常用算法(二)——穷举搜索法
算法——穷举法
算法——穷举法穷举法是一种常见的求解问题的算法，也被称为暴力搜索或者暴力枚举。
它的基本思想是穷尽所有可能的情况，从中找出满足问题要求的最优解或者符合条件的解。
在实际问题中，穷举法可以解决很多难题，比如寻找最短路径、最小值、最大值等等。
穷举法的求解过程相对容易理解，而且实现起来很简单。
但是，随着问题规模的增加，穷举法的时间复杂度会非常高，计算机的计算能力往往无法承载。
因此，在使用穷举法时，需要掌握一些技巧有效地减少计算量。
穷举法基本步骤：1.确定问题的解空间解空间是指可以取到的所有解组成的集合。
需要明确问题的解空间，方便穷举法从中查找到符合条件的解。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，解空间就是所有偶数的集合{2,4,6,...,100}。
2.确定问题的约束条件约束条件是指解必须满足的限制条件。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，约束条件就是偶数。
3.进行穷举搜索穷举搜索就是从解空间中挨个枚举每一个解，判断是否满足约束条件。
对每一组解都进行判断，找到满足要求的最优解或者符合条件的解。
例如，在求1~100中所有偶数的和这个问题中，需要从所有偶数中挨个枚举每一个偶数，将其累加到结果变量中。
4.分析求解结果分析求解结果，检验是否符合问题的要求。
如果结果合法，那么就是要求的最优解或者符合条件的解。
如果结果不合法，那么需要继续搜索其他可能的解。
穷举法的优缺点优点：1.穷举法可以求解各种难点问题，尤其是在面对离散的问题时效果非常显著。
2.穷举法思路简单，易于理解，实现也相对较简单。
3.穷举法保证能够搜索到所有可能的解，因此能够找到最优解或者符合条件的解。
1.穷举法遍历所有可能的解，当问题规模较大时，时间复杂度非常高，计算量大，效率低。
2.部分问题的解空间很难找到或没有固定的解空间，导致穷举策略无从下手。
3.穷举法没有明确的评估标准，求得的解无法与其他算法进行比较。
穷举法使用技巧1.剪枝技术穷举法的时间复杂度往往比较高，因此需要使用剪枝技术，减少不必要的计算。
图搜索技术(穷举式)
所以，算法中循环和递归是交叉进行的，一方面 是“横向”探索，一方面是“纵向”探索。
更深入的问题： （1）深度问题 （2）死循环问题
解决办法： （1）限制深度：大概估计路径长度 （2）记录从初始到当前状态的路径
与此相对应的，将所有搜索过的状态都记录下来 的搜索方法称为"图搜索"，搜索过的路径除了可以重 复利用外，其最大的优点是可以更有效地利用与问题 有关的一些知识，从而达到启发式搜索的目的。
下面给出一般的图搜索算法（G表示图，s为初始节点， n为当前节点）：
① G:=(s), OPEN:=(s); CLOSED:=(); ② LOOP: IF OPEN＝(), THEN EXIT(FAIL)； ③ n:＝FIRST(OPEN), REMOVE (n, OPEN), ADD (n, CLOSED); ④ IF GOAL (n), THEN EXIT (SUCCESS); 由n返回到s路径上的指针,可给出
递归过程BACKTRACK（DATA） 其功能是：如果从当前状态DATA到目标状态有路 径存在，则返回以规则（操作）序列表示的从DATA到 目标状态的路径；如果从当前状态DATA到目标状态没 有路径存在，则返回FAIL。 变量符号DATA、RULES、R、RDATA、PATH分 别表示当前状态、规则集序列表、当前调用规则、新 生成状态、当前解路径表。常量符号NIL、FAIL、 LOOP分别表示空表、回溯点标记、循环标号。
递归过程BACKTRACK（DATALIST）
DATALIST：从初始到当前的状态表（逆向）
返回值：从当前状态到目标状态的路径或FAIL
二分法 穷举
二分法穷举
二分法和穷举法是两种截然不同的算法策略，它们在解决问题时有着各自的特点和应用场景。
二分法（也称为二分搜索或二分查找）是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法。
它的工作原理是每次比较数组中间的元素与目标值，如果目标值与中间元素相等，则搜索结束；如果目标值小于中间元素，则在数组的左半部分继续搜索；如果目标值大于中间元素，则在数组的右半部分继续搜索。
这样每次都能将搜索范围缩小一半，直到找到目标值或确定目标值不存在于数组中。
二分法的时间复杂度为O(log n)，其中n是数组的长度，因此在处理大规模数据时效率非常高。
穷举法（也称为暴力法或枚举法）是一种通过列举所有可能情况来解决问题的算法策略。
它不考虑问题的特殊性质，而是对所有可能的情况一一进行检验，直到找到满足条件的解为止。
穷举法通常适用于问题规模较小，或者没有更好的算法可用的情况。
虽然穷举法在某些情况下可能效率低下，但它简单易懂，易于实现，因此在某些场景下仍然很有用。
这两种方法各有优缺点，选择哪种方法取决于问题的性质、规模以及可用的资源。
对于大型有序数据集，二分法通常是首选，因为它能显著减少搜索时间。
而对于小型数据集或没有特定结构的问题，穷举法可能是一个更简单直接的选择。
银行家算法例题详解算法设计题详解
银行家算法例题详解算法设计题详解算法设计的特征：有穷性，确定性，输入和输出，可行性运行算法的时间：硬件的速度。
