圆与三角函数(一)

【知识要点】对于锐角三角函数的问题而言，它反映的是直角三角形中角度与比例之间的关系，所以在求解某个角的三角函数值得时候，关键在于寻找到合适的直角三角形来实现对比例的求解，然而在求解的过程中又不能只局限于某个直角三角形，可以寻求两个方面的转化：（一）角度的转移：当待求角在现有的直角三角形中无法直接求得比利时，设法将角度进行转移，转移的方式有如下几种方式①直接作垂线，②构造直径所对的圆周角，③利用圆心角和垂径定理；（二）比例的转移：主要是结合由比例生成的相似来构建已知与未知之间的联系.

【基础能力检测】

1.如图，已知O ⊙的半径为1，锐角ABC △内接于O ⊙，BD AC ⊥于点D ，OM AB ⊥于点M ，则______∠sin =CBD （用线段表示）.

2.如图，⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB 于E ，AB =2，连接AC ，BC ，则tan ∠ACB 的值的倒数等于线段.

3.如图，BC

是半径为

1

的⊙O 的弦，D 为BC 上一点，M 、N 分别为BD 、AD 的中点，则______sin =∠C （用线段表示）.

4.如图，⊙O 的直径AB=6，点C 为⊙O 外一点，CA 、CB 分别交⊙O 于E 、F ，32cos =∠C ，则EF 的长度为.

5.如图，AB 为⊙O 的直径弧BC=弧CD ，AC 、BD 交于点E ，若BE=1，AB=2则_______sin =∠A .

6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，I 为△ABC 的内心，AI 的延长线交BC 于D ，若AD OI ⊥，则_____

tan =∠CAD O

C B A D

M

7.如图，Rt △ABC 中，°=∠90ACB 以AC 为直径作⊙O ，BD 切⊙O 于点D ，连AD ，若AC=4，BC=2，则______sin =∠DAB .

8.如图在△ABC 中，AB=AC ，I 是△ABC 的内心，O 是AB 上一点，⊙O 经过B 、I 两点，

交AB 于M ，若BC=4，21tan =∠ABI ，则BM 的长为.

9.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，PA 、BO 的延长线交于点Q ，连AB ，若5

4sin =∠AQO ，

则______tan =∠ABP 【例题解析】

【例1】(Ⅰ)如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 于BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，连OC.

（1）求证：AB=AC ；

（2）若°=∠30ABC ，①求BCO ∠tan 的值；

②求ACO

∠tan

（Ⅱ）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，AB CE ⊥于E ，BD 交CE 于F ，

（1）求证：CF=BF;

（2）若2tan =∠CDM ，求ABD ∠sin 的值

【例2】(Ⅰ)如图，⊙O 的直径CD AB ⊥于E ，点M 为⊙O 上一点，21tan =∠CDA

（1）求证：BE=CD ；

（2）若OE=3，求CMD ∠sin （Ⅱ）四边形ABCD 中，BC AD ∥，过A 、B 、D 三点作⊙O ，⊙O 切CD 于D 点，且AB=AD.

（1）求证：BAD CDB ∠=∠；

（2）若AD=34，3

1cos =∠BAD ，求CD 的长【例3】(Ⅰ)已知AB 是⊙O 的直径，AT 与⊙O 相切于点A ，⊙O 交BT 于C ，CT=CB

（1）如图1，求证：AT=AB ；

（2）如图2，OT 交⊙O 于E ，求ABE ∠tan 的值.

（Ⅱ）如图，正方形ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，DO 交⊙O 于E ，求OEB ∠tan 的值（Ⅲ）如图，AB 为⊙O 的直径，BA 与弦DC 的延长线交于点P ，OD 平分CDB

∠（1）求证：CD=BD ；

（2）若PA=5，PC=6，求PDO ∠tan 的值.

（Ⅳ）如图，AC 为⊙O 的直径，△ABD 为⊙O 的内接三角形，AB=BD ，BD 交AC 于F 点，AD BE ∥交AC 的延长线于E 点.

（1）求证：BE 为⊙O 的切线；

（2）若AF=4CF ，求E ∠tan 的值.

（Ⅴ）如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于D ，AC DE ⊥，连OE.

（1）求证：DE 为⊙O 的切线；

（2）若55cos =∠ABD ，求AEO ∠tan 的值.

【例4】(Ⅰ)如图1，△ABC 中，CA =CB ，点O 在高CH 上，OD ⊥CA 于点D ，OE ⊥CB 于点E ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O ．

（1）求证：⊙O 与CB 相切于点E ；

（2）如图2，若⊙O 过点H ，且AC =5，AB =6，连结EH ，求△BHE 的面积和tan ∠BHE 的值．

（Ⅱ）如图，A B 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，DE =EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H .

（1）求证：AH=HD ；

（2）若cos ∠C =45

，DF =9，求⊙O 的半径.（Ⅲ）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接PA ，PB ，PC ．

（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=；

（2）如图②，若25

24sin =∠BPC ，求P AB ∠tan 的值．

（Ⅳ）已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点.

（1）如图1，若AC 为直径，求证：BC OP ∥；

（2）如图2，若13

12sin =∠P ，求C ∠tan 的值.

【例5】(Ⅰ)已知⊙O 过点D(4，3)，点H 与点D 关于y 轴对称，过H 作⊙O 的切线交y 轴于点A(如图1)．

(1)求⊙O 半径；

(2)sin ∠HAO 的值；

(3)如图2，设⊙O 与y 轴正半轴交点P ，点E 、F 是线段OP 上的动点(与P 点不重合)，连接并延长DE ，DF 交⊙O 于点B ，C ，直线BC 交y 轴于点G ，若△DEF 是以EF 为底的等腰三角形，试探索sin ∠CGO 的大小怎样变化？请说明理由．