穷举算法

用这种方法，很快就可以把程序编出来，再将样例数据代入测试也是对的，等 成绩下来才发现这题没有全对，只得了一半的分。 这种解法为什么是错的呢？错在哪里？前面的分析好象也没错啊，难道这题不 能用枚举法做吗？看到这里大家可能有点迷惑了。 在上面的解法中，枚举范围和枚举对象都没有错，而是在验证枚举结果时，判 定条件用错了。因为要保留二位小数，所以求出来的解不一定是方程的精确根， 再代入ax3+bx2+cx+d中，所得的结果也就不一定等于0，因此用原方程 ax3+bx2+cx+d=0作为判断条件是不准确的。
var t,x:integer; s,st:string; c:char; begin for x:=123 to 321 do{枚举所有可能的解} begin t:=0; str(x,st);{把整数x转化为字符串，存放在st中} str(x*2,s); st:=st+s; str(x*3,s); st:=st+s; for c:='1' to '9' do{枚举9个字符，判断是否都在st中} if pos(c,st)<>0 then inc(t) else break;{如果不在st 中，则退出循环} if t=9 then writeln(x,' ',x*2,' ',x*3); end; end.
var k:integer; a,b,c,d,x :real; begin read(a,b,c,d); for k:=-10000 to 10000 do begin x:=k/100; if a*x*x*x+b*x*x+c*x+d=0 then write(x:0:2,' '); end; end.
分析
• 这是1998年全国分区联赛普及组试题（简称 NOIP1998pj，以下同）。此题数据规模不大， 可以进行枚举，如果我们不加思地以每一个数 位为枚举对象，一位一位地去枚举： for a:=1 to 9 do for b:=1 to 9 do ……… for i:=1 to 9 do • 这样下去，枚举次数就有9９次，如果我们分别 设三个数为x,2x,3x，以x为枚举对象，穷举的 范围就减少为９３，在细节上再进一步优化， 枚举范围就更少了。
穷举的优化
• 枚举法的特点是算法简单，但有时运算量大。
• 由于穷举是列举出所有的值，当问题规模比较 大的时候，运算的时间会变得很长，所以在设 计算法时必须尽量减少搜索的范围，经常的做 法就是将一组解设置为按小到大的顺序。这样 将1,2...9共9个数分成三组,分别组成三 个三位数,且使这三个三位数构成1:2:3 的比例,试求出所有满足条件的三个三位 数.
• a1,29-a1 a2, a2-a1,29-a2 a3,a3-a1,a3-a2,29-a3 a4,a4-a1,a4-a2,a4-a1,29-a4 ...... a7,a7-a1,a7-a2,a7-a3,a7-a4,a7-a5,a7-a6,29-a7
缩小范围的界定
• 仅考虑ai<ai+1 ，且设定a1=1,其他枚举变量 ai的值域范围为：ai-1<ai<n-(7-i+2)（其中n(7-i+2)为根据对称性确定的最大值，因为当 a1=1时，28已经可以量出，所以a7的最大值 不必为29，而应为29-2，又因为a6<a7，所 以a6的最大值为a7-1=29-3,依次类推即可 得。）。
判断解可行性
• • • • • • • • • for i:=1 to 28 do b[i]:=0; for i:=1 to 7 do begin b[a[i]]:=1;b[29-a[i]]:=1; for j:=i+1 to 7 do b[abs(a[j]-a[i])]:=1; end; j:=0; for i:=1 to 29 do j:=j+b[i]; if j=29 then for i:=1 to 7 do write(a[i]:4);
填数
将1～9这九个数字填入九个空格中。每一横行的三个数 字组成一个三位数。如果要使第二行的三位数是第一行的 两倍, 第三行的三位数是第一行的三倍, 应怎样填数。如 图6:
1 3 5 9 8 7 2 4 6
分析
• 本题目有9个格子，要求填数，如果不考 虑问题给出的条件，共有9！=362880种 方案，在这些方案中符合问题条件的即 为解。因此可以采用枚举法。 • 但仔细分析问题，显然第一行的数不会 超过400，实际上只要确定第一行的数就 可以根据条件算出其他两行的数了。这 样仅需枚举400次。因此设计参考程序：
优化后的程序结构
• n:=29;a1:=1; for a2:=2 to n-7 do for a3:=a2+1 to n-6 do for a4:=a3+1 to n-5 do for a5:=a4+1 to n-4 do for a6:=a5+1 to n-3 do for a7:=a6+1 to n-2 do if 满足条件then 输出方案；
优化的分析
• 1．在不漏掉正确解的情况下，我们不妨用 a1,a2,a3...a7来分别存放7个不同刻度值，并且按照 刻度值递增排列。 • 2．为了能量出刻度1，显然刻度1是必须的，此时 利用对称性，28也就可以度量了（而且29是不必 有刻度的）。 • 3．以前面1、2二点为基础，我们可以分析出，当 有刻度a1,a2...ai(1<=i<=7)时，则可以量出的尺寸 为{ak,ak-aj,29-ak|1<=k<=i,1<=j<=k-1},即通过 a1,a2...a7可以量出的尺寸为：
一元三次方程求解(noip2001tg)
• 有形如：ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。 给出该方程中各项的系数(a，b，c，d 均为实数)，并 约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之 间)，且根与根之差的绝对值>=1。 要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间 留有空格)，并精确到小数点后2位。 提示：记方程f(x)=0，若存在2个数x1和x2，且x1<x2， f(x1)*(x2)<0，则在(x1，x2)之间一定有一个根。 样例 输入：1 -5 -4 20 输出：-2.00 2.00 5.00
穷举算法
穷举的定义