书写程序的语言。
问题的规模，编译生成程序的代码质量算法复杂度: 时间复杂度和空间复杂度1．迭代法迭代法又称为辗转法，是用计算机解决问题的一种基本方法，为一种不断用变量的旧值递推新值的过程，与直接法相对应，一次性解决问题。
迭代法分为精确迭代和近似迭代，“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代法利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1. 确定迭代变量（在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
）2. 建立迭代关系式（所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以顺推或倒推的方法来完成。
）3. 对迭代过程进行控制（在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
）2．穷举搜索法穷举搜索法是对可能是解的众多候选解按某种顺序进行逐一枚举和检验，并从众找出那些符合要求的候选解作为问题的解。
即本方法使用可以理解为暴力循环方法，穷举所有可能性，一般这种方法的时间效率太低，不易使用。
但是方法简单，易理解。
3．递推法递推是计算机数值计算中的一个重要算法，思路是通过数学推导，将复杂的运算化解为若干重复的简单运算，以充分发挥计算机长于重复处理的特点。
穷举算法
穷举算法思想
利用计算机运算速度快、精确度高的特点， 对要解决的问题的所有可能情况，一个不 漏地进行检查，从中找出符合要求的答案。
两个关键
一、确定穷举范围
有限
问题所涉及的情况有哪些，情况的种 数可不可以确定。
二、确定验证条件
分析出来的这些情况，需要满足什么 条件，才成为问题的答案。
经常使用循环+பைடு நூலகம்断的格式
查找数据
在一堆数据中查找某个数
穷举算法的应用
穷举算法是程序设计中使用得最为普遍 的一种 算法，通常穷举算法都是用多重循环来实现的。
你能举出运用穷举算法的例子吗？ 密码暴力破解
如IBM为美军方设计的“飓风”破译机 查找罪犯指纹 超女“海选”
计算机常用算法
2.3 递归法
例2-14：找出从自然数1,2,3,4……n中任取 （r<=n）个数的所 ：找出从自然数 中任取r（ ） 中任取 有组合
例2-15：用互递归法计算正弦和余弦函数。 ：用互递归法计算正弦和余弦函数。 有关公式： 有关公式： Sin 2Ө = 2 SinӨ CosӨ Cos 2Ө = 1- 2(SinӨ)2 有关泰勒展开式： 有关泰勒展开式： Sin x = x – x3/6 Cos x = 1-x2/2 上述展开式在x很小时是很接近实际值的 但在x相对较大时 很小时是很接近实际值的。 上述展开式在 很小时是很接近实际值的。但在 相对较大时 误差很大。故通过对|x|的判断 决定使用哪种计算公式。 的判断， 误差很大。故通过对 的判断，决定使用哪种计算公式。
2.1 递推与迭代
递推与迭代的设计要素： 递推与迭代的设计要素： 迭代（或递推）表达式。 ① 迭代（或递推）表达式。 迭代（或递推）变量设计。 ② 迭代（或递推）变量设计。 迭代（或递推）初始值的选择。 ③ 迭代（或递推）初始值的选择。 迭代（或递推）终止（收敛）条件。 ④ 迭代（或递推）终止（收敛）条件。 迭代的收敛： 迭代的收敛： 如方程无解，迭代算法求出的近似值序列就不会收敛， ① 如方程无解，迭代算法求出的近似值序列就不会收敛，从 程序角度会出现“死循环”现象。 程序角度会出现“死循环”现象。 ② 方程虽然有解，但迭代公式选择不当或迭代初始近似值选 方程虽然有解， 择不合理，也会导致迭代不收敛。 择不合理，也会导致迭代不收敛。
拉菲森newton-Laphson法）求 例2-08：用切线法（牛顿 拉菲森 ：用切线法（牛顿-拉菲森 法 非病态一元n次多项式全部实根 次多项式全部实根。 非病态一元 次多项式全部实根。
2.1 递推与迭代（作业与上机） 递推与迭代（作业与上机）
算法
算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。
或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。
算法的定义算法（Algorithm）是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。
如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。
不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。
一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。
一个算法应该具有以下五个重要的特征：算法可以使用自然语言、伪代码、流程图等多种不同的方法来描述。
