细战地记录,日军的战地记录全部遗失. •J.H.Engel利用上面的战地记录对正规战争模型进 行了验证,发现吻合得相当好.下面我们介绍. •用A(t)和J(t)分别表示美军和日军在第t天的人数, 忽略非战斗减员,且v=0,于是模型为
(4)
y k>0 k=0
k<0 x
同时,我们考虑
若k 0, 则
y0 b x a 0
2
(5)
进一步分析a,b. a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤 率,也可称作战斗有效系数,可进一步分解为
a ry p y , 其中 ry为乙方的射击率或射击 速度, p y为命中率;同理, b rx p x .因此(5)式为
t 36
36
36

J (i) i 1
t
36
0.0544.
这样我们就可得到理论 的美军人数 上 A(t ) 0.0544 J (i ) u (i ).
i 1 i 1
(10)
与 美 军 每 天 的 战 地 记 录 行 比 较发 现 二 者 波 动 不 大 进 , .
模型验证的思想方法:
1.美军每天的实际兵力可由上面的数据和伤亡记录得到. 2.将已经得到的实际数据代入方程组(8),并用求和代替积分. 3.估计出a,b的值.
4.计算出A(t)的理论上的值,与实际数据比较.
将(8)的两个方程分别积分,并以求和代替积分得到:
A(t ) A(0) a t J (i ) t u (i ), i 1 i 1 t J (t ) J (0) b A(i ). i 1 (9)
2
即
y0 10. x0
这说明:
乙方必须10倍于甲方的兵力才能获胜.
美国人曾用这个模型分析20世纪六七十年代的美越战争,甲方 为越南,乙方为美国.并根据在这之前发生在马来西亚、印尼、 菲律宾、老挝等地的混合战争的实际情况估计出:正规部队方 必须至少投入8倍于游击队方的兵力.而美国最多只能派出6倍 于越南北方共军的兵力.因此战争的结局是美国不得不接受和 谈并撤军,越南人们获得最后胜利.
f ( x , y ) cxy ,
且乙方战斗有效系数c可表示为:
c ry Py ry
S ry Sx
其 中ry为 射 击 率 Py为 命 中 率满 足 , , Py
类似
一次射击的有效面积 S ry 甲 方 活 动 的 面 积x S
.
S rx g ( x , y ) dxy , 且d rx Px rx . Sy
dx ay x u( t ), dt dy bx y v ( t ). dt
决定.)
( 2)
(a, b分别为双方每个士兵的 平均杀伤力 ,由多种因素
若考虑无后援与无非战斗减员,则(2)可简化为:
dx ay dt dy bx dt x ( 0 ) x 0 , y ( 0 ) y0
x(t ) f ( x, y ) x u (t ), y (t ) g ( x, y ) y v(t ),
(1)
2. 正规战争模型
在正规部队作战时,双方公开活动,一方士兵 处于另一方的射杀范围内,一方的战斗减员率只 与另一方的兵力有关,可设f与y成正比.则模型为