• 从可能的解集合中一一枚举各元素,用题目给定 的检验条件判定哪些是无用的,哪些是有用的. 能使命题成立,即为其解。 一般步骤 l 对命题建立正确的数学模型； l 根据命题确定的数学模型中各变量的变化范 围（即可能解的范围）； l 利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证 明； •
例题
• 来自不同国家的四位留学生A,B,C,D在一起交谈,他们只会中、英、法、日四 种语言中的2种,情况是, 没有人既会日语又会法语;A会日语,但D不会,A和D能 互相交谈,B不会英语,但A和C交谈时却要B当翻译,B,C,D三个想互相交谈,但 找不到共同的语言,只有一种语言3人都会,编程确定A,B,C,D四位留学生各会 哪两种语言。 分析：将中、法、日、英四种语言分别定义为CHN、FRH、JPN、ENG,则四 种语言中取两种共有(CHN,ENG), （CHN,FRH）,(CHN,JPN),( ENG,FRH),( ENG,JPN),(FRH,JPN)六种组合，分别 定义为1、2、3、4、5、6。据已知，没有人既会日语又会法语;因此，组合6不 会出现；A 会日语，所以A只可能等于3、5；D不会日语, 所以D只可能等于1、 2、4；B不会英语，所以B只可能等于2、3；
算法分析
• 由题目的提示很符合二分法求解的原理，所以 此题可以用二分法。用二分法解题相对于枚举 法来说很要复杂很多。此题是否能用枚举法求 解呢？再分析一下题目，根的范围在-100到100 之间，结果只要保留两位小数，我们不妨将根 的值域扩大100倍（-10000<=x<=10000），再 以根为枚举对象，枚举范围是-10000到10000， 用原方程式进行一一验证，找出方程的解。
尺子刻度（红书231页）
• 尺子刻度。一根29cm长的尺子只允许上 面刻7个刻度。要用它能量出1---29cm的 各种长度，试问刻度应该怎样选择？
穷举产生解的可行性判断
• 1．当枚举产生7个刻度值后，哪些长度是 能被度量的？ • 2．如何判断1至29这些长度都能被度量？
答 案
• 1．如果长度a[i]能被度量，则29-a[i]也能被 度量
我们换一个角度来思考问题，设f(x)=ax3+bx2+cx+d，若x为方程的根，则根据提 示可知，必有f(x-0.005)*(x+0.005)<0，如果我们以此为枚举判定条件，问题就 逆刃而解。另外，如果f(x-0.005)=0，哪么就说明x-0.005是方程的根，这时根 据四舍5入，方程的根也为x。所以我们用(f(x-0.005)*f(x+0.005)<0) 和 (f(x0.005)=0)作为判定条件。为了程序设计的方便，我们设计一个函数f(x)计算 ax3+bx2+cx+d的值，程序如下： var k:integer; a,b,c,d,x:extended; function f(x:extended):extended; {计算ax3+bx2+cx+d的值} begin f:=((a*x+b)*x+c)*x+d; end; begin read(a,b,c,d); for k:=-10000 to 10000 do begin x:=k/100; if (f(x-0.005)*f(x+0.005)<0) or (f(x-0.005)=0) then write(x:0:2,‘ ’); {若x两端的 函数值异号或x-0.005刚好是方程的根，则确定x为方程的根} end; end.
• 2．如果长度a[i]能被度量，则abs(a[i]-a[j]) 也能被度量（i<j<=7）
穷举的程序段
• • • • • • • • • • • • for i:=1 to 7 do a[i]:=0; b[29]:=1; for a[1]:=1 to 28 do for a[2]:=1 to 28 do for a[3]:=1 to 28 do for a[4]:=1 to 28 do for a[5]:=1 to 28 do for a[6]:=1 to 28 do for a[7]:=1 to 28 do begin …… end;
•
(CHN,ENG) (CHN,FRH) (CHN,JPN) ( ENG,FRH) ( ENG,JPN)
A
B C
×
×
×
×
× ×
D
×
×
type Language = (CHN,ENG,FRH,JPN); TNoSet= set of Language; const No: array [1 .. 5] of TNoSet= ([CHN,ENG], [CHN,FRH], [CHN,JPN], [ENG,FRH], [ENG,JPN]); var A, B, C, D: 1 .. 5; Can1, Can2, Can3, Can4: Boolean; function Might(Lang: Language): Boolean; var Bool: Boolean; begin Bool:=false; if No[A] * No[A] * No[C] = [Lang] then Bool := True; if No[A] * No[B] * No[D] = [Lang] then Bool := True; if No[A] * No[C] * No[D] = [Lang] then Bool := True; if No[B] * No[C] * No[D] = [Lang] then Bool := True; Might := Bool end;
使用穷举的条件
• 可预先确定解的个数n • 解变量a1、a2、an的可能值为一个连续 的值域
算法归纳
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设：ai1-----解变量ai的最小值，aik----解变量ai的最大值（1《=i〈=n） a11<=a1<=a1k a21<=a2<=a2k ai1<=ai<=aik an1<=an<=ank 我们称解变量为穷举变量，即解题过程中需要列举出的变量（很明显，要列举出 变量的每个值，我们一般都使用for循环） 例如某问题的穷举变量有三个：a1，a2，a3，其中1〈=a1〈=2；2〈=a2〈=4；5 〈=a3〈=7 则可以列出本问题的所有可能解共18组（略） 在上述可能解的集合中，满足问题给定的检验条件的解元素就是问题的可能解 for a1:=a11 to a1k do for a2:=a21 to a2k do for a3:=a31 to a3k do for an:=an1 to ank do if (a1.a2.ai,an)满足检验条件 then 输出问题的解（a1,a2,ai,an）