1、有穷性（Finiteness）算法的有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止2、确切性(Difiniteness)算法的每一步骤必须有确切的定义；3、输入项(Input)一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件；4、输出项(Output)一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。
没有输出的算法是毫无意义的；5、可行性(Effectiveness)算法中执行的任何计算步都是可以被分解为基本的可执行的操作步，即每个计算步都可以在有限时间内完成。
（也称之为有效性）计算机科学家尼克劳斯-沃思曾著过一本著名的书《数据结构十算法= 程序》，可见算法在计算机科学界与计算机应用界的地位。
算法的复杂度同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。
算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。
一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。
时间复杂度算法的时间复杂度是指执行算法所需要的时间。
一般来说，计算机算法是问题规模n 的函数f(n)，算法的时间复杂度也因此记做T(n)=Ο(f(n)) 因此，问题的规模n 越大，算法执行的时间的增长率与f(n) 的增长率正相关，称作渐进时间复杂度（Asymptotic Time Complexity）。
取数之递归算法、回溯算法、穷举算法
取数之穷举算法、递归算法一、穷举搜索法穷举搜索法是穷举所有可能情形，并从中找出符合要求的解。
穷举所有可能情形，最直观的是联系循环的算法。
[例]找出n个自然数(1,2,3,…,n)中r个数的组合。
例如，当n=５,r=3时，所有组合为：５４３５４２５４１５３２５３１５２１４３２４３１４２１３２１total=10 {组合的总数}[解]n个数中r的组合，其中每r 个数中，数不能相同。
另外，任何两组组合的数，所包含的数也不应相同。
例如，５、４、３与３、４、５。
为此，约定前一个数应大于后一个数。
将上述两条不允许为条件，当r=3时，可用三重循环进行搜索。
［程序］Program zuhe11;constn=5;vari,j,k,t:integer;begint:=0;for i:=n downto 1 dofor j:=n downto 1 dofor k:=n downto 1 doif (i<>j)and(i<>k)and(i>j)and(j>k) thenbegint:=t+1;writeln(i:3,j:3,k:3);end;writeln('total=',t);end.或者Program zuhe12;constn=5;r=3;vari,j,k,t:integer;begint:=0;for i:=n downto r dofor j:=i-1 downto r-1 dofor k:=j-1 downto 1 dobegint:=t+1;writeln(i:3,j:3,k:3);end;writeln('total=',t);end.这两个程序，前者穷举了所有可能情形，从中选出符合条件的解，而后者比较简洁。
但是这两个程序都有一个问题，当r变化时，循环重数改变，这就影响了这一问题的解，即没有一般性。
但是，很多情况下穷举搜索法还是常用的。
穷举算法
分析
• 这是1998年全国分区联赛普及组试题（简称 NOIP1998pj，以下同）。此题数据规模不大， 可以进行枚举，如果我们不加思地以每一个数 位为枚举对象，一位一位地去枚举： for a:=1 to 9 do for b:=1 to 9 do ……… for i:=1 to 9 do • 这样下去，枚举次数就有9９次，如果我们分别 设三个数为x,2x,3x，以x为枚举对象，穷举的 范围就减少为９３，在细节上再进一步优化， 枚举范围就更少了。
使用穷举的条件
• 可预先确定解的个数n • 解变量a1、a2、an的可能值为一个连续 的值域
算法归纳
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设：ai1-----解变量ai的最小值，aik----解变量ai的最大值（1《=i〈=n） a11<=a1<=a1k a21<=a2<=a2k ai1<=ai<=aik an1<=an<=ank 我们称解变量为穷举变量，即解题过程中需要列举出的变量（很明显，要列举出 变量的每个值，我们一般都使用for循环） 例如某问题的穷举变量有三个：a1，a2，a3，其中1〈=a1〈=2；2〈=a2〈=4；5 〈=a3〈=7 则可以列出本问题的所有可能解共18组（略） 在上述可能解的集合中，满足问题给定的检验条件的解元素就是问题的可能解 for a1:=a11 to a1k do for a2:=a21 to a2k do for a3:=a31 to a3k do for an:=an1 to ank do if (a1.a2.ai,an)满足检验条件 then 输出问题的解（a1,a2,ai,an）
•
(CHN,ENG) (CHN,FRH) (CHN,JPN) ( ENG,FRH) ( ENG,JPN)
穷举法详细
第三讲穷举法一、穷举法的基本概念穷举方法是基于计算机特点而进行解题的思维方法。
一般是在一时找不出解决问题的更好途径（即从数学上找不到求解的公式或规则）时，可以根据问题中的的部分条件（约束条件）将所有可能解的情况列举出来，然后通过一一验证是否符合整个问题的求解要求，而得到问题的解。
这样解决问题的方法我们称之为穷举算法。
穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。
有些问题所列举出来的情况数目会大得惊人，就是用高速的电子计算机运行，其等待运行结果的时间也将使人无法忍受。
因此，我们在用穷举方法解决问题时，应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。
二、穷举算法模式穷举算法模式：(1)问题解的可能搜索的范围：用循环或循环嵌套结构实现(2)写出符合问题解的条件。
(3)能使程序优化的语句，以便缩小搜索范围，减少程序运行时间。
三、使用穷举法设计算法穷举法应用很多，比如一些密码破译软件通常就是用的穷举算法。
如在QQ上，OicqPassOver这个工具穷举你的口令，它根据机器性能最高可以每秒测试20000个口令，如果口令简单，一分钟内，密码就会遭到破译。
下面我们来以三个例子说明穷举法的具体应用。
实例一：古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2～1000内的所有完全数。
分析：(1)本题是一个搜索问题，搜索范围 2～1000，找出该范围内的完全数；(2)完全数必须满足的条件：因子的和等于该数据的本身。
(3)问题关键在于将该数的因子一一寻找出来，并求出因子的和。
程序如下：Program p3_1 ;Var a , b,s :integer ;BeginFor a:=2 to 1000 doBeginS:=0 ;For b:=1 to a -1 doIf a mod b =0 then s:=s+b ; { 分解因子并求和 }If a=s then beginWrite( a, ‘=’ ,1, );For b:=2 to a -1 doIf a mod b=0 then write( ’+’, b );Writeln ;End;End;End.当程序运行后，输出结果：6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14496 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248实例二：（第七届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克分区联赛初赛试题）在A，B两个城市之间设有N个路站(如下图中的S1，且N<100)，城市与路站之间、路站和路站之间各有若干条路段(各路段数≤20，且每条路段上的距离均为一个整数)。
穷举法算法案例
穷举法算法案例穷举法，又称为暴力搜索或者暴力破解，是一种简单直接的算法，它通过尝试所有可能的情况来寻找问题的解。
虽然在某些情况下效率不高，但在一些小规模问题或者需要精确解的情况下，穷举法仍然是一个有效的解决方案。
下面我们将通过几个案例来了解穷举法的具体应用。
案例一，寻找素数。
素数是指除了1和自身外没有其他因数的自然数，例如2、3、5、7等。
我们可以通过穷举法来寻找一定范围内的所有素数。
具体做法是从2开始，依次判断每个数是否能被2到该数平方根之间的所有数整除，如果不能则该数是素数。
这种方法虽然效率不高，但对于小范围内的素数搜索是可行的。
案例二，密码破解。
在密码学中，穷举法常常被用来破解简单的密码，例如暴力破解4位数字密码。
假设密码由0-9的数字组成，那么一共有10000种可能的密码组合。
通过穷举法，我们可以依次尝试每一种组合，直到找到正确的密码。
当然，对于更复杂的密码，穷举法可能需要花费更长的时间，但在一些情况下仍然是有效的。
案例三，旅行推销员问题。
旅行推销员问题是一个经典的组合优化问题，假设有n个城市，推销员需要从某个城市出发，经过每个城市一次，最终回到出发的城市，要求找到一条最短的路径。
穷举法可以用来解决这个问题，具体做法是列举出所有可能的路径，计算它们的长度，最终找到最短的路径。
虽然对于大规模的问题来说，穷举法并不是最优的解决方案，但在小规模问题上仍然是可行的。
总结。
穷举法作为一种简单直接的算法，在一些情况下仍然具有一定的应用价值。
然而，需要注意的是，穷举法在处理大规模问题时可能会面临效率低下的问题，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的算法。
希望通过上述案例的介绍，能够让大家对穷举法有一个更加深入的了解。
穷举算法
搜索方法——穷举算法穷举法，常常称之为枚举法，是指从可能的集合中一一穷举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。
能使命题成立者，即为问题的解。
穷举是最简单，最基础，也是通常被认为非常没效率的算法，但是。
穷举拥有很多优点，它在算法中占有一席之地。
首先，穷举具有准确性，只要时间足够，正确的穷举得出的结论是绝对正确的；其次，穷举拥有全面性，因为它是对所有方案的全面搜索，所以，它能够得出所有的解。
采用穷举算法解题的基本思路：（1）确定穷举对象、穷举范围和判定条件；（2）一一列举可能的解，验证是否是问题的解例题：谁是小偷Description警察抓住A B C D四名罪犯，其中一人是小偷。
审问A 说："我不是小偷"。
B说"C是小偷"。
C说"小偷肯定是D"。
D说"C在冤枉人"。
现在已经知道四个人中三人说的是真话，一个人说假话，问小偷到底是谁？Sample OutputC代码如下：Var a,b,c,d:integer;beginfor a:=0 to 1 do beginfor b:=0 to 1 do beginfor c:=0 to 1 do beginfor d:=0 to 1 do beginif a+b+c+d=1 then beginif ord(a=0)+ord(c=1)+ord(d=1)+ord(d<>1)=3 then begin if a=1 then writeln('A');if b=1 then writeln('B');if c=1 then writeln('C');if d=1 then writeln('D');end;end;end;end;end;end;end.再看一眼条件：审问A说："我不是小偷"。
计算机算法：穷举法
穷举法穷举法是程序设计中使用最为普遍的一种基础算法。
计算机的特点之一就是运算速度快、善于重复做一件事情，“穷举法”正是基于这一特点的最古老算法。
它一般是在一时半会找不到解决问题的更好途径，即从数学上找不到求解的公式或规律时，根据问题中的“约束条件”，将求解的所有可能情况一一列举出来，然后再逐一验证它否符合整个问题的求解要求，从而得到问题的所有解。
示例1：求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A,B,C为1~3之间的整数。
【分析】本题非常简单，即枚举变量A，B，C的所有可能取值情况，对每种取值情况判断是否符合表达式即可。
【算法】算法用伪代码描述如下：for A:=1 to 3 dofor B:=1 to 3 dofor C:=1 to 3 doif(A+B=C) thenwriteln(A,’’,B,’’C);【流程图】所谓穷举法，指的是从可能的解的集合中一一枚举各元素，用题目给定的检验条件判定那些是无用的，哪些是有用的。
能使命题成立的，即为解。
在本案例中解变量有3个：A，B，C。
其中：解变量A的可能取值范围A∈｛1,2,3｝解变量B的可能取值范围B∈｛1,2,3｝解变量C的可能取值范围C∈｛1,2,3｝从而问题的可能解有3*3*3=27个，可能解集在上述可能解集中，满足题目给定的检验条件（A+B==C）的解元素，即为问题的解。
穷举法的适用范围：其一，能确定解变量（枚举变量）的个数n，其二，每个解变量Ai（1<=i<=n）的可能值能确定范围且能连续取得。
设解变量的个数是n，Ai1----解变量Ai的最小值；Aik----解变量Ai的最大值（1≤i≤n）；即A11≤A1≤A1k，Ai1≤Ai≤Aik，……，An1≤An≤Ank算法框架如下（伪代码）：for A1←A11 to A1k do……for Ai←Ai1 to Aik do……for An←An1 to Ank doif状态（A1,…,Ai,…,An）满足检验条件then 输出问题的解穷举法（枚举法）的特点是算法简单，但是有时运算量大。
p算法,k算法,破圈法,穷举法,ew算法,d算法,bf算法,fw算法的基本原理和应用场合 -回复
p算法,k算法,破圈法,穷举法,ew算法,d算法,bf算法,fw算法的基本原理和应用场合-回复算法（Algorithm）是指一系列解决问题的清晰指令，是计算机科学的基础。
在计算机领域，算法既是一种计算过程，也是计算过程的描述。
算法的设计旨在提高计算速度、节省计算资源、简化问题等。
目前常见的算法有很多，本文将分别介绍p算法、k算法、破圈法、穷举法、ew算法、d 算法、bf算法和fw算法的基本原理和应用场合。
1. p算法p算法（P Algorithm）是一种随机算法，它的基本原理是通过尽量减小搜索空间来提高算法的效率。
p算法在解决NP难问题和图搜索问题上具有很好的效果。
例如，在旅行商问题中，p算法可以通过调整节点顺序来找到最短路径。
此外，p算法还常被用于图像处理、人工智能等领域。
2. k算法k算法（K Algorithm）是一种基于聚类分析的算法。
它的基本原理是通过将数据点分为k个簇，使得每个簇内的数据点相似度较高，而不同簇之间的相似度较低。
k算法在数据挖掘和模式识别中广泛应用，例如在推荐系统中，k算法可以根据用户的购买记录将用户分为不同的群组，从而进行个性化推荐。
3. 破圈法破圈法（Loop Breaking Algorithm）是一种用于解决循环依赖问题的算法。
它的基本原理是通过破坏原有的依赖关系，使得循环依赖变成了非循环依赖。
破圈法常被应用于软件工程中，用于解决模块之间的循环依赖问题，从而提高软件的可维护性和可扩展性。
4. 穷举法穷举法（Exhaustive Search Algorithm）也称为暴力搜索算法，它的基本原理是通过穷举所有可能的解来找到问题的最优解。
穷举法适用于问题空间较小且解空间较密集的情况，但其时间复杂度较高。
例如，在密码破解中，穷举法可以通过尝试所有可能的密码组合来找到正确的密码。
5. ew算法ew算法（Epsilon-Weighted Algorithm）是一种基于epsilon距离的算法，用于解决聚类分析问题。
数字运算的穷举法
数字运算的穷举法穷举法，也被称为暴力法或试探法，是一种常用于解决问题的算法方法。
它通过逐个尝试所有可能的解决方案来找到问题的解。
在数字运算中，穷举法可以用于解决各种数学运算问题，如寻找因子、求和、计算阶乘等。
本文将探讨数字运算中穷举法的应用以及相关的技巧和注意事项。
一、寻找因子当需要找出一个整数的所有因子时，可以使用穷举法。
具体步骤如下：1. 首先，确定待寻找因子的整数，假设为n。
2. 从1开始，逐个尝试可能的因子，直到尝试到n本身。
3. 对每个尝试的因子，判断其是否能整除n。
若能整除，则为n的一个因子。
4. 将所有找到的因子记录下来，即为n的所有因子。
通过以上步骤，我们可以得到一个整数的所有因子。
这种方法适用于任何整数，无论其大小。
二、求和问题穷举法在求解数字求和问题时也很有用。
当给定一个数列，并需要计算其中元素的和时，可以使用穷举法来逐个累加所有元素。
具体步骤如下：1. 确定给定的数列，假设为a1, a2, a3, ..., an。
2. 将初始和sum设为0。
3. 逐个将数列中的元素加到sum中，直到加到最后一个元素an。
4. 完成累加后，sum即为所有元素的和。
这种方法适用于任何给定的数列，无论其长度以及元素之间的关系。
三、计算阶乘阶乘是一个常见的数学运算。
穷举法可以用于计算任意正整数的阶乘。
具体步骤如下：1. 确定待计算阶乘的正整数，假设为n。
2. 将初始结果factorial设为1。
3. 从1开始，逐个乘以所有小于等于n的正整数，直到乘到n本身。
4. 完成乘法运算后，factorial即为n的阶乘。
通过以上步骤，我们可以得到任意正整数的阶乘。
这种方法对于计算较小的数值是可行的，但当n较大时，计算量可能变得很大。
除了以上列举的例子，穷举法还可以应用于其他数字运算问题中。
然而，在使用穷举法时，我们需要注意以下几点：1. 确保遍历范围合理。
避免无限循环或漏掉某些可能的解。
2. 缩小搜索空间。
穷举法的应用
穷举法的应用
穷举法，也称为枚举法，是一种用于搜索最优解的算法。
它的主要思想是将要解决的问题的可能性限定在一定范围内，将该范围内的可能性都用计算机枚举出来，然后根据某种主要指标，判断哪个可能性的指标最优，进而认为此可能性就是要求的最优解。
穷举法在日常生活中有很多应用，比如挑选衣服、突破思维难题、出行路线查询、优化方案分析甚至经济学、政治学、金融学等多个领域都都有应用。
例1：在挑选衣服时，如果把可选择的衣服全部试穿，就可以运用穷举法来寻找最满意的衣服。
先根据自身情况，筛选出可以挑选的衣服，然后一件件地试穿，最后选择出最完美的衣服。
例2：在出行的时候，我们可以使用穷举法选择最佳的路线。
出行前可以先查看特定出发点到特定目的地的距离，根据距离和交通条件，依次列出所有的可行路线，然后进行对比筛选，从而找到最合适的路线。
例3：在复杂的计算机网络安全领域，穷举法被大量用来进行最优攻击组合计算。
针对当前攻击系统，计算出每种潜在攻击组合的效果，并计算每种攻击组合的成本，最后找到最具性价比的攻击组合。
总而言之，穷举法作为一种搜索最优解的算法，它拥有非常丰富的应用领域，能够有效地帮助人们解决实际问题，取得最佳解决方案，极大地提升工作效率和生产力，得到了广大用户的一致认可和好评。
np难问题常用算法
np难问题常用算法NP难问题是指非确定性多项式（Non-deterministic Polynomial）时间可解的问题集合，也就是说，这些问题可以在多项式时间内验证给定解的答案是否正确，但目前还没有找到一个多项式时间算法来解决这些问题。
因为NP难问题的解决困难程度，研究者们提出了许多常用算法来解决这些问题，下面将介绍其中的一些算法实现。
1. 穷举搜索算法穷举搜索算法是一种朴素的解决NP难问题的方法。
它通过尝试所有可能的解，从中寻找满足问题条件的最优解。
尽管这种方法在大多数情况下不太实用，但对于一些小规模问题仍然是可行的。
2. 贪婪算法贪婪算法是一种通过每次选择局部最优解来构建整体最优解的策略。
它们通常以一种基于贪婪选择的方式逐步构建解决方案，不进行回溯。
贪婪算法的思想简单且易于实现，但不一定能找到全局最优解。
3. 近似算法近似算法是为解决NP难问题提供近似最优解的算法。
它们通过在多项式时间内找到一个接近最优解的解决方案来减小计算复杂度。
近似算法通常以一种启发式的方式工作，利用一些特定的规则或启发式函数来指导搜索过程。
4. 动态规划动态规划是一种解决NP难问题的常见算法。
它将原问题分解为多个子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算，从而降低计算复杂度。
动态规划的关键是找到递推关系式和边界条件，并使用表格来保存中间计算结果。
5. 回溯法回溯法是一种通过试探和回退的方式来寻找问题解的方法。
它通过不断尝试各种可能的解决方案，并进行回溯来寻找最优解。
回溯法通常用于解决组合优化问题，如旅行商问题等。
6. 分支界限算法分支界限算法是一种通过将问题的解空间划分为多个子问题，并通过优先级队列实现剪枝操作来寻找最优解的方法。
它通过计算当前子问题的下界，并将下界高于当前最优解的子问题剪枝，从而减小搜索空间。
7. 模拟退火算法模拟退火算法是一种基于统计力学的随机优化算法，用于寻找问题的全局最优解。
它通过模拟金属退火过程中的粒子运动，逐步降低温度来实现对搜索空间的探索。
常用算法-穷举法
常⽤算法-穷举法穷举法⼜称为枚举法，它是在计算机算法设计中⽤得最多的⼀种编程思想。
它的实现⽅式是：在已知答案范围的情况下，依次地枚举该范围内所有的取值，并对每个取值进⾏考查，确定是否满⾜条件。
经过循环遍历之后，筛选出符合要求的结果来。
这种⽅法充分利⽤了计算机运算速度快的特点，思路简单直接，能够解决⼤部分的问题。
什么样的问题适合使⽤穷举法来解决呢？归纳起来，遇到了如下的三种情况，将优先考虑使⽤穷举法：1. 答案的范围已知：虽然事先并不知道确切的结果，但能预计到结果会落在哪个取值范围内。
譬如说：①求1－100之间所有的素数：⽆论结果如何，都在1－100的范围之内。
②求2000－2015年间有⼏个⽉的13号是周⽇？这15年间共有180个⽉，⽉份的个数最多不会超过180③验证1000以内的哥德巴赫猜想：即找出1000之内所有的合数，看是否能够分解为两个质数之和。
如果仔细观察，将会发现许多题⽬的结果范围都是已知的，都可以使⽤穷举法来实现。
2. 答案的结果是离散的，不是连续的。
如果要求出1－2之间所有的⼩数，就⽆法⽤穷举法来实现，因为其结果是⽆限连续的。
3. 对时间上的要求不严格。
蓝桥杯⽐赛中的许多题⽬对于算法的设计是有时间要求的，有时会⾮常苛刻。
如果⽤穷举法则耗时过长，不可取。
例如求出21位的⽔仙花数，使⽤穷举法可能会花费30分钟的时间。
⽽蓝桥杯试题通常要求时间限制在1秒钟之内完成，少数会延长⾄3分钟。
在这种情况下，必须使⽤新的算法来解决问题。
下⾯举个经典的例⼦：100块砖100⼈来搬，男⼈⼀⼈搬4块，⼥⼈⼀⼈搬3块，⼩孩3⼈抬⼀块，问男，⼥，⼩孩各⼏⼈？若设男，⼥，⼩孩⼈数分别为X， Y， Z，则只能够列出两个等式： X+Y+Z＝100 4*X+3*Y+Z/3＝100 。
三个未知数两个等式，⽆法求解。
这就只能够使⽤穷举法来实现，具体做法如下：先确定每种类型⼈员的数量的取值范围，由题意可知，男⼈X的取值范围是0~100/4＝25 ⼥⼈Y的取值范围是0~100/3＝33 ⼩孩的取值范围是0~99（必须不⼤于100且为3的倍数）。
穷举法
穷举法
四、穷举法应用
begin e:=15-a-b-c-d;b0:=(e<>2) and (e<>3);
m:=bton(e=1)+bton(b=2)+bton(a=5)+bton(c<>1)+bton(d=1);
b0:=b0 and (m=-2); b1:=(e=1) and (a<>2); b1:=b1 or (a=5) and(c<>1) and(c<>2); b1:=b1 or (c<>1) and (d<>1) and (d<>2); b1:=b1 or (d=1) and (e<>2); b0:=b0 and not b1; if b0 then
穷举法
四、穷举法应用
分析：本题是一个逻辑判断题，一般的逻辑判断题都采 分析：本题是一个逻辑判断题， 用穷举法进行解决。 我们对5 用穷举法进行解决 。 我们对 5 所学校所得名次的各种可 能情况进行穷举。在每种情况中， 能情况进行穷举。在每种情况中，为了防止不同学校取 相同的名次，设立了逻辑数组x x[I]为false表示已有 相同的名次，设立了逻辑数组x，x[I]为false表示已有 某校取第I 某校取第I名。 此题的难点在于确定判断条件。我们设立逻辑变量b0来 此题的难点在于确定判断条件。我们设立逻辑变量b 描述这一条件，主要有两个条件： 校不是第2 描述这一条件，主要有两个条件：“E校不是第2名或第 只有第1名和第2 名的学校的人猜对” 3 名 ” 与 “ 只有第 1 名和第 2 名的学校的人猜对 ” ， 后一 条件要判断： 是否只有两人说法正确？ 条件要判断：1）是否只有两人说法正确？2）说得正确 的人是否是取得第1名和第2名的学校的人？ 的人是否是取得第1名和第2名的学校的人？要判断是否 仅有两人说正确，须统计正确命题的个数。为此，设立 仅有两人说正确，须统计正确命题的个数。为此， 了函数bton 将逻辑量数值化。 bton， 了函数bton，将逻辑量数值化。
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{ t=*pt[j]; *pt[j] =* pt; *pt=t; }
}
}
从上述问题解决的方法中，最重要的因素就是确定某种方法来确定所有的候选解。下面再用一个示例来加以说明。
【问题】背包问题
问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。
把i转化为二进制数，存储于数组B中;
temp_w=0;
temp_v=0;
for (j=0;j<n;j++)
{ if (B[j]==1)
{temp_w=temp_w+w[j];
temp_v=temp_v+v[j];
}
if ((temp_w<=tw)&&(temp_v>maxv))
{maxv=temp_v;
intside_total[SIDE_N];
main{}
{inti,j,t,equal;
for (j=0;j<VARIABLES;j++)
*pt[j]=j+1;
while(1)
{ for (i=0;i<SIDE_;i++)
{ for (t=j=0;j<LENGTH;j++)
t+=*side[j];
scanf(“%*c”);
}
for (j=VARIABLES-1;j>0;j--)
if (*pt[j]>*pt[j-1]) break;
if (j==0) break;
for (i=VARIABLES-1;i>=j;i--)
if (*pt>*pt[i-1]) break;
t=*pt[j-1];* pt[j-1] =* pt; *pt=t;
printf(“%6d,a);
printf(“%4d%4d”,b,f);
printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e);
scanf(“%*c”);
}
}
}
}
}
}
按穷举法编写的程序通常不能适应变化的情况。如问题改成有9个变量排成三角形，每条边有4个变量的情况，程序的循环重数就要相应改变。
对一组数穷尽所有排列，还有更直接的方法。将一个排列看作一个长整数，则所有排列对应着一组整数。将这组整数按从小到大的顺序排列排成一个整数，从对应最小的整数开始。按数列的递增顺序逐一列举每个排列对应的每个整数，这能更有效地完成排列的穷举。从一个排列找出对应数列的下一个排列可在当前排列的基础上作部分调整来实现。倘若当前排列为1，2，4，6，5，3，并令其对应的长整数为124653。要寻找比长整数124653更大的排列，可从该排列的最后一个数字顺序向前逐位考察，当发现排列中的某个数字比它前一个数字大时，如本例中的6比它的前一位数字4大，这说明还有对应更大整数的排列。但为了顺序从小到大列举出所有的排列，不能立即调整得太大，如本例中将数字6与数字4交换得到的排列126453就不是排列124653的下一个排列。为了得到排列124653的下一个排列，应从已经考察过的那部分数字中选出比数字大，但又是它们中最小的那一个数字，比如数字5，与数字4交换。该数字也是从后向前考察过程中第一个比4大的数字。5与4交换后，得到排列125643。在前面数字1，2，5固定的情况下，还应选择对应最小整数的那个排列，为此还需将后面那部分数字的排列顺序颠倒，如将数字6，4，3的排列顺序颠倒，得到排列1，2，5，3，4，6，这才是排列1，2，4，6，5，3的下一个排列。按以上想法编写的程序如下。
常用算法——穷举搜索法
二、穷举搜索法
穷举搜索法是对可能是解的众多候选解按某种顺序进行逐一枚举和检验，并从众找出那些符合要求的候选解作为问题的解。
【问题】将A、B、C、D、E、F这六个变量排成如图所示的三角形，这六个变量分别取[1，6]上的整数，且均不相同。求使三角形三条边上的变量之和相等的全部解。如图就是一个解。
显然，每个分量取值为0或1的n元组的个数共为2n个。而每个n元组其实对应了一个长度为n的二进制数，且这些二进制数的取值范围为0～2n-1。因此，如果把0～2n-1分别转化为相应的二进制数，则可以得到我们所需要的2n个n元组。
【算法】
maxv=0;
for (i=0;i<2n;i++)
{ B[0..n-1]=0;
void main()
{inta,b,c,d,e,f;
for (a=1;a<=6;a++)
for (b=1;b<=6;b++) {
if (b==a) continue;
for (c=1;c<=6;c++) {
if (c==a)||(c==b) continue;
for (d=1;d<=6;d++) {
设n个物品的重量和价值分别存储于数组w[ ]和v[ ]中，限制重量为tw。考虑一个n元组（x0，x1，…，xn-1），其中xi=0表示第i个物品没有选取，而xi=1则表示第i个物品被选取。显然这个n元组等价于一个选择方案。用枚举法解决背包问题，需要枚举所有的选取方案，而根据上述方法，我们只要枚举所有的n元组，就可以得到问题的解。
if (d==a)||(d==b)||(d==c) continue;
for (e=1;e<=6;e++) {
if (e==a)||(e==b)||(e==c)||(e==d) continue;
f=21-(a+b+c+d+e);
if ((a+b+c==c+d+e))&&(a+b+c==e+f+a)) {
side_total=t;
}
for (equal=1,i=0;equal&&i<SIDE_N-1;i++)
if (side_total!=side_total[i+1] equal=0;
if (equal)
{ for (i=1;i<VARIABLES;i++)
printf(“%4d”,*pt);
printf(“\n”);
保存该B数组；
}
}
}
程序引入变量a、b、c、d、e、f，并让它们分别顺序取1至6的证书，在它们互不相同的条件下，测试由它们排成的如图所示的三角形三条边上的变量之和是否相等，如相等即为一种满足要求的排列，把它们输出。当这些变量取尽所有的组合后，程序就可得到全部可能的解。细节见下面的程序。
【程序1】
# include <stdio.h>
【程序2】
# include <stdio.h>
# define SIDE_N 3
# define LENGTH 3
# define VARIABLES 6
intA,B,C,D,E,F;
int*pt[]={&A,&B,&C,&D,&E,&F};
int*side[SIDE_N][LENGTH]={&A,&B,&C,&C,&D,&E,&E,&F,&A};